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四川省德阳市广汉市2024-2025学年 下学期阶段质量监测七年级数学试卷
一、选择题（本大题有12个小题，每小题4分，满分48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔填涂在答题卡上）
1．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列所示的四个图形中，和是同位角的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
3．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直
D．两钉子固定木条
4．小亮解方程组 的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（　　）
A．4和 B．和 C．2和8 D．8和
5．下列语句是命题的有（　　）个．
①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论n是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．围棋起源于中国，中国古代称为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图3，在围棋盘上有三枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（　　）
A． B． C． D．
7．估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，， 则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，将一块直角三角尺的直角顶点与原点重合，另两个顶点的坐标分别为，．现将三角尺沿轴向左平移，使点与点重合，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（　　）．
A． B． C． D．
11．在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，满分24分，请把答案填在答题卡对应的位置上）
13．的平方根是 　 　．
14．已知点到轴的距离为，到轴距离为，且在第三象限内，则点的坐标为　 　．
15．定义新运算：，则的运算结果是　 　．
16．若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则常数　 　．
17．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间　 　．
18．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考：
第1步：确定的位数．因为，，，所以是2位数；
第2步：确定个位数字．因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9；
第3步：确定十位数字．划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3．
综合以上可得．
已知103823是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是　 　．
三、解答题（本大题有7个小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：
（1）
（2）
20．解下列方程组：
（1）
（2）
21．如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形．
（1）在图中画出三角形；
（2）写出点的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得三角形与三角形面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．如图，直线与被直线所截，与，分别交于点，，且，．
（1）试说明：；
（2）若平分，，求的度数．
23．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
24．列方程或方程组解决问题：某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下：
若要从这两种食品中摄入热量和45g蛋白质，应选取A，B两种食品各多少包？
25．已知，点分别在直线上，点在之间，连接．
（1）如图1，若，直接写出的度数；
（2）如图2，点是上方一点，连接与交于点，，，，求的度数（结果可用含的式子表示）；
（3）如图3，点是下方一点，连接，若的延长线是的三等分线，平分交于点，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
B．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
C．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
D．不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质解答即可．
2．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：图①、②、④中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故答案为：C．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成得在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角就是同位角，同位角的边形如字母“F”据此逐一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】在测量跳远成绩时，是从运动员落地的脚后跟处向起跳线作垂线段，测量的就是这条垂线段的长度，因为从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，所以测量跳远成绩时，以垂线段的长度来确定成绩，这样能保证测量出的距离是最短的，符合“垂线段最短"的原理；在木板上弹墨线或两钉子固定木条，是利用了“两点确定一条直线” 的原理，通过在木板两端固定两个点，然后用墨线连接这两个点，就可以弹出一条笔直的墨线， 而不是利用“垂线段最短”的原理；将弯曲的河道改直，是为了缩短河道的长度，使水流更顺畅，减少水流阻力等，这是根据“两点之间，线段最短”的原理，即两点之间线段的长度是最短的，而不是“垂线段最短”的原理.
4．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵方程组的解为，
∴，
∴，
∴，
∴●和★分别表示8和，
故答案为：D．
【分析】能使方程组中每一个方程的左右两边都相等的未知数的值就是方程组的解，据此直接把x=5代入方程2x-y=12求出y的值，进而将x、y的值代入2x+y计算，由此即可得到答案．
5．【答案】B
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：①是疑问句，没有对事件作出判断，不是命题；
②对事件作出了判断（熊猫确实无翅膀），是命题；
③对事件作出了判断（三角形一定有直角），是命题；
④没有对事件作出判断，只是描述了事件，不是命题；
⑤对事件作出了判断（式子的值都是质数），是命题；
⑥对事件作出了判断（这两条直线也互相平行），是命题．
综上，②、③、⑤、⑥为命题，共4个.
故答案为：B．
【分析】一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；一般说来，对于任何一 个命题，都可以加上“是”或“不是”，注意，作图语言不是命题，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图，
白棋③的坐标为．
故选：D．
【分析】本题主要考查利用有序数对表示点的位置，关键在于根据已知两点的坐标确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向。由黑棋① (2，-1) 和黑棋② (-1，0) 的坐标关系，可反推出原点的位置，进而建立坐标系，再读出白棋③的坐标。解题时需注意有序数对中横纵坐标的顺序与棋盘方向的对应关系。
7．【答案】B
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，而49＜54＜64
∴，
即，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式性质可得，然后根据被开方数越大其算术平方根就越大得出，进而根据不等式性质即可判断出 的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，由题意得：，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】如图，先根据二直线平行，内错角相等可得，由角的和差求出，再根据二直线平行，同旁内角互补可得，最后根据二直线平行，同位角相等可得∠3=∠CEF，从而得出答案.
9．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将三角尺沿轴向左平移，使点与点重合，
∴三角尺沿轴向左平移2个单位长度，
∴点的对应点的坐标是，
即：点的坐标是，
故选：A．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中的平移变换规律。由点 A(3，0) 平移后与 A'(1，0) 重合，可知图形整体沿 x 轴向左平移了 2 个单位长度。根据“左减右加”的平移规则，点 B(0，) 的横坐标减 2，纵坐标不变，即得对应点 B'(-2，)。
10．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；正方形的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：由条件可知正方形的边长为，
，
点表示的数为．
故选：B．
【分析】
首先利用正方形面积公式求出边长，从而得到AE的长度为；然后根据数轴上点的位置关系，即点E在点A左侧，用点A表示的数减去AE的长度，就可得出点E所表示的数为。
11．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形纸片的长为，宽为，
大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，
∴大正方形的边长=7，小正方形（阴影部分）的边长=3，
观察图形能够发现，大正方形的边长=a+3b，小正方形的边长=a-b.
由此得到方程组，
解得，
大长方形的面积是，
故选：C
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题意，需要通过已知正方形面积求出边长，设长方形纸片的长为，宽为，再依据图形中边长关系确定长方形的长和宽，并能从题意中找出等式，从而得出长方形面积.
12．【答案】A
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，，……，
由此发现，每四个点坐标一循环，
∵…1
点的坐标和坐标相同，为
故答案为：A．
【分析】根据新定义运算法则求出前几个点的坐标，就会发现每四个点坐标一循环，从而用2025÷4得商为506，余数为1，故点P2025的点的坐标与点P1的坐标一样.
13．【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
14．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵到轴的距离为，到轴距离为，
∴纵坐标为，横坐标为，
∵点在第三象限，
∴坐标为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标与距离的关系及各象限点的符号特征。点到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到 y 轴的距离等于横坐标的绝对值。由已知得 |x| = 5，|y| = 3，且点 M 在第三象限，第三象限内点的横、纵坐标均为负，故取 x = -5，y = -3，即 M(-5， -3)。
15．【答案】2
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查新定义运算的理解与有理数的混合运算。根据给定的运算规则 ab = a(a+b)-1，将 a=3、b=-2 代入，先计算括号内 3 + (-2) = 1，再计算 3×1 = 3，最后减去 1 得 2。注意运算顺序：先算括号内的加法，再算乘法，最后算减法。
16．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解： ，
①+②得：3x=3+3k，解得：x=1+k，
把x=1+k代入①得：y=k-2，
∴方程组的解为，
∵方程组的解互为相反数，
∴x+y=0，即1+k+k-2=0，
解得：k=；
故答案为：.
【分析】利用加减法解方程组得，由方程组的解互为相反数，可得x+y=0，据此建立关于k方程并解之即可.
17．【答案】5秒或95秒
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：，，
，，
分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
，，
要使，则，
即，
解得：；
如图②，旋转到与都在的右侧，
，，
要使，则，
即，
解得：；
如图③，旋转到与都在的左侧，
，，
要使，
则，即，
解得：，
此时，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，．
故答案为：秒或秒．
【分析】本题以射线旋转为背景，综合考查平行线的判定（内错角相等、同位角相等）以及一元一次方程在动态几何中的应用。分三种情况讨论：① AB 与 CD 在 EF 两侧时，利用内错角相等列方程；② CD 旋转到与 AB 都在 EF 右侧时，利用同位角相等列方程；③ CD 旋转到与 AB 都在 EF 左侧时，同样利用同位角相等列方程。注意旋转角度范围限制在 CD 转动一周（即 0到 360）内，分别求出对应时间。
18．【答案】47
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：第1步：由，确定是两位数．
第2步：由的个位上的数是3，，能确定的个位上的数是．
第3步：如果划去103823后面的三位得到数103，而，由此确定的十位上的数是4．
因此，103823的立方根是47．
故答案为：47．
【分析】本题以华罗庚速算立方根的方法为背景，综合考查立方根的位数估算、个位数字的对应关系以及十位数字的范围比较。第一步根据 1000 < 103823 < 1000000 确定立方根为两位数；第二步由个位数 3 对照立方个位规律（ = 343 个位为 3）确定个位为 7；第三步划去后三位 823 得 103，比较 = 64 和= 125，由 64 < 103 < 125 确定十位为 4，从而立方根为 47。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】无理数的混合运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先将的被开方数化为假分数，然后根据算术平方根定义及立方根定义分别计算，最后计算有理数的加减法运算即可；
（2）先根据绝对值性质及去括号法则分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】（1）解：原式整理为，
化简可得，
由①②得，
解得，
将代入②得，
解得，
原方程组的解为．
（2）解：，
由①②得，
解得，
把代入①得，
解得，
方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据连等式列出二元一次方程组，然后再去分母将二元一次方程组化简，进而用方程①+②×2消去t求出s的值，再将s的值代入②方程求出t的值，从而即可得到方程组的解；
（2）用方程①-②×2消去x求出y的值，再将y的值代入yi5方程求出x的值，从而即可得到方程组的解.
（1）解：原式整理为，
化简可得，
由①②得，
解得，
将代入②得，
解得，
原方程组的解为．
（2）解：，
由①②得，
解得，
把代入①得，
解得，
方程组的解为．
21．【答案】（1）解：如图，三角形即为所求作的三角形；
（2）解：点的坐标为，点的坐标为；
（3）解：存在，点P的坐标是或
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（2）根据点A1与B1在坐标系中的位置得出其坐标为（0，4），（-1，1）；
（3）由题意得三角形的面积为，
设点P的坐标为，
∵三角形BCP与三角形ABC面积相等，
∴，
∴即，
∴或，
∴或，
∴点P的坐标是或．
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到所求的△A1B1C1；
（2）根据（1）的图形即可得到点A1、B1的坐标；
（3）先利用方格纸的特点及三角形面积公式求出△ABC的面积，设点P的坐标为，根据S△BCP与S△ABC面积相等列出方程求解得出m的值，即可求出点P的坐标．
（1）解：如图，三角形即为所求作的三角形；
（2）解：点的坐标为，点的坐标为；
（3）解：由题意得三角形的面积为，
设点P的坐标为，
∵三角形与三角形面积相等，
∴，
∴即，
∴或，
∴或，
∴点P的坐标是或．
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，设，则，根据补角建立方程，解方程可得，则，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
23．【答案】解：（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m 1＜0，
∴|m＋1|＋|m 1|＝m＋1＋1 m＝2；
（2）∵与互为相反数，
∴+=0，
∴|2c＋d|＝0且＝0，
解得：c＝2，d＝ 4，
∴2c 3d＝16，
∴2c 3d的平方根为±4．
【知识点】二元一次方程的解；算术平方根的性质（双重非负性）；实数的相反数；化简含绝对值有理数；开平方（求平方根）
【解析】【分析】本题考查数轴上的点表示实数、绝对值的化简、相反数的定义、非负数的性质（绝对值与算术平方根的非负性）以及平方根的概念。
(1) 需先根据数轴平移得到 m，再判断绝对值内式子的符号后化简；
(2) 利用“若两个非负数互为相反数则它们均为零”列方程组求解 c，d，最后求平方根。
24．【答案】解：设选用A种食品x包，B种食品y包．
由题意得，，
解得：，
答：选用A种食品3包，B种食品1包．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】本题以实际生活情境为背景，综合考查利用二元一次方程组解决营养配餐问题。设 A 种食品 x 包，B 种食品 y 包，根据两种食品提供的总热量为 3000 kJ、总蛋白质为 45 g，分别列出方程 700x + 900y = 3000 和 10x + 15y = 45，联立方程组求解，注意解应为非负整数且符合实际意义。
25．【答案】（1）解：∠BEM+∠DFM的度数为80°；
（2）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵是的三等分线，分两种情况：
①当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
又由（1）知：，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴；
【分析】（1）过点作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得到，根据二直线平行，内错角相等得∠BEM=∠NME，∠DFM=∠NMF，然后根据角的构成及等量代换即可得出答案；
（2）过N作NH∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得NH∥AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠HNF=∠DFN及∠HNE=∠NEB，由（1）结论得，由已知及角构成得∠NEB=∠MEB，，从而可求出∠DFN=60°，最后根据等量代换及角的核查可表示出∠ENF；
（3）过点作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得到，根据二直线平行，内错角相等得可得，，由角平分线的定义得，分①当时，②当时，分别根据角的和差、等量代换及已知建立方程根求解得出∠DFM的度数，从而即可求出∠CFN的度数.
（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴；
（2）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵是的三等分线，分两种情况：
①当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
又由（1）知：，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
1 / 1四川省德阳市广汉市2024-2025学年 下学期阶段质量监测七年级数学试卷
一、选择题（本大题有12个小题，每小题4分，满分48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔填涂在答题卡上）
1．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
B．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
C．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
D．不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质解答即可．
2．下列所示的四个图形中，和是同位角的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：图①、②、④中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故答案为：C．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成得在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角就是同位角，同位角的边形如字母“F”据此逐一判断得出答案.
3．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直
D．两钉子固定木条
【答案】A
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】在测量跳远成绩时，是从运动员落地的脚后跟处向起跳线作垂线段，测量的就是这条垂线段的长度，因为从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，所以测量跳远成绩时，以垂线段的长度来确定成绩，这样能保证测量出的距离是最短的，符合“垂线段最短"的原理；在木板上弹墨线或两钉子固定木条，是利用了“两点确定一条直线” 的原理，通过在木板两端固定两个点，然后用墨线连接这两个点，就可以弹出一条笔直的墨线， 而不是利用“垂线段最短”的原理；将弯曲的河道改直，是为了缩短河道的长度，使水流更顺畅，减少水流阻力等，这是根据“两点之间，线段最短”的原理，即两点之间线段的长度是最短的，而不是“垂线段最短”的原理.
4．小亮解方程组 的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（　　）
A．4和 B．和 C．2和8 D．8和
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵方程组的解为，
∴，
∴，
∴，
∴●和★分别表示8和，
故答案为：D．
【分析】能使方程组中每一个方程的左右两边都相等的未知数的值就是方程组的解，据此直接把x=5代入方程2x-y=12求出y的值，进而将x、y的值代入2x+y计算，由此即可得到答案．
5．下列语句是命题的有（　　）个．
①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论n是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：①是疑问句，没有对事件作出判断，不是命题；
②对事件作出了判断（熊猫确实无翅膀），是命题；
③对事件作出了判断（三角形一定有直角），是命题；
④没有对事件作出判断，只是描述了事件，不是命题；
⑤对事件作出了判断（式子的值都是质数），是命题；
⑥对事件作出了判断（这两条直线也互相平行），是命题．
综上，②、③、⑤、⑥为命题，共4个.
故答案为：B．
【分析】一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；一般说来，对于任何一 个命题，都可以加上“是”或“不是”，注意，作图语言不是命题，据此逐一判断得出答案.
6．围棋起源于中国，中国古代称为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图3，在围棋盘上有三枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图，
白棋③的坐标为．
故选：D．
【分析】本题主要考查利用有序数对表示点的位置，关键在于根据已知两点的坐标确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向。由黑棋① (2，-1) 和黑棋② (-1，0) 的坐标关系，可反推出原点的位置，进而建立坐标系，再读出白棋③的坐标。解题时需注意有序数对中横纵坐标的顺序与棋盘方向的对应关系。
7．估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，而49＜54＜64
∴，
即，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式性质可得，然后根据被开方数越大其算术平方根就越大得出，进而根据不等式性质即可判断出 的取值范围.
8．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，， 则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，由题意得：，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】如图，先根据二直线平行，内错角相等可得，由角的和差求出，再根据二直线平行，同旁内角互补可得，最后根据二直线平行，同位角相等可得∠3=∠CEF，从而得出答案.
9．如图，将一块直角三角尺的直角顶点与原点重合，另两个顶点的坐标分别为，．现将三角尺沿轴向左平移，使点与点重合，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将三角尺沿轴向左平移，使点与点重合，
∴三角尺沿轴向左平移2个单位长度，
∴点的对应点的坐标是，
即：点的坐标是，
故选：A．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中的平移变换规律。由点 A(3，0) 平移后与 A'(1，0) 重合，可知图形整体沿 x 轴向左平移了 2 个单位长度。根据“左减右加”的平移规则，点 B(0，) 的横坐标减 2，纵坐标不变，即得对应点 B'(-2，)。
10．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；正方形的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：由条件可知正方形的边长为，
，
点表示的数为．
故选：B．
【分析】
首先利用正方形面积公式求出边长，从而得到AE的长度为；然后根据数轴上点的位置关系，即点E在点A左侧，用点A表示的数减去AE的长度，就可得出点E所表示的数为。
11．在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形纸片的长为，宽为，
大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，
∴大正方形的边长=7，小正方形（阴影部分）的边长=3，
观察图形能够发现，大正方形的边长=a+3b，小正方形的边长=a-b.
由此得到方程组，
解得，
大长方形的面积是，
故选：C
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题意，需要通过已知正方形面积求出边长，设长方形纸片的长为，宽为，再依据图形中边长关系确定长方形的长和宽，并能从题意中找出等式，从而得出长方形面积.
12．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，，……，
由此发现，每四个点坐标一循环，
∵…1
点的坐标和坐标相同，为
故答案为：A．
【分析】根据新定义运算法则求出前几个点的坐标，就会发现每四个点坐标一循环，从而用2025÷4得商为506，余数为1，故点P2025的点的坐标与点P1的坐标一样.
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，满分24分，请把答案填在答题卡对应的位置上）
13．的平方根是 　 　．
【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
14．已知点到轴的距离为，到轴距离为，且在第三象限内，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵到轴的距离为，到轴距离为，
∴纵坐标为，横坐标为，
∵点在第三象限，
∴坐标为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标与距离的关系及各象限点的符号特征。点到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到 y 轴的距离等于横坐标的绝对值。由已知得 |x| = 5，|y| = 3，且点 M 在第三象限，第三象限内点的横、纵坐标均为负，故取 x = -5，y = -3，即 M(-5， -3)。
15．定义新运算：，则的运算结果是　 　．
【答案】2
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查新定义运算的理解与有理数的混合运算。根据给定的运算规则 ab = a(a+b)-1，将 a=3、b=-2 代入，先计算括号内 3 + (-2) = 1，再计算 3×1 = 3，最后减去 1 得 2。注意运算顺序：先算括号内的加法，再算乘法，最后算减法。
16．若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则常数　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解： ，
①+②得：3x=3+3k，解得：x=1+k，
把x=1+k代入①得：y=k-2，
∴方程组的解为，
∵方程组的解互为相反数，
∴x+y=0，即1+k+k-2=0，
解得：k=；
故答案为：.
【分析】利用加减法解方程组得，由方程组的解互为相反数，可得x+y=0，据此建立关于k方程并解之即可.
17．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间　 　．
【答案】5秒或95秒
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：，，
，，
分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
，，
要使，则，
即，
解得：；
如图②，旋转到与都在的右侧，
，，
要使，则，
即，
解得：；
如图③，旋转到与都在的左侧，
，，
要使，
则，即，
解得：，
此时，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，．
故答案为：秒或秒．
【分析】本题以射线旋转为背景，综合考查平行线的判定（内错角相等、同位角相等）以及一元一次方程在动态几何中的应用。分三种情况讨论：① AB 与 CD 在 EF 两侧时，利用内错角相等列方程；② CD 旋转到与 AB 都在 EF 右侧时，利用同位角相等列方程；③ CD 旋转到与 AB 都在 EF 左侧时，同样利用同位角相等列方程。注意旋转角度范围限制在 CD 转动一周（即 0到 360）内，分别求出对应时间。
18．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考：
第1步：确定的位数．因为，，，所以是2位数；
第2步：确定个位数字．因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9；
第3步：确定十位数字．划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3．
综合以上可得．
已知103823是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是　 　．
【答案】47
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：第1步：由，确定是两位数．
第2步：由的个位上的数是3，，能确定的个位上的数是．
第3步：如果划去103823后面的三位得到数103，而，由此确定的十位上的数是4．
因此，103823的立方根是47．
故答案为：47．
【分析】本题以华罗庚速算立方根的方法为背景，综合考查立方根的位数估算、个位数字的对应关系以及十位数字的范围比较。第一步根据 1000 < 103823 < 1000000 确定立方根为两位数；第二步由个位数 3 对照立方个位规律（ = 343 个位为 3）确定个位为 7；第三步划去后三位 823 得 103，比较 = 64 和= 125，由 64 < 103 < 125 确定十位为 4，从而立方根为 47。
三、解答题（本大题有7个小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】无理数的混合运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先将的被开方数化为假分数，然后根据算术平方根定义及立方根定义分别计算，最后计算有理数的加减法运算即可；
（2）先根据绝对值性质及去括号法则分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
20．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式整理为，
化简可得，
由①②得，
解得，
将代入②得，
解得，
原方程组的解为．
（2）解：，
由①②得，
解得，
把代入①得，
解得，
方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据连等式列出二元一次方程组，然后再去分母将二元一次方程组化简，进而用方程①+②×2消去t求出s的值，再将s的值代入②方程求出t的值，从而即可得到方程组的解；
（2）用方程①-②×2消去x求出y的值，再将y的值代入yi5方程求出x的值，从而即可得到方程组的解.
（1）解：原式整理为，
化简可得，
由①②得，
解得，
将代入②得，
解得，
原方程组的解为．
（2）解：，
由①②得，
解得，
把代入①得，
解得，
方程组的解为．
21．如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形．
（1）在图中画出三角形；
（2）写出点的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得三角形与三角形面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：如图，三角形即为所求作的三角形；
（2）解：点的坐标为，点的坐标为；
（3）解：存在，点P的坐标是或
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（2）根据点A1与B1在坐标系中的位置得出其坐标为（0，4），（-1，1）；
（3）由题意得三角形的面积为，
设点P的坐标为，
∵三角形BCP与三角形ABC面积相等，
∴，
∴即，
∴或，
∴或，
∴点P的坐标是或．
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到所求的△A1B1C1；
（2）根据（1）的图形即可得到点A1、B1的坐标；
（3）先利用方格纸的特点及三角形面积公式求出△ABC的面积，设点P的坐标为，根据S△BCP与S△ABC面积相等列出方程求解得出m的值，即可求出点P的坐标．
（1）解：如图，三角形即为所求作的三角形；
（2）解：点的坐标为，点的坐标为；
（3）解：由题意得三角形的面积为，
设点P的坐标为，
∵三角形与三角形面积相等，
∴，
∴即，
∴或，
∴或，
∴点P的坐标是或．
22．如图，直线与被直线所截，与，分别交于点，，且，．
（1）试说明：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，设，则，根据补角建立方程，解方程可得，则，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
23．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】解：（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m 1＜0，
∴|m＋1|＋|m 1|＝m＋1＋1 m＝2；
（2）∵与互为相反数，
∴+=0，
∴|2c＋d|＝0且＝0，
解得：c＝2，d＝ 4，
∴2c 3d＝16，
∴2c 3d的平方根为±4．
【知识点】二元一次方程的解；算术平方根的性质（双重非负性）；实数的相反数；化简含绝对值有理数；开平方（求平方根）
【解析】【分析】本题考查数轴上的点表示实数、绝对值的化简、相反数的定义、非负数的性质（绝对值与算术平方根的非负性）以及平方根的概念。
(1) 需先根据数轴平移得到 m，再判断绝对值内式子的符号后化简；
(2) 利用“若两个非负数互为相反数则它们均为零”列方程组求解 c，d，最后求平方根。
24．列方程或方程组解决问题：某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下：
若要从这两种食品中摄入热量和45g蛋白质，应选取A，B两种食品各多少包？
【答案】解：设选用A种食品x包，B种食品y包．
由题意得，，
解得：，
答：选用A种食品3包，B种食品1包．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】本题以实际生活情境为背景，综合考查利用二元一次方程组解决营养配餐问题。设 A 种食品 x 包，B 种食品 y 包，根据两种食品提供的总热量为 3000 kJ、总蛋白质为 45 g，分别列出方程 700x + 900y = 3000 和 10x + 15y = 45，联立方程组求解，注意解应为非负整数且符合实际意义。
25．已知，点分别在直线上，点在之间，连接．
（1）如图1，若，直接写出的度数；
（2）如图2，点是上方一点，连接与交于点，，，，求的度数（结果可用含的式子表示）；
（3）如图3，点是下方一点，连接，若的延长线是的三等分线，平分交于点，求的度数．
【答案】（1）解：∠BEM+∠DFM的度数为80°；
（2）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵是的三等分线，分两种情况：
①当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
又由（1）知：，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴；
【分析】（1）过点作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得到，根据二直线平行，内错角相等得∠BEM=∠NME，∠DFM=∠NMF，然后根据角的构成及等量代换即可得出答案；
（2）过N作NH∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得NH∥AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠HNF=∠DFN及∠HNE=∠NEB，由（1）结论得，由已知及角构成得∠NEB=∠MEB，，从而可求出∠DFN=60°，最后根据等量代换及角的核查可表示出∠ENF；
（3）过点作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得到，根据二直线平行，内错角相等得可得，，由角平分线的定义得，分①当时，②当时，分别根据角的和差、等量代换及已知建立方程根求解得出∠DFM的度数，从而即可求出∠CFN的度数.
（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴；
（2）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵是的三等分线，分两种情况：
①当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
又由（1）知：，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
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