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浙江金华市义乌市稠州中学2025-2026学年下学期七年级数学学科独立作业
1．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是(　　)
A． B． C． D．
2．图中∠1与∠2 为内错角的是(　　)
A． B．
C． D．
3．下列方程中，属于二元一次方程的是(　　)
A． B．x+y-2=0 C．x-1=-4 D．x-y-z=10
4．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是(　　)
A．∠3=∠4 B．∠3+∠5=180°
C．∠1+∠4=180° D．∠2=∠4
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7．古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上乙说得甲九只，两家之数相当.”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计.甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍.”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多.”设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是(　　)
A． B．
C． D．
8．已知 则xn的值是(　　)
A．±8 B．±4 C．4 D．8
9．已知方程组 由于甲看错了方程①中的 a，得到方程组的解为 乙看错了②中的b，得到方程组的解为 则乙把②中的b看成的数是(　　)
A．- 6 B．- 3 C．6 D．3
10．如图， △ABC的角平分线 CD、BE 相交于F， ∠A=90°， EG∥BC，且CG⊥EG 于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠ADC=∠GCD；③∠CEB=2∠DCG；④∠CFE=45°，其中正确的是(　　)
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④
11．已知方程，请用含有的代数式表示，则　 　.
12．计算 的结果为　 　.
13．若方程组 的解满足x+y=3+m，则m的值为　 　.
14．如图，在直角△ABC中，BC=9，把△ABC沿点A 到点E方向平移至△EFG处，EG与BC交于点 M.若CM=3，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为　 　.
15．如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，若∠1=50°，则∠2的度数为　 　°.
16．如图，AB∥CD，∠F-∠E=6°，∠ABE与∠CDF的平分线相交于点 P，则∠P=　 　；
17．计算：
（1）
（2）
18．解下列方程组：
（1）
（2）
19．在如图所示4×4方格中，按下列要求作格点三角形(图形的顶点都在正方形格纸的格点上).
（1）在图1中，将△ABC平移，得到△A' B' C' ，使得△A' B' C'与△ABC无重合部分.
（2）在图2中，线段AB与CD 相交，产生∠α，请以AB为一边画一个△ABE，使得△ABE中的一个角等于∠α.
20．已知：如图∠1=∠2， ∠A=∠D.求证： ∠B=∠C.(请把以下证明过程补充完整)
证明： ∵∠1=∠2(已知)，
又∵∠1=∠3( 　 　 )，
∴∠2=∠　 　 (等量代换).
∴AE∥FD (同位角相等，两直线平行).
∴∠A=∠BFD ( 　 　 ).
∵∠A=∠D (已知)，
∴∠D=∠BFD (等量代换).
∴　 　 ∥CD( 　 　 ).
∴∠B=∠C( 　 　 ).
21．如果 那么我们规定(x， y)=n.例如：因为 所以(3， 9) =2.
（1）(理解)根据上述规定，填空： (2， 8) =　 　， (3， 81) =　 　；
（2）(说理)记(2026， 12) =a， (2026， 5) =b， (2026， 60) =c，试说明： a+b=c；
（3）(应用)若(m， 16)+(m， 5) = (m， t)，求t的值.
22．根据如表素材，探索完成任务.
背景 稠州中学拟举办2026年英语节游园活动，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品.
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元.
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2 元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料.
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶(两种都要)，刚好花220元，有几种购买方案
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 ，则其中 B 型加料的奶茶买了 ▲ 杯 (直接写出答案)
23．已知一副直角三角尺先按如图1的方式拼接在一起，其中直角边OA、斜边OC都与直线MN重合，∠OAB=45°， ∠COD=30°.
（1）在上述所拼图形中，∠BOD 的度数为　 　；
（2）在上述所拼图形基础上，让三角尺AOB固定不动，将三角尺COD绕着点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线MN的上方.设三角尺COD的旋转时间为t秒.
①在旋转过程中，请求出当∠BOC=3∠BOD时t的值；
②在旋转过程中，当AB与三角尺COD的某一边平行时，请直接写出所有满足条件t的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知B不是平移得到，C不是平移得到，D不是平移得到，
A是利用图形的平移得到．
故答案为：A .
【分析】根据图形平移的定义“一个图形沿着某一方向移动一定距离，这种变换叫做平移”逐项进行判断即可．
2．【答案】A
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：根据内错角的定义，选项A中的和是内错角，选项C为内错角，其它两个选项什么角都不是；
故答案为：A．
【分析】根据内错角的定义“被截线之间，截线两侧的角是内错角”逐项判断解答即可．
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A. 中的次数为2，不是二元一次方程；
B. 是含有两个未知数，且含未知数项的最高次数为一次的整式方程，是二元一次方程；
C. 是一元一次方程，不是二元一次方程；
D. 中含有3个未知数，不是二元一次方程．
故答案为：B .
【分析】根据“含有2个未知数和最高次项的次数是1的整式方程是二元一次方程”逐项判断解答即可．
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A. ∵，
∴，故该选项不符合题意；
B. ∵，
∴，
∴，故该选项不符合题意；
C. ∵，
∴，
∴，故该选项不符合题意；
D. ，不能判定，故该选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断解答即可．
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误；
故选：C．
【分析】根据同底数幂乘法计算，积的乘方计算，幂的乘方计算，合并同类项进行判断即可.
6．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵，
∴要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短．
故选：C．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有羊只，乙有羊只．
甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”
；
乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”
．
联立两方程组成方程组．
故答案为：D .
【分析】设甲有羊只，乙有羊只，根据题意列关于，的二元一次方程组解答即可．
8．【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：B .
【分析】将变形为，然后整体代入计算即可．
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②，
∴ 代入②得 ③，
∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①，
∴ 代入①得 ④，
联立③④，③+④得 ，
设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程②，
得 ，
整理得 ，
解得 ，
则乙把②中的b看成的数是．
故答案为：C .
【分析】把 代入方程②，把 代入方程①得到一个关于a，b的二元一次方程，解方程组即可求出a的值，然后再把a和 代入②求出错误的eb的值解答即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：，
．
平分，
，
，故①正确．
，，
，
，
．
，
．
平分，
，
，故②正确．
是的外角，
．
，
．
，
，
．
，故③错误．
、分别平分、，
，．
，
，
，
，
，故④正确．
综上，正确的结论是①②④，
故答案为：C .
【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线得到，即可判断①；根据垂直的定义和等角的余角相等得到判断②；根据三角形的外角性质和角的和差得到，然后根据三角形的额内角和定理得到 ∠CEB≠2∠DCG判断③；根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠CFE的度数判断④解答即可.
11．【答案】
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：.
【分析】利用等式基本性质2进行移项，将x移到等式右边，再通过等式基本性质3将y的系数化为1得到.
12．【答案】-2
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据积的乘方逆运算法则解答即可．
13．【答案】-1
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：，
由①②，得，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据两式相加即可得到，求出m的值解答即可．
14．【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵把沿点A到点E方向平移至处，
∴四边形面积 =梯形面积，
∵，，
∴ ，
∴，解得：，
故答案为：2.
【分析】根据平移得到四边形面积 =梯形面积=15根据线段的和差求出，再根据梯形的面积公式计算即可．
15．【答案】80°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵长方形纸片的对边平行，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴．
故答案为：80° .
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出的度数，然后根据邻补角的定义求得的度数，再根据折叠可得，据此解答即可．
16．【答案】87°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，过点作，过点作，如图：
，
，
，，，，，
， ，
，
，
，
，
，
平分，平分 ，
，，
．
故答案为：87° .
【分析】过点作，过点作，过点作，利用平行公理的推论可得，再根据平行线的性质得到，，，进而求出，再根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】单项式乘单项式；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据单项式与单项式乘法法则计算即可；
（2）先运算案积的乘方，然后利用单项式乘多项式的法则运算即可．
18．【答案】（1）解：
把①代入②得，解得，
把代入①得，
∴原方程组的解为
（2）解：
得，解得，
把代入①得，解得，
∴原方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将①代入②消去x，求出y的值，然后代入①求出x的值解答即可；
（2）根据消去y，解出x的值，然后代入①求出y的值解答即可．
19．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作．
【知识点】作图﹣平移；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】根据平移的性质将△ABC向右平移两个格得到对应点，然后依次连接得到 △A' B' C' 即可；
将向右平移个格，使得点与点重合，则点的对应点为点，即△ABE即为所作．
20．【答案】对顶角相等；3；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵（已知），
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等；3；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【分析】先根据对顶角相等和等量代换得到，根据同位角相等，两直线平行得到，进而得到，再得到，进而得到结论即可．
21．【答案】（1）3；
（2）证明：∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴
（3）解：设，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：3，；
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则可得，，，然后根据同底数幂的乘法证明即可；
（3）设，，，即可得到，，，进而得到，再代入计算即可．
22．【答案】解：任务1：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，
由题意得：，
解得：，
答：款奶茶的销售单价是10元，款奶茶的销售单价是12元；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，
由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
或或，
有3种购买方案；
任务三：3杯或20杯
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务3：设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
、、均为非负整数，
或
或，
答：款加料的奶茶买了3杯或20杯．
【分析】任务1：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，根据“ 买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元 ”列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据“ 买A、B两种款式的奶茶(两种都要)，刚好花220元 ”列二元一次方程，求整数解即可；
任务3：设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，根据题意列出二元一次方程，求出整数解即可．
23．【答案】（1）60°
（2）解：①由题意得，，
∴，
由题意得，，，，，
∵，
∴当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得（舍去），
∴的值为或；
②或或
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，，，
∴；
故答案为：60°；
（2）②当时，如图，
∴，
∴，
解得；
当时，如图：
∴，
∴，
解得；
当时，如图：记交点为点，过点作，
∴，
∴，
解得，
综上：当与三角尺的某一边平行时，满足条件的值为或或．
故答案为：或或.
【分析】
（1）根据平角的定义解答即可；
（2）①根据旋转得到，，，，然后分，，三种情况讨论，根据列方程求解即可；
②分，，三种情况讨论，根据平行线的性质以及角的和差求出的度数解答即可．
1 / 1浙江金华市义乌市稠州中学2025-2026学年下学期七年级数学学科独立作业
1．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知B不是平移得到，C不是平移得到，D不是平移得到，
A是利用图形的平移得到．
故答案为：A .
【分析】根据图形平移的定义“一个图形沿着某一方向移动一定距离，这种变换叫做平移”逐项进行判断即可．
2．图中∠1与∠2 为内错角的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：根据内错角的定义，选项A中的和是内错角，选项C为内错角，其它两个选项什么角都不是；
故答案为：A．
【分析】根据内错角的定义“被截线之间，截线两侧的角是内错角”逐项判断解答即可．
3．下列方程中，属于二元一次方程的是(　　)
A． B．x+y-2=0 C．x-1=-4 D．x-y-z=10
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A. 中的次数为2，不是二元一次方程；
B. 是含有两个未知数，且含未知数项的最高次数为一次的整式方程，是二元一次方程；
C. 是一元一次方程，不是二元一次方程；
D. 中含有3个未知数，不是二元一次方程．
故答案为：B .
【分析】根据“含有2个未知数和最高次项的次数是1的整式方程是二元一次方程”逐项判断解答即可．
4．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是(　　)
A．∠3=∠4 B．∠3+∠5=180°
C．∠1+∠4=180° D．∠2=∠4
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A. ∵，
∴，故该选项不符合题意；
B. ∵，
∴，
∴，故该选项不符合题意；
C. ∵，
∴，
∴，故该选项不符合题意；
D. ，不能判定，故该选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断解答即可．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误；
故选：C．
【分析】根据同底数幂乘法计算，积的乘方计算，幂的乘方计算，合并同类项进行判断即可.
6．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵，
∴要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短．
故选：C．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
7．古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上乙说得甲九只，两家之数相当.”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计.甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍.”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多.”设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有羊只，乙有羊只．
甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”
；
乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”
．
联立两方程组成方程组．
故答案为：D .
【分析】设甲有羊只，乙有羊只，根据题意列关于，的二元一次方程组解答即可．
8．已知 则xn的值是(　　)
A．±8 B．±4 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：B .
【分析】将变形为，然后整体代入计算即可．
9．已知方程组 由于甲看错了方程①中的 a，得到方程组的解为 乙看错了②中的b，得到方程组的解为 则乙把②中的b看成的数是(　　)
A．- 6 B．- 3 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②，
∴ 代入②得 ③，
∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①，
∴ 代入①得 ④，
联立③④，③+④得 ，
设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程②，
得 ，
整理得 ，
解得 ，
则乙把②中的b看成的数是．
故答案为：C .
【分析】把 代入方程②，把 代入方程①得到一个关于a，b的二元一次方程，解方程组即可求出a的值，然后再把a和 代入②求出错误的eb的值解答即可.
10．如图， △ABC的角平分线 CD、BE 相交于F， ∠A=90°， EG∥BC，且CG⊥EG 于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠ADC=∠GCD；③∠CEB=2∠DCG；④∠CFE=45°，其中正确的是(　　)
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：，
．
平分，
，
，故①正确．
，，
，
，
．
，
．
平分，
，
，故②正确．
是的外角，
．
，
．
，
，
．
，故③错误．
、分别平分、，
，．
，
，
，
，
，故④正确．
综上，正确的结论是①②④，
故答案为：C .
【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线得到，即可判断①；根据垂直的定义和等角的余角相等得到判断②；根据三角形的外角性质和角的和差得到，然后根据三角形的额内角和定理得到 ∠CEB≠2∠DCG判断③；根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠CFE的度数判断④解答即可.
11．已知方程，请用含有的代数式表示，则　 　.
【答案】
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：.
【分析】利用等式基本性质2进行移项，将x移到等式右边，再通过等式基本性质3将y的系数化为1得到.
12．计算 的结果为　 　.
【答案】-2
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据积的乘方逆运算法则解答即可．
13．若方程组 的解满足x+y=3+m，则m的值为　 　.
【答案】-1
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：，
由①②，得，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据两式相加即可得到，求出m的值解答即可．
14．如图，在直角△ABC中，BC=9，把△ABC沿点A 到点E方向平移至△EFG处，EG与BC交于点 M.若CM=3，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为　 　.
【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵把沿点A到点E方向平移至处，
∴四边形面积 =梯形面积，
∵，，
∴ ，
∴，解得：，
故答案为：2.
【分析】根据平移得到四边形面积 =梯形面积=15根据线段的和差求出，再根据梯形的面积公式计算即可．
15．如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，若∠1=50°，则∠2的度数为　 　°.
【答案】80°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵长方形纸片的对边平行，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴．
故答案为：80° .
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出的度数，然后根据邻补角的定义求得的度数，再根据折叠可得，据此解答即可．
16．如图，AB∥CD，∠F-∠E=6°，∠ABE与∠CDF的平分线相交于点 P，则∠P=　 　；
【答案】87°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，过点作，过点作，如图：
，
，
，，，，，
， ，
，
，
，
，
，
平分，平分 ，
，，
．
故答案为：87° .
【分析】过点作，过点作，过点作，利用平行公理的推论可得，再根据平行线的性质得到，，，进而求出，再根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可．
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】单项式乘单项式；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据单项式与单项式乘法法则计算即可；
（2）先运算案积的乘方，然后利用单项式乘多项式的法则运算即可．
18．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
把①代入②得，解得，
把代入①得，
∴原方程组的解为
（2）解：
得，解得，
把代入①得，解得，
∴原方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将①代入②消去x，求出y的值，然后代入①求出x的值解答即可；
（2）根据消去y，解出x的值，然后代入①求出y的值解答即可．
19．在如图所示4×4方格中，按下列要求作格点三角形(图形的顶点都在正方形格纸的格点上).
（1）在图1中，将△ABC平移，得到△A' B' C' ，使得△A' B' C'与△ABC无重合部分.
（2）在图2中，线段AB与CD 相交，产生∠α，请以AB为一边画一个△ABE，使得△ABE中的一个角等于∠α.
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作．
【知识点】作图﹣平移；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】根据平移的性质将△ABC向右平移两个格得到对应点，然后依次连接得到 △A' B' C' 即可；
将向右平移个格，使得点与点重合，则点的对应点为点，即△ABE即为所作．
20．已知：如图∠1=∠2， ∠A=∠D.求证： ∠B=∠C.(请把以下证明过程补充完整)
证明： ∵∠1=∠2(已知)，
又∵∠1=∠3( 　 　 )，
∴∠2=∠　 　 (等量代换).
∴AE∥FD (同位角相等，两直线平行).
∴∠A=∠BFD ( 　 　 ).
∵∠A=∠D (已知)，
∴∠D=∠BFD (等量代换).
∴　 　 ∥CD( 　 　 ).
∴∠B=∠C( 　 　 ).
【答案】对顶角相等；3；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵（已知），
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等；3；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【分析】先根据对顶角相等和等量代换得到，根据同位角相等，两直线平行得到，进而得到，再得到，进而得到结论即可．
21．如果 那么我们规定(x， y)=n.例如：因为 所以(3， 9) =2.
（1）(理解)根据上述规定，填空： (2， 8) =　 　， (3， 81) =　 　；
（2）(说理)记(2026， 12) =a， (2026， 5) =b， (2026， 60) =c，试说明： a+b=c；
（3）(应用)若(m， 16)+(m， 5) = (m， t)，求t的值.
【答案】（1）3；
（2）证明：∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴
（3）解：设，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：3，；
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则可得，，，然后根据同底数幂的乘法证明即可；
（3）设，，，即可得到，，，进而得到，再代入计算即可．
22．根据如表素材，探索完成任务.
背景 稠州中学拟举办2026年英语节游园活动，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品.
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元.
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2 元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料.
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶(两种都要)，刚好花220元，有几种购买方案
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 ，则其中 B 型加料的奶茶买了 ▲ 杯 (直接写出答案)
【答案】解：任务1：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，
由题意得：，
解得：，
答：款奶茶的销售单价是10元，款奶茶的销售单价是12元；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，
由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
或或，
有3种购买方案；
任务三：3杯或20杯
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务3：设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
、、均为非负整数，
或
或，
答：款加料的奶茶买了3杯或20杯．
【分析】任务1：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，根据“ 买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元 ”列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据“ 买A、B两种款式的奶茶(两种都要)，刚好花220元 ”列二元一次方程，求整数解即可；
任务3：设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，根据题意列出二元一次方程，求出整数解即可．
23．已知一副直角三角尺先按如图1的方式拼接在一起，其中直角边OA、斜边OC都与直线MN重合，∠OAB=45°， ∠COD=30°.
（1）在上述所拼图形中，∠BOD 的度数为　 　；
（2）在上述所拼图形基础上，让三角尺AOB固定不动，将三角尺COD绕着点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线MN的上方.设三角尺COD的旋转时间为t秒.
①在旋转过程中，请求出当∠BOC=3∠BOD时t的值；
②在旋转过程中，当AB与三角尺COD的某一边平行时，请直接写出所有满足条件t的值.
【答案】（1）60°
（2）解：①由题意得，，
∴，
由题意得，，，，，
∵，
∴当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得（舍去），
∴的值为或；
②或或
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，，，
∴；
故答案为：60°；
（2）②当时，如图，
∴，
∴，
解得；
当时，如图：
∴，
∴，
解得；
当时，如图：记交点为点，过点作，
∴，
∴，
解得，
综上：当与三角尺的某一边平行时，满足条件的值为或或．
故答案为：或或.
【分析】
（1）根据平角的定义解答即可；
（2）①根据旋转得到，，，，然后分，，三种情况讨论，根据列方程求解即可；
②分，，三种情况讨论，根据平行线的性质以及角的和差求出的度数解答即可．
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