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湖南省长沙市望城区2026年中考数学一模试卷
1．下列实数中，最小的是（　　）
A． B．0 C．1 D．-1.5
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，，且，
∴，
∴ 四个数中最小的是．
故答案为：D.
【分析】根据负数小于0，0小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可．
2．据统计，2025年湖南省生产总值达到5530000000000元.将5530000000000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.053×1013 B．5.53×1012 C．55.3×1011 D．553×1010
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．如图，这是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图如下图所示，
故答案为：A.
【分析】根据主视图是从几何体正面观察到的平面图形解答即可．
4．下列结果计算正确的是（　　）
A．3a2 4ab=7a3b B．a（a-b）=2a-ab
C．-（-2x）3=-8x3 D．a10÷a2=a8
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；单项式乘多项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、积的乘方、同底数幂除法的运算法则逐项判断解答即可.
5．下列事件是必然事件的是(　　)
A．守株待兔 B．水中捞月 C．刻舟求剑 D．水涨船高
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、守株待兔是随机事件，不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
C、刻舟求剑是不可能事件，不符合题意；
D、水涨船高是必然事件，符合题意，
故答案为：D .
【分析】根据事件的分类逐一判断即可.
6．某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：℃），这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．22℃，26℃ B．22℃，20℃ C．21℃，26℃ D．21℃，20℃
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把数据排序为：
所以中位数为21℃，众数为20℃.
故答案为：D.
【分析】将所有数据按由小到大的顺序进行排列，找出最中间的数据即为中位数，找出出现次数最多的数据即为众数.
7．如图，直线AD∥BC，若∠1=38°，BA⊥AC于点A，则∠2为（　　）
A．38° B．32° C．52° D．58°
【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义可得，然后根据平行线的性质得到，求出∠2的度数解答即可．
8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若EO=EC，∠COE=50°，则∠BOD的度数为（　　）
A．150° B．130° C．90° D．70°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据等边对等角得到 ，，根据三角形的内角和定理求出 的度数，最后根据角的和差解答即可．
9．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A．- 4 B．-1 C．1 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根
∴，解得：a=1
故答案为： C
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
10．如图1，将Rt△EFG与正方形ABCD按如图所示的方式摆放，边FG在直线BC上，∠EGF=90°，EG=FG=10cm，AB=16cm，Rt△EFG以2cm/s的速度沿着BC方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动，在运动过程中，当Rt△EFG与正方形ABCD重叠部分面积为18cm2时，其运动时间为（　　）
A．10 B．20 C．1或10 D．2或20
【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；分类讨论
【解析】【解答】解：设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，则点运动的距离为，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
分三种情况讨论：
当时，点在点左侧或重合，点在上，此时重叠部分为直角梯形，其高为，下底为，如图，
设交于点，则为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
令，整理得，
解得，，
∵，
∴；
当时，点在上，点在上（未到达）， 此时 完全在正方形内部，如图
∴，
∵，
∴此时无解；
当时，点在右侧，点在左侧，此时重叠部分为（为与的交点），如图，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点运动的总距离为，初始在左侧处，点相对于的位置为，
∴，
∴，
令，即，
解得或，
∴或，
∵，
∴，
综上所述，当重叠部分面积为时，运动时间为或．
故答案为：C.
【分析】设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，分三种情况讨论重叠部分的面积：当时，重叠部分为直角梯形；当时，三角形完全在正方形内部，重叠部分为三角形，不变；当时，三角形部分移出正方形，重叠部分为等腰直角三角形；列出关于的函数关系式解答即可．
11．分解因式： 　 　.
【答案】7(m+2)(m-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： 7(m+2)(m-2)
【分析】提公因式，结合平方差公式即可求出答案.
12．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 　 　．
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，
则，
解得.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数得到，求出x的取值范围解答即可.
13．方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘，得
解得
检验：当时，
∴是原方程的解．
故答案为：．
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，求出的值并检验解答即可．
14．在平面直角坐标系中，将点M（-3，2）先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为　 　 .
【答案】（-8，-1）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴，，
∴点 N的坐标为．
故答案为：.
【分析】根据平移规律“左减右加，上加下减”解答即可．
15．如图所示的扇形OAB中，∠AOB=120°，过点O作OC⊥OB，OC交AB于点P，若OP=2，则阴影部分的面积为 　 　 .
【答案】3π-2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】根据垂直的定义得到∠PBO=30°，然后根据正切的定义求出OB的值，再运用扇形的面积减去三角形的面积解答即可．
16．你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关.大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0～9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：
望城未来五年主要预期目标为： ①地区生产总值年均增长5.5% 6%； ②全社会研发经费投入年均增长8%； ③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达26%，居民收入增长与经济增长同步.
x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足3A+3B+C=z.请推理出大门密码　 　 .
【答案】525
【知识点】一元一次方程的其他应用；逻辑推理
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∵A为x最小值的整数部分；B为y的四分之一；C满足，
∴，
∴，
∴，
∴大门密码是．
故答案为：525.
【分析】先根据题意得到，，再结合题意依次求出的值即可．
17．计算：.
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先计算零指数次幂、绝对值、化简二次根式、代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再运算加减解答即可．
18．先化简，再求值：，其中
【答案】解：，
．
当时，原式．
【知识点】负整数指数幂；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先运算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，因式分解约分，再根据负指数幂求得x的值，将x的值代入计算即可．
19．如图，在矩形ABCD中，连接对角线BD，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交边AD，BC于点E，F，交BD于点G.
（1）求证：△EGD≌△BFG；
（2）连接DF，若AB=6，△CDF的周长为14，求线段BD的长.
【答案】（1）证明：由作法得MN垂直平分BD，
∴BG=DG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDG=∠FBG，
在△EGD和△BFG中，
，
∴△EGD≌△BFG（ASA）
（2）解：四边形为矩形，
，
垂直平分，
，
，
，
，
在中，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，即可得到BG=DG，根据矩形的性质，利用证明结论即可；
（2）根据垂直平分线的性质可得，然后根据的周长求出的长度，再在中运用勾股定理解答即可．
20．随着城市人口越来越多，很多学校门前车辆拥堵现象日趋明显，为缓解交通压力，某校提倡人们尽可能选择步行或骑车上下学，某调查小组对全校学生的上下学方式（A：小汽车、B：骑电瓶车、C：骑自行车、D：步行）进行了调查，并绘制了不完整的统计图如下：
请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 ▲ 人，请补全条形统计图.
（2）全校4500名学生中，步行上学的人数为　 　人.
（3）现从A、B、C中各抽1名学生（男女生被抽取的概率相等）进行拥堵体验采访，请画树状图并求出刚好抽到两男一女的概率.
【答案】（1）解：100；
A的人数是人，
B的人数是人，
补全条形统计图如图：
（2）1800
（3）解：画树状图得：
共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，刚好抽到两男一女的概率是．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次抽样调查中的样本容量为：，
故答案为：100；
（2）解：全校4500名学生中，步行上学的人数为人，
故答案为：1800．
【分析】（1）根据骑自行车的人数除以占比得到调查的样本容量，然后根据考查人数乘以A的占比求出A的人数，再用总人数减去其它组的人数求出B的人数，补全条形统计图即可；
（2）用全校人数乘以样本中不行人数的占比解答即可；
（3）画树状图法得到所有的等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
21．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的弦，作OC⊥AB交AE于点F，连接AC交⊙O于点D，若CE=CF.
（1）试判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，OF=1，求AE的长.
【答案】（1）解：CE与⊙O相切；理由如下：
如图，CE=CF，连接OE，则OA=OE，
∴∠CFE=∠CEF=∠AFO，∠OEA=∠OAE，
又∵OC⊥AB，
∴∠OAE+∠AFO=90°，
∴∠CEF+∠OEA=90°，即∠OEC=90°，
∴OE⊥CE，
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线
（2）解：如图，连接，
，是的直径，
，，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得，
故的长为．
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等得到，，然后利用垂直的定义得出，即可得道，证明结论即可；
（2）连接，根据勾股定理求出，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
22． 2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展.某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览.已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元.
（1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？
（2）该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？
【答案】（1）解：设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元；
（2）解：该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台，
由题意得：，
解得：，
答：最多能购买A型机器人台．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，根据题意列二元一次方程组，求出x和y的值解答即阿珂；
（2）设该公司购买型机器人台（为正整数），根据“ 采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元 ”列一元一次不等式，求出最大整数解即可．
23．如图，已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米.（参考数据：，，，，，）.
（1）真空管上端B到水平线AD的距离；
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度.
【答案】（1）解：如图，过作于，
在中，，
则（米），
答：真空管上端到的距离约为米；
（2）在中，，
则（米），
，，，
四边形是矩形，
，，
米，
米，
在中，，
则（米），
（米），
答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过作于，利用正弦的定义求出BF长解答即可；
（2）在中根据余弦的定义求出AF长，然后证明四边形是矩形，即可得到BF=CD，BC=FD，再在中根据正切的定义求出AD长，利用线段的和差解答即可．
24．如图，抛物线y=ax2+bx+c（abc≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点C，顶点为点D，直线CD与x轴交于点M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段OB中点，则称该抛物线为“X—型”抛物线；若M为线段CD中点，则称该抛物线为“Y—型”抛物线.根据该约定，完成下列各题.
（1）下列抛物线中是“X—型”抛物线的有：　 　（填序号）；
①y=x2-3x+4；②y=x2-2x-3；③y=x2-4x+3；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c（abc≠0）为“Y—型”抛物线，且直线CD的解析式为y=-2x+c，求的值；
（3）抛物线G：y=x2+bx+c为“X—型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“Y—型”抛物线，试求出抛物线G的解析式.
【答案】（1）③
（2）解：在中，当时，，当时，则，解得，
∴，；
∵抛物线为“型”抛物线，
∴M 为线段中点，
∴，
∴，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，则，
∴，
∴，
∴
；

（3）解：平移前，在中，当时，，
∴，
∵抛物线G：为“型”抛物线，
∴M为线段中点，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线的解析式为，平移后的顶点坐标为，
在中，当时，，
∴平移后的抛物线与y轴交于点，
∵平移后的抛物线为“型”抛物线，
∴点和点组成的线段的中点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线G的解析式为．

【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：①在中，当时，则，
∵，
∴方程无实数根，
∴抛物线与x轴无交点，
∴抛物线不为“型”抛物线；
②在中，当时，则，解得，
此时不满足，
∴抛物线不为“型”抛物线；
③在中，当时，则，解得，
当时，，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∵的中点坐标为，
∴点M是的中点，
∴该抛物线为“型”抛物线；
故答案为：③；
【分析】（1）令y=0，根据根的判别式可得抛物线①与x轴没有交点，即可判断①；求出抛物线②与x轴的两个交点的横坐标，根据判断②；求出抛物线③与x轴的两个交点的坐标，与y轴的交点的坐标，以及顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，得到点M的坐标，判断③解答；
（2）求出点C和M的坐标，根据定义可得点D的坐标，即可得到对称轴为直线x=c，即可得到，求出和的值，解方程得到的值解答即可；
（3）求出平移前点C，M，D的坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式，进而求出，得到，代入函数解析式可得；求出平移后的顶点坐标，平移后的抛物线与y轴交于点，根据定义得到点和组成的线段的中点在x轴上，进而得到，求出b，c的值解答即可．
25．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，对角线AC与BD相交于点E，对角线AC平分∠BAD.点F在线段AC上，满足CF=CD，连接FB，FD.
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若S△BCD=S△BFD，求的值；
（3）若∠BFD=∠BCD，⊙O的半径为1，记DE=x， ，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出的最大值.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，对角线AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠CAD，
∵，
∴∠ABE=∠ACD，
∴△ABE∽△ACD
（2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴到的距离相等，设到的距离为，到的距离为，
∴
∴，即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
（3）解：如图，连接，设交于点，
∵平分
∴，
∴
∴
设，
∵
∴，
∴
又∵
∴
∵
∴
∴即平分
∴是的内心，
∴，
∴
∵
∴
又∵四边形是的内接四边形
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴是等边三角形，
∵的半径为，
∴，
∵，，
∴
∴
由（2）可得
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
，
的最大值为
【知识点】二次函数的最值；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（3），
∴当时，的最大值为．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，然后根据两角对应相等的两三角形相似即可；
（2）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据三角形的面积公式得出，进而根据AAS得到，即可得到，进而得到，根据角平分线的性质可和三角形的面积关系可得，然后得到，根据对应边成比例解答即可；
（3）连接，设交于点，设，，即可得到，，进而得到是的内心，根据圆内接四边形进而求得，得到是等边三角形，推理得到，，，根据对应边成比例得到，然后对关于x的二次函数配方为顶点式得到最值解答即可．
1 / 1湖南省长沙市望城区2026年中考数学一模试卷
1．下列实数中，最小的是（　　）
A． B．0 C．1 D．-1.5
2．据统计，2025年湖南省生产总值达到5530000000000元.将5530000000000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.053×1013 B．5.53×1012 C．55.3×1011 D．553×1010
3．如图，这是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
4．下列结果计算正确的是（　　）
A．3a2 4ab=7a3b B．a（a-b）=2a-ab
C．-（-2x）3=-8x3 D．a10÷a2=a8
5．下列事件是必然事件的是(　　)
A．守株待兔 B．水中捞月 C．刻舟求剑 D．水涨船高
6．某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：℃），这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．22℃，26℃ B．22℃，20℃ C．21℃，26℃ D．21℃，20℃
7．如图，直线AD∥BC，若∠1=38°，BA⊥AC于点A，则∠2为（　　）
A．38° B．32° C．52° D．58°
8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若EO=EC，∠COE=50°，则∠BOD的度数为（　　）
A．150° B．130° C．90° D．70°
9．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A．- 4 B．-1 C．1 D．4
10．如图1，将Rt△EFG与正方形ABCD按如图所示的方式摆放，边FG在直线BC上，∠EGF=90°，EG=FG=10cm，AB=16cm，Rt△EFG以2cm/s的速度沿着BC方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动，在运动过程中，当Rt△EFG与正方形ABCD重叠部分面积为18cm2时，其运动时间为（　　）
A．10 B．20 C．1或10 D．2或20
11．分解因式： 　 　.
12．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 　 　．
13．方程的解为　 　．
14．在平面直角坐标系中，将点M（-3，2）先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为　 　 .
15．如图所示的扇形OAB中，∠AOB=120°，过点O作OC⊥OB，OC交AB于点P，若OP=2，则阴影部分的面积为 　 　 .
16．你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关.大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0～9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：
望城未来五年主要预期目标为： ①地区生产总值年均增长5.5% 6%； ②全社会研发经费投入年均增长8%； ③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达26%，居民收入增长与经济增长同步.
x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足3A+3B+C=z.请推理出大门密码　 　 .
17．计算：.
18．先化简，再求值：，其中
19．如图，在矩形ABCD中，连接对角线BD，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交边AD，BC于点E，F，交BD于点G.
（1）求证：△EGD≌△BFG；
（2）连接DF，若AB=6，△CDF的周长为14，求线段BD的长.
20．随着城市人口越来越多，很多学校门前车辆拥堵现象日趋明显，为缓解交通压力，某校提倡人们尽可能选择步行或骑车上下学，某调查小组对全校学生的上下学方式（A：小汽车、B：骑电瓶车、C：骑自行车、D：步行）进行了调查，并绘制了不完整的统计图如下：
请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 ▲ 人，请补全条形统计图.
（2）全校4500名学生中，步行上学的人数为　 　人.
（3）现从A、B、C中各抽1名学生（男女生被抽取的概率相等）进行拥堵体验采访，请画树状图并求出刚好抽到两男一女的概率.
21．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的弦，作OC⊥AB交AE于点F，连接AC交⊙O于点D，若CE=CF.
（1）试判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，OF=1，求AE的长.
22． 2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展.某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览.已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元.
（1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？
（2）该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？
23．如图，已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米.（参考数据：，，，，，）.
（1）真空管上端B到水平线AD的距离；
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度.
24．如图，抛物线y=ax2+bx+c（abc≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点C，顶点为点D，直线CD与x轴交于点M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段OB中点，则称该抛物线为“X—型”抛物线；若M为线段CD中点，则称该抛物线为“Y—型”抛物线.根据该约定，完成下列各题.
（1）下列抛物线中是“X—型”抛物线的有：　 　（填序号）；
①y=x2-3x+4；②y=x2-2x-3；③y=x2-4x+3；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c（abc≠0）为“Y—型”抛物线，且直线CD的解析式为y=-2x+c，求的值；
（3）抛物线G：y=x2+bx+c为“X—型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“Y—型”抛物线，试求出抛物线G的解析式.
25．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，对角线AC与BD相交于点E，对角线AC平分∠BAD.点F在线段AC上，满足CF=CD，连接FB，FD.
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若S△BCD=S△BFD，求的值；
（3）若∠BFD=∠BCD，⊙O的半径为1，记DE=x， ，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，，且，
∴，
∴ 四个数中最小的是．
故答案为：D.
【分析】根据负数小于0，0小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图如下图所示，
故答案为：A.
【分析】根据主视图是从几何体正面观察到的平面图形解答即可．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；单项式乘多项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、积的乘方、同底数幂除法的运算法则逐项判断解答即可.
5．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、守株待兔是随机事件，不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
C、刻舟求剑是不可能事件，不符合题意；
D、水涨船高是必然事件，符合题意，
故答案为：D .
【分析】根据事件的分类逐一判断即可.
6．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把数据排序为：
所以中位数为21℃，众数为20℃.
故答案为：D.
【分析】将所有数据按由小到大的顺序进行排列，找出最中间的数据即为中位数，找出出现次数最多的数据即为众数.
7．【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义可得，然后根据平行线的性质得到，求出∠2的度数解答即可．
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据等边对等角得到 ，，根据三角形的内角和定理求出 的度数，最后根据角的和差解答即可．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根
∴，解得：a=1
故答案为： C
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；分类讨论
【解析】【解答】解：设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，则点运动的距离为，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
分三种情况讨论：
当时，点在点左侧或重合，点在上，此时重叠部分为直角梯形，其高为，下底为，如图，
设交于点，则为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
令，整理得，
解得，，
∵，
∴；
当时，点在上，点在上（未到达）， 此时 完全在正方形内部，如图
∴，
∵，
∴此时无解；
当时，点在右侧，点在左侧，此时重叠部分为（为与的交点），如图，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点运动的总距离为，初始在左侧处，点相对于的位置为，
∴，
∴，
令，即，
解得或，
∴或，
∵，
∴，
综上所述，当重叠部分面积为时，运动时间为或．
故答案为：C.
【分析】设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，分三种情况讨论重叠部分的面积：当时，重叠部分为直角梯形；当时，三角形完全在正方形内部，重叠部分为三角形，不变；当时，三角形部分移出正方形，重叠部分为等腰直角三角形；列出关于的函数关系式解答即可．
11．【答案】7(m+2)(m-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： 7(m+2)(m-2)
【分析】提公因式，结合平方差公式即可求出答案.
12．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，
则，
解得.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数得到，求出x的取值范围解答即可.
13．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘，得
解得
检验：当时，
∴是原方程的解．
故答案为：．
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，求出的值并检验解答即可．
14．【答案】（-8，-1）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴，，
∴点 N的坐标为．
故答案为：.
【分析】根据平移规律“左减右加，上加下减”解答即可．
15．【答案】3π-2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】根据垂直的定义得到∠PBO=30°，然后根据正切的定义求出OB的值，再运用扇形的面积减去三角形的面积解答即可．
16．【答案】525
【知识点】一元一次方程的其他应用；逻辑推理
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∵A为x最小值的整数部分；B为y的四分之一；C满足，
∴，
∴，
∴，
∴大门密码是．
故答案为：525.
【分析】先根据题意得到，，再结合题意依次求出的值即可．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先计算零指数次幂、绝对值、化简二次根式、代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再运算加减解答即可．
18．【答案】解：，
．
当时，原式．
【知识点】负整数指数幂；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先运算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，因式分解约分，再根据负指数幂求得x的值，将x的值代入计算即可．
19．【答案】（1）证明：由作法得MN垂直平分BD，
∴BG=DG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDG=∠FBG，
在△EGD和△BFG中，
，
∴△EGD≌△BFG（ASA）
（2）解：四边形为矩形，
，
垂直平分，
，
，
，
，
在中，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，即可得到BG=DG，根据矩形的性质，利用证明结论即可；
（2）根据垂直平分线的性质可得，然后根据的周长求出的长度，再在中运用勾股定理解答即可．
20．【答案】（1）解：100；
A的人数是人，
B的人数是人，
补全条形统计图如图：
（2）1800
（3）解：画树状图得：
共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，刚好抽到两男一女的概率是．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次抽样调查中的样本容量为：，
故答案为：100；
（2）解：全校4500名学生中，步行上学的人数为人，
故答案为：1800．
【分析】（1）根据骑自行车的人数除以占比得到调查的样本容量，然后根据考查人数乘以A的占比求出A的人数，再用总人数减去其它组的人数求出B的人数，补全条形统计图即可；
（2）用全校人数乘以样本中不行人数的占比解答即可；
（3）画树状图法得到所有的等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
21．【答案】（1）解：CE与⊙O相切；理由如下：
如图，CE=CF，连接OE，则OA=OE，
∴∠CFE=∠CEF=∠AFO，∠OEA=∠OAE，
又∵OC⊥AB，
∴∠OAE+∠AFO=90°，
∴∠CEF+∠OEA=90°，即∠OEC=90°，
∴OE⊥CE，
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线
（2）解：如图，连接，
，是的直径，
，，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得，
故的长为．
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等得到，，然后利用垂直的定义得出，即可得道，证明结论即可；
（2）连接，根据勾股定理求出，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
22．【答案】（1）解：设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元；
（2）解：该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台，
由题意得：，
解得：，
答：最多能购买A型机器人台．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，根据题意列二元一次方程组，求出x和y的值解答即阿珂；
（2）设该公司购买型机器人台（为正整数），根据“ 采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元 ”列一元一次不等式，求出最大整数解即可．
23．【答案】（1）解：如图，过作于，
在中，，
则（米），
答：真空管上端到的距离约为米；
（2）在中，，
则（米），
，，，
四边形是矩形，
，，
米，
米，
在中，，
则（米），
（米），
答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过作于，利用正弦的定义求出BF长解答即可；
（2）在中根据余弦的定义求出AF长，然后证明四边形是矩形，即可得到BF=CD，BC=FD，再在中根据正切的定义求出AD长，利用线段的和差解答即可．
24．【答案】（1）③
（2）解：在中，当时，，当时，则，解得，
∴，；
∵抛物线为“型”抛物线，
∴M 为线段中点，
∴，
∴，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，则，
∴，
∴，
∴
；

（3）解：平移前，在中，当时，，
∴，
∵抛物线G：为“型”抛物线，
∴M为线段中点，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线的解析式为，平移后的顶点坐标为，
在中，当时，，
∴平移后的抛物线与y轴交于点，
∵平移后的抛物线为“型”抛物线，
∴点和点组成的线段的中点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线G的解析式为．

【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：①在中，当时，则，
∵，
∴方程无实数根，
∴抛物线与x轴无交点，
∴抛物线不为“型”抛物线；
②在中，当时，则，解得，
此时不满足，
∴抛物线不为“型”抛物线；
③在中，当时，则，解得，
当时，，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∵的中点坐标为，
∴点M是的中点，
∴该抛物线为“型”抛物线；
故答案为：③；
【分析】（1）令y=0，根据根的判别式可得抛物线①与x轴没有交点，即可判断①；求出抛物线②与x轴的两个交点的横坐标，根据判断②；求出抛物线③与x轴的两个交点的坐标，与y轴的交点的坐标，以及顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，得到点M的坐标，判断③解答；
（2）求出点C和M的坐标，根据定义可得点D的坐标，即可得到对称轴为直线x=c，即可得到，求出和的值，解方程得到的值解答即可；
（3）求出平移前点C，M，D的坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式，进而求出，得到，代入函数解析式可得；求出平移后的顶点坐标，平移后的抛物线与y轴交于点，根据定义得到点和组成的线段的中点在x轴上，进而得到，求出b，c的值解答即可．
25．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，对角线AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠CAD，
∵，
∴∠ABE=∠ACD，
∴△ABE∽△ACD
（2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴到的距离相等，设到的距离为，到的距离为，
∴
∴，即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
（3）解：如图，连接，设交于点，
∵平分
∴，
∴
∴
设，
∵
∴，
∴
又∵
∴
∵
∴
∴即平分
∴是的内心，
∴，
∴
∵
∴
又∵四边形是的内接四边形
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴是等边三角形，
∵的半径为，
∴，
∵，，
∴
∴
由（2）可得
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
，
的最大值为
【知识点】二次函数的最值；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（3），
∴当时，的最大值为．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，然后根据两角对应相等的两三角形相似即可；
（2）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据三角形的面积公式得出，进而根据AAS得到，即可得到，进而得到，根据角平分线的性质可和三角形的面积关系可得，然后得到，根据对应边成比例解答即可；
（3）连接，设交于点，设，，即可得到，，进而得到是的内心，根据圆内接四边形进而求得，得到是等边三角形，推理得到，，，根据对应边成比例得到，然后对关于x的二次函数配方为顶点式得到最值解答即可．
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