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2026 年云南省新高考自主命题冲刺金卷
数学
本试卷共 4 页，19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 3 D. 5
2. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 等比数列 中， 与 的等差中项为 80，若 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 8
4. 已知双曲线的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且一条渐近线方程为 ，则双曲线的标准
方程是（ ）
A. B. C. D.
5. 设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 一个盒子中装有大小相同、质地均匀的 6 个小球，这 6 个小球分别标有编号 1，2，3，4，5，6，现从盒
中有放回地任取一个球并记下编号，共取 4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为 2，则（
）
A. 中位数可能为 3 B. 众数可能为 4
C. 极差可能为 5 D. 方差可能为 1
7. 已知 ， 是半径为 2 的 的两条直径，且 与 成 60°角，现将 沿直径 折成直二面
角，此时线段 的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面内，圆 上三点 ， ， 满足 ，动点 ， 满足 ，
，则 的最大值是（ ）
A. 4 B. 5 C. D. 6
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，（ ），若 为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是函数 的一个周期 B. 的图象关于直线 对称
C. 函数 的一个零点为 D. 在 上单调递增
10. 已知点 ， ，P 是圆 上一点，且 ，则实
数 a 的取值可以是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 已知数列 满足： ， （ ），则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 数列 是递减数列
C. 若 ， ， 成等差数列，则 p，r，q 也成等差数列
D. 数列 为等差数列
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知离散型随机变量 X，Y 满足 ， ，则 ______.
13. 数列 中， ，数列 的前 项和 ，则数列 的前 项和 ______.
14. 已知函数 （e 为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数 k 的取值范围为______.
四、解答题：本题共 5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第 18、19 题 17 分，
共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中， ，
（1）求 C；
（2）点 D 在 边上，且 ，求 面积.
16. 已知棱长为 的正方体 ， 分别是线段 和 上的两个点，且 与 不
同时重合.
（1）证明： 平面 ；
（2）当 四点共面时，求平面 与平面 的夹角的余弦值的取值范围.
17. 已知函数 ，其中
（1）若函数 在 处有极值 ，求 ， 的值；
（2）当 ， 时，设 ，求 的最小值.
18. 某校有 A，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近
100 天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况
（午餐，晚餐）
甲 30 天 23 天 37 天 10 天
乙 20 天 22 天 18 天 40 天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
（1）记 为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求 X 的分布列和数学期望 ；
（2）设乙在 9 天中有 k 天的午餐和晚餐都选择 B 餐厅就餐的概率为 ，当 取最大值时，求 k 的值；
（3）假设 M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去 A 餐厅就餐”， ，
，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况
下去该餐厅就餐的概率要大.证明： .
19. 已知椭圆 （ ）和抛物线 （ ），在 ， 上各取两个点，这
四个点的坐标为 ， ， ，
（1）求 ， 的方程；
（2）若直线 l 过椭圆 的左焦点 F，与椭圆 交于 A，B 两点，设点 A 关于 x 轴的对称点为 C，直线
与 x 轴交于点 D，当 的面积最大时，求直线 l 的方程；
（3）设 M 是 在第一象限上的点， 在点 M 处的切线 与 交于 P，Q 两点，线段 的中点为 N，过
原点 O 的直线 与过点 M 且垂直于 x 轴的直线交于点 R.证明：点 R 在定直线上.
参考答案
本试卷共 4 页，19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
【1 题答案】
【答案】B
【2 题答案】
【答案】A
【3 题答案】
【答案】D
【4 题答案】
【答案】B
【5 题答案】
【答案】C
【6 题答案】
【答案】D
【7 题答案】
【答案】C
【8 题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
【9 题答案】
【答案】AC
【10 题答案】
【答案】BC
【11 题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
【12 题答案】
【答案】1
【13 题答案】
【答案】
【14 题答案】
【答案】
四、解答题：本题共 5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第 18、19 题 17 分，
共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15 题答案】
【答案】（1）
（2）
【16 题答案】
【答案】（1）证明见解析.
（2） .
【17 题答案】
【答案】（1） 或 ；
（2） .
【18 题答案】
【答案】（1）X 的分布列为
X 1 2
P 0.1 0.9
X 的数学期望 ；
（2） 或 （3）证明见解析
【19 题答案】
【答案】（1） ，
（2） 或
（3）证明见解析

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