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浙江省衢州市江山柯城龙游2026年初中毕业生学业水平调研测试数学试题
1． -2026的绝对值是(　　)
A．- 2026 B．2026 C． D．
2．五个相同的正方体搭成的几何体，其主视图为(　　)
A． B．
C． D．
3．根据2026年2月的最新科学报道，天文学家利用詹姆斯·韦伯太空望远镜，在距离地球约129000000 千米的“特洛伊”小行星群中发现了一颗罕见的双小行星.上述新闻中的数据129000000用科学记数法可表示为(　　)
A． B． C． D．
4．下列各式中，计算结果等于 a3的是(　　)
A．a2·a B． C． D．
5．小温将含30°角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得∠AFD=55°，则∠ABC的度数为(　　)
A．15° B．25° C．30° D．35°
6．使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
7．解分式方程 时，去分母正确的是(　　)
A．2x-2=2x-1 B．2x-2=-(2x-1)
C．2x-2(x-3)=-(2x-1) D．2x-2(x-3)=2x-1
8．一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式为： 下列说法错误的是(　　)
A．数据的个数n=5
B．数据的平均数
C．数据的标准差
D．若添加数据3，则这组数据的方差不变
9．如图，在四边形ABCD中， 点 H，F分别在边 AD，BC上移动(不与端点重合)，连接FH，则下列为定值的是(　　)
A．∠EFG的大小 B．四边形EFGH的周长
C．线段FH的长 D．四边形EFGH的面积
10．如图，△ABC在直角坐标系中，∠ABC=90°，点 B 的坐标是(2，1).若反比例函数 的图象经过点A，C，且点A 的横坐标是1，则点C的坐标为(　　)
A．(3， ) B．(1， ) C．( ， ) D．(4， )
11． 因式分解：a2-1=　 　.
12．计算： 　 　.
13．半径为30cm，圆心角 150°的扇形面积为　 　cm2.
14． 2026年春节间有三部热门电影：《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》，小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是　 　.
15．《九章算术》中有这样一个问题：今有共买金，人出两百，盈二千四百；人出一百，盈五百.问人数，金价各几何 其大意是：假设合伙买金，每人出200钱，则多出2400 钱；每人出 100钱，则多出500钱.则合伙买金人共有　 　人.
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AD的中点，点G在边AB上，连接EG，若△AEG的外接圆⊙O恰好与 BC相切于 F 点，则⊙O 的半径为　 　.
17．
（1） 化简： x(2-x)+(x-1)2；
（2）解方程：
18．小王的解题过程如下：
先化简，再求值： 其中a=-1. 解：原式 ① =2a-(a-2) ② =a+2 ③ 当a=-1时，原式=1
（1）请指出第一次出现错误步骤的序号：　 　.
（2）写出正确的解答过程.
19．如图，在 ABCD中， BE平分∠ABC，交AD边于点E， AF⊥BC，垂足为点F， AF交BE 于点 G，已知∠ABE=30°.
（1）求∠AGE 的度数，
（2）若 BF=3， FC=4，求 DE 的长，
20．某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九(1)班和九(2)班各随机抽取10名学生.统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析(竞赛成绩用x表示，共分成A， B， C， D四个等级： A： 90≤x≤100； B： 80≤x<90； C： 70≤x<80；D：60≤x<70).如图是九年级学生竞赛成绩扇形统计图.
【收集数据】
九(1)班 10名学生竞赛成绩： 82， 84， 65， 70， 85， 75， 73， 91， 85， 90
九(2)班 10名学生中B 等级学生的竞赛成绩： 80， 82， 83， 80
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
九(1) 80 83 b 69
九 (2) 80 a 80 92
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： a=　 　，b=　 　， m=　 　.
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由.
（3）九(1)班共有学生45人，九(2)班共有学生50人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少
21．如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度.兴趣小组在海拔1080m的A 处，测得气象雷达站顶端 B的仰角为45°，气象雷达站底端C的仰角为36.9°，已知气象雷达站顶端B 点的海拔约为1200m，求气象雷达站 BC的高度.(参考数据： tan36.9°≈0.75).
22．如图1，AB为⊙O的直径，⊙O的周长为4厘米.动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P 出发1秒后，动点Q也从A 点出发，以x厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点 P 运动t(秒)时，点P，Q与点A 之间较短的弧长分别为y1，y2.y1，y2与t的函数图象如图2所示.
（1）求x的值.
（2）当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式.
（3）若点C为图2中两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求出此时点P，点Q之间的劣弧长.
23．已知二次函数 且a为常数).
（1）当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标.
（2）是否存在实数a，使得对于任意实数t，当x取2+t和2-t时，对应的函数值始终相等 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
（3）当1x始终成立，直接写出a的取值范围.
24．如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A， C，连结AB，BC， CD， AD，过点B作BF⊥AD于点 F，交AC于点G.
（1）如图2，若BF经过点O.
①求证： BG=BC.
②若 求⊙O的半径.
（2）若 求y关于x的函数表达式.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：．
故答案为：B .
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
2．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的主视图为：
．
故答案为：A .
【分析】根据主视图是从正面看到的几何图形解答即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据129000000用科学记数法可表示为．
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，该选项符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意．
故答案为：A .
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项法则逐项判断解答即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：根据题意得：，，
∴，
又，，
∴．
故答案为：B .
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到，再根据三角形外角求出的度数解答即可．
6．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：C .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得，求出x的取值范围，在数轴上表示解答即可．
7．【答案】C
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边乘以去分母得：．
故答案为：C .
【分析】方程左右两边同时乘以化为整式方程即可．
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【解答】解：一组数据1，2，3，4，5，则，
∴，
∴，
∴，
在这组数据中添加一个数据3，这组数据变成1，2，3，3，4，5，则，
∴，
∴．
方差改变．
故答案为：D .
【分析】根据方差、平均数和标准差的公式计算逐项判断解答即可．
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，
∵，
∴，
∴四边形的面积．
∴四边形的面积为定值.
故答案为：D .
【分析】设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，即可得到，然后利用四边形的面积解答.
10．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
∵点A在双曲线的图象上，且横坐标为1，
∴，
∴点．
设直线的关系式为，且经过点，，
得，解得，
∴直线的关系式为，
当时，，当时，，
∴点，
∴，
∴，．
在中，，
在中，，
解得，
∴，
∴点．
设直线的关系式为，且经过点，，
得，解得，
∴直线的关系式为，
将两个函数关系式联立，得，
解得（舍去）或，
当时，，
∴点．
故答案为：A .
【分析】根据反比例函数的解析式求出点A的坐标，利用待定系数法求出直线的关系式，可得与坐标轴交点D，E的坐标，然后根据两点间距离公式求出BE和DE长，根据余弦的定义得到点F的坐标，即可得到直线的关系式，然后联立两直线解析式求出交点C的坐标即可．
11．【答案】（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-1 =（a+1）（a-1）；
故答案为：（a+1）（a-1）.
【分析】根据平方差公式计算即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为： .
【分析】先化简化简二次根式和计算二次根式的乘法，然后合并同类二次根式即可．
13．【答案】375π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
，
所以扇形的面积是．
故答案为：375π .
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》三部影片分别记为A、B、C，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明、小亮二人恰好选择同一部影片观看的结果有3种，
∴小明、小亮二人恰好选择同一部影片观看的概率为，
故答案为： .
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再由概率公式求解即可．
15．【答案】19
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙买金人数共有x人，由题意可得：
，
解得，
即合伙买金人数共有19人．
故答案为：19 .
【分析】设合伙买金人数共有x人，根据“ 每人出200钱，则多出2400 钱；每人出 100钱，则多出500钱 ”列方程，求出x的值解答即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接，延长交于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的切线，点F是切点，
∴，即，
∴四边形是矩形，
∴，，即，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：．
故答案为： .
【分析】连接，延长交于点，根据切线的性质和正方形的额性质得到四边形是矩形，根据垂径定理得到，设， 在中利用勾股定理求出圆的半径长即可解答．
17．【答案】（1）解：原式
=1
（2）解：，
因式分解，得，
即或，
∴，．
【知识点】整式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据单项式乘以多项式和完全平方公式展开，然后合并同类项解答即可；
（2）提取公因式m分解因式，再根据每个因式都等于0求出方程的解即可．
18．【答案】（1）①
（2）解：原式
当a=-1时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】（1）解：出现错误步骤的序号为①，
故答案为：①；
【分析】（1）根据分式化简求值的解答过程逐步检验解答即可；
（2）先同分，然后分子相加减，分母不变，再因式分解约分化简，再代入a的值解答即可．
19．【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE=30° ，
∵AF是高线，
∴∠AFB=90°，
∴∠BGF=60° ，
∴∠AGE=∠BGF=60° ；
（2）解：∵在Rt△ABF中， BF=3， ∠ABC=60°，
，
∵在 ABCD中， AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=∠ABE，
∴AE=AB=6，
∵AD=BC=3+4=7，
∴DE=AD-AE=7-6=1 .
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—边角关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE=30° ，然后根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等解答即可；
（2）利用余弦的定义求出，再根据平行四边形的性质得到∠AEB=∠CBE=∠ABE，进而得到AE=AB=6，再根据线段的和差解答即可．
20．【答案】（1）81；85；30
（2）解：1班与2班的平均数相同，1班中位数、众数高于2班，方差低于2班，总体1班成绩比较好；
（3）解：人
答：估计这两个班级可以获奖的总人数共有24名．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可知，九（1）班10名学生成绩出现次数最多的是85，共出现2次，因此众数是85，即，
九年级（2）班成绩在“B组”的有4人，占，
∴，
九年级（2）班10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是在“B组”，分别为80，82，中位数是，即；
故答案为：81；85；30；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义a和b的值，然后根据B组的人数求出占比，再用整体1减去其它组的占比求出m的值解答即可；
（2）比较两个班的平均数，中位数，众数和方差解答即可；
（3）用各班人数乘以对应的90分及90分以上的学生占比求和解答即可 ．
21．【答案】解：BD=1200-1080=120m，
∵∠BAD=45°，
∴AD=BD=120m ，
∵∠CAD=36.9°，
，
∴CD=120×0.75=90m，
∴BC=30m，
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先求出，再根据对等边得到，再在中根据正切的定义求出CD长，再根据线段的和差解答即可．
22．【答案】（1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒，
所以．
（2）解：设当2≤x≤4时， y1关于t的一次函数表达式为
∵图象经过(2， 2)和(4， 0)，
解得：
∴y1关于t的一次函数表达式为
（3）设当时，关于的一次函数表达式为．
因为函数图象经过和（，可得
，解得，
所以关于的一次函数表达式为．
根据题意，可得
，解得，
所以点C的坐标为．
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；弧长的计算；动点问题的函数图象；圆-动点问题
【解析】【分析】
（1）根据函数图象可知动点圆周上运动一周所用的时间为秒，根据路程÷时间爱你=速度计算即可；
（2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）根据待定系数法求出关于的一次函数解析式，联立两解析式，求出交点坐标，然后求出弧长解答即可．
23．【答案】（1）解：把a=1代入，得
∴顶点坐标为
（2）解：存在.
∵当x=2+t及x=2-t时，对应的函数值相等
∴对称轴为直线
即
解得
（3）解：a>0或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
当时，恒成立，
故，
当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∵当时，若始终成立，
∴a>0或 ．
故答案为：a>0或 ．
【分析】
（1）当a=1时，得到二次函数的一般式，化为顶点式得到顶点坐标即可；
（2）根据二次函数的对称轴公式列方程解答即可；
（3）根据题意列不等式，得出，然后利用二次函数的增减性解答即可．
24．【答案】（1）解：①∵AC⊥BD， BF⊥AD，
∴∠BEG=∠AFG=90°.
∵∠BGE=∠AGF，
∴∠GBE=∠GAF.
∵∠CBD=∠GAF，
∴∠GBE=∠CBD.
∵∠BEG=∠BEC=90°，BE=BE，
∴△BEG≌△BEC.
∴BG=BC.
②连结OD，
∵BF⊥AD， BF经过点O，
∴AF=DF.
∴BF 垂直平分AD，
∴∠ABF=∠DBF.
∴∠ABF=∠CBD，
∵AB=BD，BG=BC，
∴△ABG≌△BCD.
∴GF=1，AF=2.
∵∠ABF=∠DBF=∠GAF，
∴在 Rt△ABF中：
∴BF=4.
令OB=r，则OF=4-r.
DF=AF=2.
∴在 Rt△OFD 中，
解得r=2.5.
（2）解：①当点E靠近点 D时，
∵AC=BD，
.
∴∠BAE=∠DBA=∠EDC=∠ECD.
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠CED=90°.
∴△ABE 和△CDE 均为等腰直角三角形.
∴AE=BE，DE=CE.
由①得 BG=BC.
∵BE⊥GC，
∴GE=CE.
∴GE=CE=DE，
设GE=CE=DE=a，则AG= ax，
∴AE=AG+GE= ax+a.
∴BE=AE= ax+a.
∴BD=BE+DE= ax+2a.
②当点 E 靠近点 B时，
同理可证△BEC 和△AED 均为等腰直角三角形，令 BE=CE=EG=a，
∴AG= ax，AE=DE= ax+a，
∴BD=BE+DE= ax+2a，
∴综合上得： 或
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①根据等角的余角相等可得，根据得到，即可得到结论；
②连结，根据垂径定理和等边对等角得到，再根据SAS得到，即可得到，根据正切的定义和勾股定理得到GF和AF的长，即可求出．然后在 Rt△OFD 中根据勾股定理求出半径即可 ．
（2）分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，先得到和为等腰直角三角形．分别求出和长，求出关于x的函数解析式即可．
1 / 1浙江省衢州市江山柯城龙游2026年初中毕业生学业水平调研测试数学试题
1． -2026的绝对值是(　　)
A．- 2026 B．2026 C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：．
故答案为：B .
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
2．五个相同的正方体搭成的几何体，其主视图为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的主视图为：
．
故答案为：A .
【分析】根据主视图是从正面看到的几何图形解答即可.
3．根据2026年2月的最新科学报道，天文学家利用詹姆斯·韦伯太空望远镜，在距离地球约129000000 千米的“特洛伊”小行星群中发现了一颗罕见的双小行星.上述新闻中的数据129000000用科学记数法可表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据129000000用科学记数法可表示为．
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．下列各式中，计算结果等于 a3的是(　　)
A．a2·a B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，该选项符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意．
故答案为：A .
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项法则逐项判断解答即可.
5．小温将含30°角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得∠AFD=55°，则∠ABC的度数为(　　)
A．15° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：根据题意得：，，
∴，
又，，
∴．
故答案为：B .
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到，再根据三角形外角求出的度数解答即可．
6．使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：C .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得，求出x的取值范围，在数轴上表示解答即可．
7．解分式方程 时，去分母正确的是(　　)
A．2x-2=2x-1 B．2x-2=-(2x-1)
C．2x-2(x-3)=-(2x-1) D．2x-2(x-3)=2x-1
【答案】C
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边乘以去分母得：．
故答案为：C .
【分析】方程左右两边同时乘以化为整式方程即可．
8．一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式为： 下列说法错误的是(　　)
A．数据的个数n=5
B．数据的平均数
C．数据的标准差
D．若添加数据3，则这组数据的方差不变
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【解答】解：一组数据1，2，3，4，5，则，
∴，
∴，
∴，
在这组数据中添加一个数据3，这组数据变成1，2，3，3，4，5，则，
∴，
∴．
方差改变．
故答案为：D .
【分析】根据方差、平均数和标准差的公式计算逐项判断解答即可．
9．如图，在四边形ABCD中， 点 H，F分别在边 AD，BC上移动(不与端点重合)，连接FH，则下列为定值的是(　　)
A．∠EFG的大小 B．四边形EFGH的周长
C．线段FH的长 D．四边形EFGH的面积
【答案】D
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，
∵，
∴，
∴四边形的面积．
∴四边形的面积为定值.
故答案为：D .
【分析】设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，即可得到，然后利用四边形的面积解答.
10．如图，△ABC在直角坐标系中，∠ABC=90°，点 B 的坐标是(2，1).若反比例函数 的图象经过点A，C，且点A 的横坐标是1，则点C的坐标为(　　)
A．(3， ) B．(1， ) C．( ， ) D．(4， )
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
∵点A在双曲线的图象上，且横坐标为1，
∴，
∴点．
设直线的关系式为，且经过点，，
得，解得，
∴直线的关系式为，
当时，，当时，，
∴点，
∴，
∴，．
在中，，
在中，，
解得，
∴，
∴点．
设直线的关系式为，且经过点，，
得，解得，
∴直线的关系式为，
将两个函数关系式联立，得，
解得（舍去）或，
当时，，
∴点．
故答案为：A .
【分析】根据反比例函数的解析式求出点A的坐标，利用待定系数法求出直线的关系式，可得与坐标轴交点D，E的坐标，然后根据两点间距离公式求出BE和DE长，根据余弦的定义得到点F的坐标，即可得到直线的关系式，然后联立两直线解析式求出交点C的坐标即可．
11． 因式分解：a2-1=　 　.
【答案】（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-1 =（a+1）（a-1）；
故答案为：（a+1）（a-1）.
【分析】根据平方差公式计算即可得出答案.
12．计算： 　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为： .
【分析】先化简化简二次根式和计算二次根式的乘法，然后合并同类二次根式即可．
13．半径为30cm，圆心角 150°的扇形面积为　 　cm2.
【答案】375π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
，
所以扇形的面积是．
故答案为：375π .
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
14． 2026年春节间有三部热门电影：《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》，小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》三部影片分别记为A、B、C，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明、小亮二人恰好选择同一部影片观看的结果有3种，
∴小明、小亮二人恰好选择同一部影片观看的概率为，
故答案为： .
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再由概率公式求解即可．
15．《九章算术》中有这样一个问题：今有共买金，人出两百，盈二千四百；人出一百，盈五百.问人数，金价各几何 其大意是：假设合伙买金，每人出200钱，则多出2400 钱；每人出 100钱，则多出500钱.则合伙买金人共有　 　人.
【答案】19
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙买金人数共有x人，由题意可得：
，
解得，
即合伙买金人数共有19人．
故答案为：19 .
【分析】设合伙买金人数共有x人，根据“ 每人出200钱，则多出2400 钱；每人出 100钱，则多出500钱 ”列方程，求出x的值解答即可．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AD的中点，点G在边AB上，连接EG，若△AEG的外接圆⊙O恰好与 BC相切于 F 点，则⊙O 的半径为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接，延长交于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的切线，点F是切点，
∴，即，
∴四边形是矩形，
∴，，即，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：．
故答案为： .
【分析】连接，延长交于点，根据切线的性质和正方形的额性质得到四边形是矩形，根据垂径定理得到，设， 在中利用勾股定理求出圆的半径长即可解答．
17．
（1） 化简： x(2-x)+(x-1)2；
（2）解方程：
【答案】（1）解：原式
=1
（2）解：，
因式分解，得，
即或，
∴，．
【知识点】整式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据单项式乘以多项式和完全平方公式展开，然后合并同类项解答即可；
（2）提取公因式m分解因式，再根据每个因式都等于0求出方程的解即可．
18．小王的解题过程如下：
先化简，再求值： 其中a=-1. 解：原式 ① =2a-(a-2) ② =a+2 ③ 当a=-1时，原式=1
（1）请指出第一次出现错误步骤的序号：　 　.
（2）写出正确的解答过程.
【答案】（1）①
（2）解：原式
当a=-1时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】（1）解：出现错误步骤的序号为①，
故答案为：①；
【分析】（1）根据分式化简求值的解答过程逐步检验解答即可；
（2）先同分，然后分子相加减，分母不变，再因式分解约分化简，再代入a的值解答即可．
19．如图，在 ABCD中， BE平分∠ABC，交AD边于点E， AF⊥BC，垂足为点F， AF交BE 于点 G，已知∠ABE=30°.
（1）求∠AGE 的度数，
（2）若 BF=3， FC=4，求 DE 的长，
【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE=30° ，
∵AF是高线，
∴∠AFB=90°，
∴∠BGF=60° ，
∴∠AGE=∠BGF=60° ；
（2）解：∵在Rt△ABF中， BF=3， ∠ABC=60°，
，
∵在 ABCD中， AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=∠ABE，
∴AE=AB=6，
∵AD=BC=3+4=7，
∴DE=AD-AE=7-6=1 .
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—边角关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE=30° ，然后根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等解答即可；
（2）利用余弦的定义求出，再根据平行四边形的性质得到∠AEB=∠CBE=∠ABE，进而得到AE=AB=6，再根据线段的和差解答即可．
20．某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九(1)班和九(2)班各随机抽取10名学生.统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析(竞赛成绩用x表示，共分成A， B， C， D四个等级： A： 90≤x≤100； B： 80≤x<90； C： 70≤x<80；D：60≤x<70).如图是九年级学生竞赛成绩扇形统计图.
【收集数据】
九(1)班 10名学生竞赛成绩： 82， 84， 65， 70， 85， 75， 73， 91， 85， 90
九(2)班 10名学生中B 等级学生的竞赛成绩： 80， 82， 83， 80
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
九(1) 80 83 b 69
九 (2) 80 a 80 92
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： a=　 　，b=　 　， m=　 　.
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由.
（3）九(1)班共有学生45人，九(2)班共有学生50人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少
【答案】（1）81；85；30
（2）解：1班与2班的平均数相同，1班中位数、众数高于2班，方差低于2班，总体1班成绩比较好；
（3）解：人
答：估计这两个班级可以获奖的总人数共有24名．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可知，九（1）班10名学生成绩出现次数最多的是85，共出现2次，因此众数是85，即，
九年级（2）班成绩在“B组”的有4人，占，
∴，
九年级（2）班10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是在“B组”，分别为80，82，中位数是，即；
故答案为：81；85；30；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义a和b的值，然后根据B组的人数求出占比，再用整体1减去其它组的占比求出m的值解答即可；
（2）比较两个班的平均数，中位数，众数和方差解答即可；
（3）用各班人数乘以对应的90分及90分以上的学生占比求和解答即可 ．
21．如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度.兴趣小组在海拔1080m的A 处，测得气象雷达站顶端 B的仰角为45°，气象雷达站底端C的仰角为36.9°，已知气象雷达站顶端B 点的海拔约为1200m，求气象雷达站 BC的高度.(参考数据： tan36.9°≈0.75).
【答案】解：BD=1200-1080=120m，
∵∠BAD=45°，
∴AD=BD=120m ，
∵∠CAD=36.9°，
，
∴CD=120×0.75=90m，
∴BC=30m，
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先求出，再根据对等边得到，再在中根据正切的定义求出CD长，再根据线段的和差解答即可．
22．如图1，AB为⊙O的直径，⊙O的周长为4厘米.动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P 出发1秒后，动点Q也从A 点出发，以x厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点 P 运动t(秒)时，点P，Q与点A 之间较短的弧长分别为y1，y2.y1，y2与t的函数图象如图2所示.
（1）求x的值.
（2）当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式.
（3）若点C为图2中两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求出此时点P，点Q之间的劣弧长.
【答案】（1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒，
所以．
（2）解：设当2≤x≤4时， y1关于t的一次函数表达式为
∵图象经过(2， 2)和(4， 0)，
解得：
∴y1关于t的一次函数表达式为
（3）设当时，关于的一次函数表达式为．
因为函数图象经过和（，可得
，解得，
所以关于的一次函数表达式为．
根据题意，可得
，解得，
所以点C的坐标为．
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；弧长的计算；动点问题的函数图象；圆-动点问题
【解析】【分析】
（1）根据函数图象可知动点圆周上运动一周所用的时间为秒，根据路程÷时间爱你=速度计算即可；
（2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）根据待定系数法求出关于的一次函数解析式，联立两解析式，求出交点坐标，然后求出弧长解答即可．
23．已知二次函数 且a为常数).
（1）当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标.
（2）是否存在实数a，使得对于任意实数t，当x取2+t和2-t时，对应的函数值始终相等 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
（3）当1x始终成立，直接写出a的取值范围.
【答案】（1）解：把a=1代入，得
∴顶点坐标为
（2）解：存在.
∵当x=2+t及x=2-t时，对应的函数值相等
∴对称轴为直线
即
解得
（3）解：a>0或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
当时，恒成立，
故，
当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∵当时，若始终成立，
∴a>0或 ．
故答案为：a>0或 ．
【分析】
（1）当a=1时，得到二次函数的一般式，化为顶点式得到顶点坐标即可；
（2）根据二次函数的对称轴公式列方程解答即可；
（3）根据题意列不等式，得出，然后利用二次函数的增减性解答即可．
24．如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A， C，连结AB，BC， CD， AD，过点B作BF⊥AD于点 F，交AC于点G.
（1）如图2，若BF经过点O.
①求证： BG=BC.
②若 求⊙O的半径.
（2）若 求y关于x的函数表达式.
【答案】（1）解：①∵AC⊥BD， BF⊥AD，
∴∠BEG=∠AFG=90°.
∵∠BGE=∠AGF，
∴∠GBE=∠GAF.
∵∠CBD=∠GAF，
∴∠GBE=∠CBD.
∵∠BEG=∠BEC=90°，BE=BE，
∴△BEG≌△BEC.
∴BG=BC.
②连结OD，
∵BF⊥AD， BF经过点O，
∴AF=DF.
∴BF 垂直平分AD，
∴∠ABF=∠DBF.
∴∠ABF=∠CBD，
∵AB=BD，BG=BC，
∴△ABG≌△BCD.
∴GF=1，AF=2.
∵∠ABF=∠DBF=∠GAF，
∴在 Rt△ABF中：
∴BF=4.
令OB=r，则OF=4-r.
DF=AF=2.
∴在 Rt△OFD 中，
解得r=2.5.
（2）解：①当点E靠近点 D时，
∵AC=BD，
.
∴∠BAE=∠DBA=∠EDC=∠ECD.
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠CED=90°.
∴△ABE 和△CDE 均为等腰直角三角形.
∴AE=BE，DE=CE.
由①得 BG=BC.
∵BE⊥GC，
∴GE=CE.
∴GE=CE=DE，
设GE=CE=DE=a，则AG= ax，
∴AE=AG+GE= ax+a.
∴BE=AE= ax+a.
∴BD=BE+DE= ax+2a.
②当点 E 靠近点 B时，
同理可证△BEC 和△AED 均为等腰直角三角形，令 BE=CE=EG=a，
∴AG= ax，AE=DE= ax+a，
∴BD=BE+DE= ax+2a，
∴综合上得： 或
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①根据等角的余角相等可得，根据得到，即可得到结论；
②连结，根据垂径定理和等边对等角得到，再根据SAS得到，即可得到，根据正切的定义和勾股定理得到GF和AF的长，即可求出．然后在 Rt△OFD 中根据勾股定理求出半径即可 ．
（2）分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，先得到和为等腰直角三角形．分别求出和长，求出关于x的函数解析式即可．
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