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湖南省永州市2026年中考数学一模试卷
1．下列实数中，最小的数是（　　）
A．-3 B．2 C．0 D．5
2．湘超决赛现场观赛人数约43000人，将43000这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A．43×104 B．4.3×104 C．0.43×105 D．0.043×106
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．湘超永州队球员的平均年龄不到20岁，部分核心球员的年龄为：20，19，17，22，20；这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．17和20 B．19和20 C．20和22 D．20和20
5．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3=a6 B．（ab）3=a3b3 C．a2+a3=a5 D．（a2）3=a5
6．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（　　）
A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查
B．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查
C．对我市中学生观看电影《哪吒之魔童降世》情况的调查
D．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
7．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD= (　　)
A．70° B．100° C．110° D．130°
8． 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　）
A．2500（1+x）2=9100 B．2500（1-x）2=9100
C．2500（1-2x）2=9100 D．2500（1+2x）2=9100
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE.若△BDE的面积为，则k的值为（　　）
A． B． C．5 D．10
11．因式分解：x2-x=　 　．
12．计算： ＝　 　.
13．一个n边形的内角和比四边形的内角和多360°，则n为　 　 .
14．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂=动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别为600N和1m，当动力为1200N时，动力臂是　 　m.
15．已知，则分式的值为　 　．
16．在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，联结BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB：AD的值为　 　 .
17．计算：.
18．为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解决下列问题：
（1）①此次调查一共抽取了 ▲ 名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为 ▲ 度；
（2）若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数．
19．道县西洲公园碧水环绕，绿树成荫，文昌阁点缀其间，宛如城市中的生态明珠.数学实践活动小组想去测量文昌阁建筑物的高CD.如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进23m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45°，求此建筑物的高.（结果保留整数，参考数据：，）
20．长沙某文创店主小张计划在网上开设A和B两种产品专卖店.已知：用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等，且A产品的单价比B产品的单价多6元.
（1）求A产品和B产品的单价各是多少元？
（2）开业大促期间，小张计划购进两种产品共150个，要求A产品的数量不少于70个.请问：购进A产品多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？
21．新定义：符号“f”表示一种新运算.它对一些数的运算结果如下：
f（-2）=-2-1=-3，f（-1）=-1-1=-2，
f（0）=0-1=-1，f（1）=1-1=0，f（2）=2-1=1，
…
新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：
…
利用以上规律计算：
（1）f（-8）=　 　，=　 　；
（2）计算：.
22．如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC=BE，AD=BC，连结CD，CE.
（1）求证：∠ADC=∠BCE.
（2）若∠A=50°，∠ADC=30°，求∠CDE的度数.
23．已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB，∠AOB=80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点.
（1）如图①，求∠CED的大小；
（2）如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长.
24．如图，抛物线与直线y=x+m交于B（6，0）和C（0，-6）两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC，P是直线BC下方抛物线上一点.
（1）求m的值；
（2）如图1，过点P作PN平行于y轴交BC于N，求PN最大值；
（3）如图2，连接AP，交BC于点D，若，求点P的坐标；
（4）如图3，将OA绕点O旋转至OA'，连接BA'，CA'，试求出的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是．
故答案为：-3.
【分析】根据正数大于零，零大于负数比较大小解答即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将43000这个数用科学记数法表示为．
故答案为：B.
【分析】学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据“一个图形绕着一点旋转180°后与自身重合的图形是中心对称图形；沿着一条直线折叠，两边能够互相重合的图形是轴对称图形”据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列为17，19，20，20，22，位于正中间的数为20，
∴中位数为20，
∵20出现的次数最多，
∴众数为20．
故答案为：D.
【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数；据此即可求解．
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和合并同类项法则逐项判断解答即可.
6．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意；
B、对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项符合题意；
C、对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意；
D、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据抽样调查和全面调查的分类解答即可.
7．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
故选： C.
【分析】由平行线的性质推出即可求出的度数.
8．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：3÷(3+2)=
故答案为：A.
【分析】 计算从袋中摸出红球的概率。解题的关键在于确定红球数量和总球数，然后应用概率公式： 概率=红球数量÷总球数进行计算。
9．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，
根据题意，得．
故选：A．
【分析】设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据“ 5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元 ”列方程 解答即可．
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两点两垂线型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】设，先根据平行得到，然后根据对应边成比例求出，，得到点D的坐标，然后根据三角形的面积公式求出k的值解答即可．
11．【答案】x（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2-x=x（x-1）
答案为：x（x-1）
【分析】观察此多项式含有公因式，提取公因式即可。
12．【答案】2
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解： ＝ ＝ .
故答案为： .
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则计算得出答案.
13．【答案】6
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和比四边形的内角和多，
∴，
解得：．
故答案为：6.
【分析】根据多边形的内角和公式解答即可．
14．【答案】0.5
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：动力臂为，
故答案为：0.5.
【分析】根据“杠杆原理”，代入数值计算解答即可.
15．【答案】10
【知识点】分式的值；分式的化简求值；约分
【解析】【解答】解：已知等式整理得，
则原式．
故答案为：．
【分析】分式化为，燃弧整体代入计算即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵关于直线的对称点为，
∴，
设，则，
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据轴对称的性质得到，设，根据菱形的性质可得，然后在Rt△ADF中根据勾股定理可得，然后求出比值解答即可．
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算绝对值，零指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后运算减法解答即可.
18．【答案】（1）解：①40；
②喜欢数字艺术的人数为：40﹣14﹣16＝10（名），
补全条形统计图如下：
③90；
（2）解：800280（人），
答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：①此次调查一共随机抽取了学生：16÷40%＝40（名）；
故答案为：40；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为360°90°；
答：扇形统计图中皮影对应扇形圆心角的度数为54°；
故答案为：90；
【分析】
（1） ① 观察条形统计图和扇形统计图，可利用“科创实践小组”人数除以其占比可得参与调查的总人数；
②再利用总人数分别减去“计算思维小组”和“科创实践小组”的人数可得“数学艺术小组”人数，再补全条形统计图即可；
③用360度乘以“数学艺术小组”人数在总人数中的占比即可；
（2）用全校参与总人数乘以“计算思维小组”在参与调查总人数中的占比即可.
19．【答案】解：在中，，
设为，则，
在中，，
，
，
，
，
解得．
答： 此建筑物的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设为，根据等腰直角三角形的性质得到，再根据正切的定义求出，根据线段的和差解答即可.
20．【答案】（1）解：设A产品的单价是a元， B产品的单价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
此时，
答：A产品的单价是16元， B产品的单价是10元；
（2）解：设购进A产品x个，总费用为w元，根据题意得：
，
∵A产品的数量不少于70个，
∴，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最小值，最小值为1920，
答：购进A产品70个时，总费用最低，最低费用是1920元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A产品的单价是a元， 根据“用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等”列分式方程，求出a的值并检验解答即可；
（2）设购进A产品x个，总费用为w元，根据题意列出一次函数解析式，在x的取值范围中，利用一次函数的增减性求出最小值解答即可．
21．【答案】（1）-9；-8
（2）解：
【知识点】有理数的倒数；整式的加减运算；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：（1）根据可知，
根据可知；
故答案为：-9；-8；
【分析】 （1）得到新运算的法则，解答即可．
（2）先根据新运算法则转化为多项式的加减，然后去括号，合并同类项解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴ ，
又∵，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，利用得到，根据对应角相等得到结论即可；
（2）根据三角形外角的性质可得，再根据（1）中结论可得，进而得到，然后根据三角形的内角和定理及等边对等角解答即可．
23．【答案】（1）解：连接．
与相切于点，
．又，
平分．
∴．
，
．
在中，，
．
（2）解：由（1）知：．
，
．
为的一个外角，
．
由题意，为的直径，
．
又的半径为3，则：．
在中，，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一求出的度数，再根据圆周角定理解答即可；
（2）根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG=80°，利用三角形的外角求出，利用直径所对的圆周角是直角得到，然后解直角三角形求出ED和EG长即可解答．
24．【答案】（1）解：∵抛物线与直线交于点，
∴，
解得；
（2）解：由（1）知直线 的解析式为，
∵P是直线下方抛物线上一点
∴设点，
∵过点P作平行于y轴交于N，
∴点，
那么，
则最大值为；
（3）解：∵点，
∴，
∵，
∴，解得，
则D点纵坐标为，
∵点D在直线上，
∴，解得，
则点，
∵抛物线与x轴交于点A和点B，
∴，解得，，
∴点，
设的解解析式为：，
则，
解得：
则的解解析式为：，
联立，
解得：或，
则．
（4）解：在x轴取点P，使，连接，如图，
由旋转的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴的最小值为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把点C的坐标代入y=-x+m求出m的值即可；
（2）过点P作平行于y轴交于N，设点，则点，表示PN长，然后配方为顶点式求出最大值即可；
（3）根据三角形的面积求出D点纵坐标为，代入一次函数的解析式求出点D的坐标，然后求出抛物线与x轴交点点A的坐标，得到的解析式，然后联立直线和抛物线解析求出交点P的坐标即可．
（4）在x轴取点P，使，连接，根据两边成比例且夹角相等得到，即可得到，然后根据两点之间线段最短得到，利用勾股定理解答即可．
1 / 1湖南省永州市2026年中考数学一模试卷
1．下列实数中，最小的数是（　　）
A．-3 B．2 C．0 D．5
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是．
故答案为：-3.
【分析】根据正数大于零，零大于负数比较大小解答即可．
2．湘超决赛现场观赛人数约43000人，将43000这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A．43×104 B．4.3×104 C．0.43×105 D．0.043×106
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将43000这个数用科学记数法表示为．
故答案为：B.
【分析】学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据“一个图形绕着一点旋转180°后与自身重合的图形是中心对称图形；沿着一条直线折叠，两边能够互相重合的图形是轴对称图形”据此解答即可.
4．湘超永州队球员的平均年龄不到20岁，部分核心球员的年龄为：20，19，17，22，20；这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．17和20 B．19和20 C．20和22 D．20和20
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列为17，19，20，20，22，位于正中间的数为20，
∴中位数为20，
∵20出现的次数最多，
∴众数为20．
故答案为：D.
【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数；据此即可求解．
5．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3=a6 B．（ab）3=a3b3 C．a2+a3=a5 D．（a2）3=a5
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和合并同类项法则逐项判断解答即可.
6．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（　　）
A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查
B．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查
C．对我市中学生观看电影《哪吒之魔童降世》情况的调查
D．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意；
B、对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项符合题意；
C、对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意；
D、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据抽样调查和全面调查的分类解答即可.
7．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD= (　　)
A．70° B．100° C．110° D．130°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
故选： C.
【分析】由平行线的性质推出即可求出的度数.
8． 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：3÷(3+2)=
故答案为：A.
【分析】 计算从袋中摸出红球的概率。解题的关键在于确定红球数量和总球数，然后应用概率公式： 概率=红球数量÷总球数进行计算。
9．广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　）
A．2500（1+x）2=9100 B．2500（1-x）2=9100
C．2500（1-2x）2=9100 D．2500（1+2x）2=9100
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，
根据题意，得．
故选：A．
【分析】设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据“ 5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元 ”列方程 解答即可．
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE.若△BDE的面积为，则k的值为（　　）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两点两垂线型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】设，先根据平行得到，然后根据对应边成比例求出，，得到点D的坐标，然后根据三角形的面积公式求出k的值解答即可．
11．因式分解：x2-x=　 　．
【答案】x（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2-x=x（x-1）
答案为：x（x-1）
【分析】观察此多项式含有公因式，提取公因式即可。
12．计算： ＝　 　.
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解： ＝ ＝ .
故答案为： .
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则计算得出答案.
13．一个n边形的内角和比四边形的内角和多360°，则n为　 　 .
【答案】6
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和比四边形的内角和多，
∴，
解得：．
故答案为：6.
【分析】根据多边形的内角和公式解答即可．
14．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂=动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别为600N和1m，当动力为1200N时，动力臂是　 　m.
【答案】0.5
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：动力臂为，
故答案为：0.5.
【分析】根据“杠杆原理”，代入数值计算解答即可.
15．已知，则分式的值为　 　．
【答案】10
【知识点】分式的值；分式的化简求值；约分
【解析】【解答】解：已知等式整理得，
则原式．
故答案为：．
【分析】分式化为，燃弧整体代入计算即可．
16．在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，联结BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB：AD的值为　 　 .
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵关于直线的对称点为，
∴，
设，则，
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据轴对称的性质得到，设，根据菱形的性质可得，然后在Rt△ADF中根据勾股定理可得，然后求出比值解答即可．
17．计算：.
【答案】解：
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算绝对值，零指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后运算减法解答即可.
18．为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解决下列问题：
（1）①此次调查一共抽取了 ▲ 名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为 ▲ 度；
（2）若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数．
【答案】（1）解：①40；
②喜欢数字艺术的人数为：40﹣14﹣16＝10（名），
补全条形统计图如下：
③90；
（2）解：800280（人），
答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：①此次调查一共随机抽取了学生：16÷40%＝40（名）；
故答案为：40；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为360°90°；
答：扇形统计图中皮影对应扇形圆心角的度数为54°；
故答案为：90；
【分析】
（1） ① 观察条形统计图和扇形统计图，可利用“科创实践小组”人数除以其占比可得参与调查的总人数；
②再利用总人数分别减去“计算思维小组”和“科创实践小组”的人数可得“数学艺术小组”人数，再补全条形统计图即可；
③用360度乘以“数学艺术小组”人数在总人数中的占比即可；
（2）用全校参与总人数乘以“计算思维小组”在参与调查总人数中的占比即可.
19．道县西洲公园碧水环绕，绿树成荫，文昌阁点缀其间，宛如城市中的生态明珠.数学实践活动小组想去测量文昌阁建筑物的高CD.如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进23m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45°，求此建筑物的高.（结果保留整数，参考数据：，）
【答案】解：在中，，
设为，则，
在中，，
，
，
，
，
解得．
答： 此建筑物的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设为，根据等腰直角三角形的性质得到，再根据正切的定义求出，根据线段的和差解答即可.
20．长沙某文创店主小张计划在网上开设A和B两种产品专卖店.已知：用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等，且A产品的单价比B产品的单价多6元.
（1）求A产品和B产品的单价各是多少元？
（2）开业大促期间，小张计划购进两种产品共150个，要求A产品的数量不少于70个.请问：购进A产品多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？
【答案】（1）解：设A产品的单价是a元， B产品的单价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
此时，
答：A产品的单价是16元， B产品的单价是10元；
（2）解：设购进A产品x个，总费用为w元，根据题意得：
，
∵A产品的数量不少于70个，
∴，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最小值，最小值为1920，
答：购进A产品70个时，总费用最低，最低费用是1920元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A产品的单价是a元， 根据“用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等”列分式方程，求出a的值并检验解答即可；
（2）设购进A产品x个，总费用为w元，根据题意列出一次函数解析式，在x的取值范围中，利用一次函数的增减性求出最小值解答即可．
21．新定义：符号“f”表示一种新运算.它对一些数的运算结果如下：
f（-2）=-2-1=-3，f（-1）=-1-1=-2，
f（0）=0-1=-1，f（1）=1-1=0，f（2）=2-1=1，
…
新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：
…
利用以上规律计算：
（1）f（-8）=　 　，=　 　；
（2）计算：.
【答案】（1）-9；-8
（2）解：
【知识点】有理数的倒数；整式的加减运算；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：（1）根据可知，
根据可知；
故答案为：-9；-8；
【分析】 （1）得到新运算的法则，解答即可．
（2）先根据新运算法则转化为多项式的加减，然后去括号，合并同类项解答即可．
22．如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC=BE，AD=BC，连结CD，CE.
（1）求证：∠ADC=∠BCE.
（2）若∠A=50°，∠ADC=30°，求∠CDE的度数.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴ ，
又∵，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，利用得到，根据对应角相等得到结论即可；
（2）根据三角形外角的性质可得，再根据（1）中结论可得，进而得到，然后根据三角形的内角和定理及等边对等角解答即可．
23．已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB，∠AOB=80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点.
（1）如图①，求∠CED的大小；
（2）如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长.
【答案】（1）解：连接．
与相切于点，
．又，
平分．
∴．
，
．
在中，，
．
（2）解：由（1）知：．
，
．
为的一个外角，
．
由题意，为的直径，
．
又的半径为3，则：．
在中，，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一求出的度数，再根据圆周角定理解答即可；
（2）根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG=80°，利用三角形的外角求出，利用直径所对的圆周角是直角得到，然后解直角三角形求出ED和EG长即可解答．
24．如图，抛物线与直线y=x+m交于B（6，0）和C（0，-6）两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC，P是直线BC下方抛物线上一点.
（1）求m的值；
（2）如图1，过点P作PN平行于y轴交BC于N，求PN最大值；
（3）如图2，连接AP，交BC于点D，若，求点P的坐标；
（4）如图3，将OA绕点O旋转至OA'，连接BA'，CA'，试求出的最小值.
【答案】（1）解：∵抛物线与直线交于点，
∴，
解得；
（2）解：由（1）知直线 的解析式为，
∵P是直线下方抛物线上一点
∴设点，
∵过点P作平行于y轴交于N，
∴点，
那么，
则最大值为；
（3）解：∵点，
∴，
∵，
∴，解得，
则D点纵坐标为，
∵点D在直线上，
∴，解得，
则点，
∵抛物线与x轴交于点A和点B，
∴，解得，，
∴点，
设的解解析式为：，
则，
解得：
则的解解析式为：，
联立，
解得：或，
则．
（4）解：在x轴取点P，使，连接，如图，
由旋转的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴的最小值为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把点C的坐标代入y=-x+m求出m的值即可；
（2）过点P作平行于y轴交于N，设点，则点，表示PN长，然后配方为顶点式求出最大值即可；
（3）根据三角形的面积求出D点纵坐标为，代入一次函数的解析式求出点D的坐标，然后求出抛物线与x轴交点点A的坐标，得到的解析式，然后联立直线和抛物线解析求出交点P的坐标即可．
（4）在x轴取点P，使，连接，根据两边成比例且夹角相等得到，即可得到，然后根据两点之间线段最短得到，利用勾股定理解答即可．
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