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浙江省杭州市余杭临平区九年级2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）
1．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》引发热议，其中的台词“因为我们都太年轻，不知天高地厚”“若前方无路，我便踏出一条路．若天地不容，我便扭转这乾坤”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．截至2025年2月12日，电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破95亿元．数据95亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：95亿．
故选：D．
【分析】
常用科学记数法把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
2．用5个相同的小立方体搭成以下几何体，其中左视图与其他3个不同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、C、D的左视图如图所示：
B的左视图如图所示：
只有B的左视图与其他3个不同；
故选B．
【分析】
左视图是从左面看到的平面图形．
3．如图，已知直线，，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：A．
【分析】
根据两直线平行，内错角相等得到，再根据三角形外角性质解答．
4．现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：数字1，2，3，4，5这5个数中“恰好是奇数”的数是1，3，5，
∴从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为，
故答案为：C．
【分析】根据概率等于所求情况数与总情况数之比即可求解解．
5．已知，那么下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A中，由，，则不一定成立，故选项A错误，不符合题意；
B中，由，，则不一定成立，故选项B错误，不符合题意；
C中，由，，则不一定成立，故选项C错误，不符合题意；
D中，由，，则成立，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
不等式的基本性质一：给不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等式仍然成立．
6．数学老师在处理一组成绩数据“97，98，100，97，□”时，其中一个数据印刷不清楚，已知这组数据的中位数和去掉“□”后的4个数据的众数相等，则“□”里的数据不可能是（　　）
A．98 B．97 C．96 D．95
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：97，98，100，97的众数为97，
∴“97，98，100，97，□”的中位数为97，
由条件可知第2个97为原数据的第三个数，
∴，
∴□不可能是98，
故选：A．
【分析】
众数指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个；
中位数是把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间一个或最中间两个数据的平均值．
7．如图，在中，，以为直径的与，交于点，，连结，．若，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】连接、，如图：
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C ．
【分析】
由圆周角的推论可得，即BE垂直AC，再由等腰三角形三线合一知点是的中点，则是的中位线，则阴影部分的面积转化为扇形的面积，再利用圆内接四边形的性质可得，再由等边对等角结合三角形内角和定理可得、半径OB＝4，再利用扇形面积公式计算即可．
8．如图，在的网格中，每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；求正切值；相似三角形的判定-SAS；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图，取格点E，G，连接DE、BE.
、
故选：B
【分析】
如图，分别取格点E、G，连接BE、DE，由平行线的性质可得，再由一线三垂直相似模型可证，再由相似三角形的性质结合SAS可证明，则可将转化为 ，再解直角三角形即可．
9．若点，在二次函数（，t为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．当时，若，则 B．当时，若，则
C．当时，若，则 D．当时，若，则
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，在二次函数（，t为常数）的图象上，
∴
设，则，，
∵，
当时，若，则，此时无法确定的符号，故不一定成立，选项A判断错误，
当时，若，则，此时无法确定的符号，故不一定成立，选项B判断错误，
当时，若，则，， 此时，故，选项C判断错误，
当时，若，则，，此时，故，选项D判断正确，
故选：D．
【分析】
由二次函数图象上点的坐标特征知，，，设，则、，由于二次项系数未知，此时再分类讨论，当时，若则，即或，此时的符号无法确定；若则，即，则，即；同理再讨论时的两种情况即可．
10．如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作于点N，过点B作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最小时，取得最大值，
根据垂线段最短，
∴时，取得最大值，
∴，
故选：A．
【分析】
由折叠知BE＝BC＝12，则当BF最小时EF最大，由垂线段最短知当BE垂直AC时BF最小，此时可分别作的高AM和BM，则由等腰三角形三线合一结合勾股定理可得AN的长，再由等面积法求出BM的长，则当F与M重合时EF最大．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．的绝对值是　 　．
【答案】2025
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据绝对值的定义即可求出答案.
12．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
试验种子数（粒）
发芽频数
发芽频率
根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为　 　．（精确到）
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数附近，
所以估计该麦种的发芽概率为，
故答案为：．
【分析】
大量重复试验的频率稳定到概率附近．
13．已知二元一次方程组，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，得：，
故答案为：．
【分析】
观察方程组中各未知数的系数可两个方程相加即可．
14．如图，已知，，，那么CE的长为　 　．
【答案】16
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，，
∴
∴，
故答案为：16．
【分析】
直接应用平行线分线段成比例定理即可．
15．如图，内接于，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，在上的优弧上任取一点，连接，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于半径处处相等，可连接OA，再在优弧AC上任取一点E（不与A、C重合），则由圆内接四边形的性质可得度数，再由圆周角定理可得度数，再利用等边对等角及三角形内角和定理即可．
16．如图，在矩形中，，E是边上的一点，，以E为圆心，为半径的圆弧交于点G，交于点F．若G是的中点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接EG、DF，再过点E作DC的垂线段EH.
∵四边形为矩形，，
∴，，，
，
四边形ADHE是矩形，
，
，
，
，
∵是的中点，
∴、，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，，
∴．
【分析】如图所示，由于点G是弧DF的中点，则分别连接EG、DF，由垂径定理的推论可得FG＝DG、EG垂直DF，再由矩形的性质结合同角的余角相等可得；再过点E作DG的垂线段EH，则由垂径定理可得EH垂直平分DG且，再由平行线的性质结合等量代换可得，则可利用AA证明，由相似比可得CF等于DC的一半等于4；再利用矩形的判定与性质可得DH＝AE，则等量代换得DG＝AD＝2AE，此时可设AE＝x，则CG、FG都可用x的代数式表示，再在中应用勾股定理求出x的值，再利用线段的和差关系分别求出BE和BF即可．
三、解答题（本题有8小题，共72分）解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
17．因式分解、计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣公式法；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）直接运用平方差公式分解因式即可；
（2）实数的混合运算，先化简二次根式并计算特殊角三角函数值，再进行实数的加减乘除混合运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．为了解九年级学生的体能状况，体育老师随机抽取部分学生进行体能测试，并将测试成绩分为“优秀，良好，合格，待合格”四个等级．请根据下面两幅不完整的统计图所提供的信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．
（2）若从“待合格”的名男生和名女生中随机抽取名学生，作为重点帮扶对象，请用画树状图或列表法，求所抽取的两人恰好都是女生的概率．
【答案】（1）解：∵扇形统计图可知“待合格”与“优秀”占总体的一半，条形统计图可知“待合格”人数为，“优秀”人数为，
∴被调查总人数为（人），
∴“良好”的人数为（人），
补全条形统计图如图：
扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为；
（2）解：画出树状图如下：
共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是女生的结果数为．
所以抽取的两人恰好都是女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图，从统计图中获取所需信息是解题关键．
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可知“待合格”与“优秀”占总体的一半，可求出“良好”的人数，再补全条形统计图，再利用百分比计算“合格”部分所对应圆心角的度数即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：∵扇形统计图可知“待合格”与“优秀”占总体的一半，条形统计图可知“待合格”人数为，“优秀”人数为，
∴被调查总人数为（人），
∴“良好”的人数为（人），
补全条形统计图如图：
扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为；
（2）解：画出树状图如下：
共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是女生的结果数为．
所以抽取的两人恰好都是女生的概率为．
19．如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个的圆周角，记为．
（2）请在图中作一个的圆心角，记为．
【答案】（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，则即为所求作；
（2）答：如图，连接BO交延长交 于点F，则即为所求作.

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【分析】
（1）圆内接四边形对角互补；
（2）由圆周角定理得，再利用邻补角的概念延长BO交圆O于点F，则即为所求作．
（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，
即为所求作；
（2）解：延长交于点，
即为所求作．
20．如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）由垂直定义得出，再根据“HL”证明Rt△BFD≌Rt△ACD，由全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）由已知易得AC=BF=13，利用勾股定理即可求出，进而得到，最后由即可得到结果．
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．
（1）若，求一次函数的表达式．
（2）若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围．
【答案】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴将点代入一次函数解析式得：，
联立得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：根据题意：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
∵一次函数的图象经过第四象限，且，则，
∴，
∴
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）由直线上点的坐标特征结合已知联立方程组并求解即可；
（2） 由直线上点的坐标特征知，则，再根据一次函数的图象经过第四象限得，由不等式的性质即可解答．
（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴将点代入一次函数解析式得：，
联立得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：根据题意：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
∵一次函数的图象经过第四象限，且，则，
∴，
∴
∴．
22．如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）由于菱形的一条对角线平分一组对角，则可利用SAS证明，则有，再根据菱形的对边平行可证明，再利用AA证明，再由相似比可得结论成立；
（2）由结合可得，再三角形相似的预备定理可得，由相似比可得即可．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）．
（1）若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标；
（2）若点，在该函数图象上，且，求m的取值范围；
（3）若函数图象经过点，，求证：．
【答案】（1）解：二次函数经过点，
∴．
解得．
∴．
∴函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵的图象经过点，．
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴ ，整理得：，
①当时，，
解得，
∴
②当时，
解得；
∴
综上，的取值范围为：且；
（3）证明：函数的图象经过点，，
∴．
∴．
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）先利用抛物线上点的坐标特征把点的坐标代入函数解析式可得m，再化一般式为顶点式即可；
（2）由抛物线的解析式可得其对称轴为直线，因为抛物线开口向上，则抛物线上的点到对称轴距离远越则对应的函数值越大，即有，整理得：，此时再分两种情况讨论并分别解不等式即可；
（3）由抛物线上点的坐标特征可分别得，，则pq是关于m的二次函数，且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出其最大值即可．
（1）解：二次函数经过点，
∴．
解得．
∴．
∴函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵的图象经过点，．
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧，
∵，
∴存在如下情况：
①当，即时，，
解得，
∴
②当，即时，
解得；
∴
综上，的取值范围为：且；
（3）证明：函数的图象经过点，，
∴．
∴．
∴．
24．如图，是的直径，弦，点D在上，点E是中点，连接分别交于点F，G．
（1）请直接写出与的度数；
（2）若，求的值；
（3）若，求与的面积比．
【答案】（1）；
（2）解：如图所示：
∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形AOBC是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
（3）解：过点C作交AD于点H，连接CG.
，即
是等边三角形
、
【知识点】垂径定理；圆周角定理；翻折全等-公共边模型；手拉手全等模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
（1）
解：∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵点E是中点，经过圆心，
∴，
∴；
【分析】
（1）由等边三角形的判定和性质可得，再根据垂径定理的推论得到即可；
（2）由CD平行AB可判定四边形AOBC是菱形，则AF等于DF等于AD的一半，同时利用三角形相似的预备定理可得，由相似比结合菱形的性质可得DG等于AD的三分之一，再利用线段的和差关系可得FG是AD的六分之一，则；
（3）由垂径定理可得OE垂直平分CD，则过点C作EO的平行线交AD于点F，则EG是的中位线，再由三角形相似的预备定理可得，由面积比等于相似比可得；由圆周角定理可得，则连接CG可结合直角三角形斜边上的中线判定是等边三角形，再由手拉手全等模型可得，再由已知可得，即，则再由翻折全等模型得，即，故．
（1）解：∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵点E是中点，经过圆心，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
作交于点，
，
∴，
∵，
∴，即，
∴点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
（3）解：过点C作于点M，过点F作于点H，
由，不妨设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴在中，，
∴，
∴．
1 / 1浙江省杭州市余杭临平区九年级2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）
1．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》引发热议，其中的台词“因为我们都太年轻，不知天高地厚”“若前方无路，我便踏出一条路．若天地不容，我便扭转这乾坤”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．截至2025年2月12日，电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破95亿元．数据95亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．用5个相同的小立方体搭成以下几何体，其中左视图与其他3个不同的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，已知直线，，，则为（　　）
A． B． C． D．
4．现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．已知，那么下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．数学老师在处理一组成绩数据“97，98，100，97，□”时，其中一个数据印刷不清楚，已知这组数据的中位数和去掉“□”后的4个数据的众数相等，则“□”里的数据不可能是（　　）
A．98 B．97 C．96 D．95
7．如图，在中，，以为直径的与，交于点，，连结，．若，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在的网格中，每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．若点，在二次函数（，t为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．当时，若，则 B．当时，若，则
C．当时，若，则 D．当时，若，则
10．如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．的绝对值是　 　．
12．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
试验种子数（粒）
发芽频数
发芽频率
根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为　 　．（精确到）
13．已知二元一次方程组，则的值为　 　．
14．如图，已知，，，那么CE的长为　 　．
15．如图，内接于，若，则的度数为　 　．
16．如图，在矩形中，，E是边上的一点，，以E为圆心，为半径的圆弧交于点G，交于点F．若G是的中点，则的值为　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分）解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
17．因式分解、计算：
（1）；
（2）．
18．为了解九年级学生的体能状况，体育老师随机抽取部分学生进行体能测试，并将测试成绩分为“优秀，良好，合格，待合格”四个等级．请根据下面两幅不完整的统计图所提供的信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．
（2）若从“待合格”的名男生和名女生中随机抽取名学生，作为重点帮扶对象，请用画树状图或列表法，求所抽取的两人恰好都是女生的概率．
19．如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个的圆周角，记为．
（2）请在图中作一个的圆心角，记为．
20．如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
21．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．
（1）若，求一次函数的表达式．
（2）若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围．
22．如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
23．在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）．
（1）若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标；
（2）若点，在该函数图象上，且，求m的取值范围；
（3）若函数图象经过点，，求证：．
24．如图，是的直径，弦，点D在上，点E是中点，连接分别交于点F，G．
（1）请直接写出与的度数；
（2）若，求的值；
（3）若，求与的面积比．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：95亿．
故选：D．
【分析】
常用科学记数法把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、C、D的左视图如图所示：
B的左视图如图所示：
只有B的左视图与其他3个不同；
故选B．
【分析】
左视图是从左面看到的平面图形．
3．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：A．
【分析】
根据两直线平行，内错角相等得到，再根据三角形外角性质解答．
4．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：数字1，2，3，4，5这5个数中“恰好是奇数”的数是1，3，5，
∴从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为，
故答案为：C．
【分析】根据概率等于所求情况数与总情况数之比即可求解解．
5．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A中，由，，则不一定成立，故选项A错误，不符合题意；
B中，由，，则不一定成立，故选项B错误，不符合题意；
C中，由，，则不一定成立，故选项C错误，不符合题意；
D中，由，，则成立，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
不等式的基本性质一：给不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等式仍然成立．
6．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：97，98，100，97的众数为97，
∴“97，98，100，97，□”的中位数为97，
由条件可知第2个97为原数据的第三个数，
∴，
∴□不可能是98，
故选：A．
【分析】
众数指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个；
中位数是把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间一个或最中间两个数据的平均值．
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】连接、，如图：
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C ．
【分析】
由圆周角的推论可得，即BE垂直AC，再由等腰三角形三线合一知点是的中点，则是的中位线，则阴影部分的面积转化为扇形的面积，再利用圆内接四边形的性质可得，再由等边对等角结合三角形内角和定理可得、半径OB＝4，再利用扇形面积公式计算即可．
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；求正切值；相似三角形的判定-SAS；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图，取格点E，G，连接DE、BE.
、
故选：B
【分析】
如图，分别取格点E、G，连接BE、DE，由平行线的性质可得，再由一线三垂直相似模型可证，再由相似三角形的性质结合SAS可证明，则可将转化为 ，再解直角三角形即可．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，在二次函数（，t为常数）的图象上，
∴
设，则，，
∵，
当时，若，则，此时无法确定的符号，故不一定成立，选项A判断错误，
当时，若，则，此时无法确定的符号，故不一定成立，选项B判断错误，
当时，若，则，， 此时，故，选项C判断错误，
当时，若，则，，此时，故，选项D判断正确，
故选：D．
【分析】
由二次函数图象上点的坐标特征知，，，设，则、，由于二次项系数未知，此时再分类讨论，当时，若则，即或，此时的符号无法确定；若则，即，则，即；同理再讨论时的两种情况即可．
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作于点N，过点B作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最小时，取得最大值，
根据垂线段最短，
∴时，取得最大值，
∴，
故选：A．
【分析】
由折叠知BE＝BC＝12，则当BF最小时EF最大，由垂线段最短知当BE垂直AC时BF最小，此时可分别作的高AM和BM，则由等腰三角形三线合一结合勾股定理可得AN的长，再由等面积法求出BM的长，则当F与M重合时EF最大．
11．【答案】2025
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据绝对值的定义即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数附近，
所以估计该麦种的发芽概率为，
故答案为：．
【分析】
大量重复试验的频率稳定到概率附近．
13．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，得：，
故答案为：．
【分析】
观察方程组中各未知数的系数可两个方程相加即可．
14．【答案】16
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，，
∴
∴，
故答案为：16．
【分析】
直接应用平行线分线段成比例定理即可．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，在上的优弧上任取一点，连接，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于半径处处相等，可连接OA，再在优弧AC上任取一点E（不与A、C重合），则由圆内接四边形的性质可得度数，再由圆周角定理可得度数，再利用等边对等角及三角形内角和定理即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接EG、DF，再过点E作DC的垂线段EH.
∵四边形为矩形，，
∴，，，
，
四边形ADHE是矩形，
，
，
，
，
∵是的中点，
∴、，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，，
∴．
【分析】如图所示，由于点G是弧DF的中点，则分别连接EG、DF，由垂径定理的推论可得FG＝DG、EG垂直DF，再由矩形的性质结合同角的余角相等可得；再过点E作DG的垂线段EH，则由垂径定理可得EH垂直平分DG且，再由平行线的性质结合等量代换可得，则可利用AA证明，由相似比可得CF等于DC的一半等于4；再利用矩形的判定与性质可得DH＝AE，则等量代换得DG＝AD＝2AE，此时可设AE＝x，则CG、FG都可用x的代数式表示，再在中应用勾股定理求出x的值，再利用线段的和差关系分别求出BE和BF即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣公式法；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）直接运用平方差公式分解因式即可；
（2）实数的混合运算，先化简二次根式并计算特殊角三角函数值，再进行实数的加减乘除混合运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：∵扇形统计图可知“待合格”与“优秀”占总体的一半，条形统计图可知“待合格”人数为，“优秀”人数为，
∴被调查总人数为（人），
∴“良好”的人数为（人），
补全条形统计图如图：
扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为；
（2）解：画出树状图如下：
共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是女生的结果数为．
所以抽取的两人恰好都是女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图，从统计图中获取所需信息是解题关键．
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可知“待合格”与“优秀”占总体的一半，可求出“良好”的人数，再补全条形统计图，再利用百分比计算“合格”部分所对应圆心角的度数即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：∵扇形统计图可知“待合格”与“优秀”占总体的一半，条形统计图可知“待合格”人数为，“优秀”人数为，
∴被调查总人数为（人），
∴“良好”的人数为（人），
补全条形统计图如图：
扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为；
（2）解：画出树状图如下：
共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是女生的结果数为．
所以抽取的两人恰好都是女生的概率为．
19．【答案】（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，则即为所求作；
（2）答：如图，连接BO交延长交 于点F，则即为所求作.

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【分析】
（1）圆内接四边形对角互补；
（2）由圆周角定理得，再利用邻补角的概念延长BO交圆O于点F，则即为所求作．
（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，
即为所求作；
（2）解：延长交于点，
即为所求作．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）由垂直定义得出，再根据“HL”证明Rt△BFD≌Rt△ACD，由全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）由已知易得AC=BF=13，利用勾股定理即可求出，进而得到，最后由即可得到结果．
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴将点代入一次函数解析式得：，
联立得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：根据题意：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
∵一次函数的图象经过第四象限，且，则，
∴，
∴
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）由直线上点的坐标特征结合已知联立方程组并求解即可；
（2） 由直线上点的坐标特征知，则，再根据一次函数的图象经过第四象限得，由不等式的性质即可解答．
（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴将点代入一次函数解析式得：，
联立得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：根据题意：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
∵一次函数的图象经过第四象限，且，则，
∴，
∴
∴．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）由于菱形的一条对角线平分一组对角，则可利用SAS证明，则有，再根据菱形的对边平行可证明，再利用AA证明，再由相似比可得结论成立；
（2）由结合可得，再三角形相似的预备定理可得，由相似比可得即可．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：二次函数经过点，
∴．
解得．
∴．
∴函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵的图象经过点，．
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴ ，整理得：，
①当时，，
解得，
∴
②当时，
解得；
∴
综上，的取值范围为：且；
（3）证明：函数的图象经过点，，
∴．
∴．
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）先利用抛物线上点的坐标特征把点的坐标代入函数解析式可得m，再化一般式为顶点式即可；
（2）由抛物线的解析式可得其对称轴为直线，因为抛物线开口向上，则抛物线上的点到对称轴距离远越则对应的函数值越大，即有，整理得：，此时再分两种情况讨论并分别解不等式即可；
（3）由抛物线上点的坐标特征可分别得，，则pq是关于m的二次函数，且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出其最大值即可．
（1）解：二次函数经过点，
∴．
解得．
∴．
∴函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵的图象经过点，．
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧，
∵，
∴存在如下情况：
①当，即时，，
解得，
∴
②当，即时，
解得；
∴
综上，的取值范围为：且；
（3）证明：函数的图象经过点，，
∴．
∴．
∴．
24．【答案】（1）；
（2）解：如图所示：
∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形AOBC是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
（3）解：过点C作交AD于点H，连接CG.
，即
是等边三角形
、
【知识点】垂径定理；圆周角定理；翻折全等-公共边模型；手拉手全等模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
（1）
解：∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵点E是中点，经过圆心，
∴，
∴；
【分析】
（1）由等边三角形的判定和性质可得，再根据垂径定理的推论得到即可；
（2）由CD平行AB可判定四边形AOBC是菱形，则AF等于DF等于AD的一半，同时利用三角形相似的预备定理可得，由相似比结合菱形的性质可得DG等于AD的三分之一，再利用线段的和差关系可得FG是AD的六分之一，则；
（3）由垂径定理可得OE垂直平分CD，则过点C作EO的平行线交AD于点F，则EG是的中位线，再由三角形相似的预备定理可得，由面积比等于相似比可得；由圆周角定理可得，则连接CG可结合直角三角形斜边上的中线判定是等边三角形，再由手拉手全等模型可得，再由已知可得，即，则再由翻折全等模型得，即，故．
（1）解：∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵点E是中点，经过圆心，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
作交于点，
，
∴，
∵，
∴，即，
∴点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
（3）解：过点C作于点M，过点F作于点H，
由，不妨设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴在中，，
∴，
∴．
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