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吉林毓文中学2025-2026学年度下学期高一年级第一次月考
数学试卷
一、单选题
1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中正确的是（ ）。
A．若，则与的方向相同或相反
B．若，，则
C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点
D．若，则
4．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，与的夹角，则（ ）
A．10 B．-10 C．5 D．-5
6．在中，角，，所对的边分别为，，且，，，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定
7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（ ）（单位：米，）
A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42
8．在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．，
B．
C．若，，则的最小值为1
D．若是关于x的方程的根，则
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与的夹角为，则
D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
11．下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
三、填空题
12．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
13．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则__________．
14．已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为__________.
四、解答题
15．设复数．
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求．
16．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.
（1）求外接圆的半径；
（2）若，求的面积.
17．已知平面向量，，，.
(1)若，求的值；
(2)若，当时，求的值.
(3)若与的夹角是钝角，求的取值范围.
18．如图，已知正方形的边长为2，过中心O的直线l与两边分别交于交于点M、N．
（1）求的值；
（2）若Q是的中点，求的取值范围；
（3）若P的平面上一点，且满足，求的最小值．
19．在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：

(1)当，且时，求；
(2)角，，所对的边分别为，，，，求证：；
(3)在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域．
参考答案
1．D
2．A
3．D
4．D
5．B
6．B
7．B
8．C
9．ACD
10．ABD
11．ABD
12．
13．
14．3
15．（1）由，得，而是实数，
于是，解得，
所以．
（2）依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
16．解：（1）依题意，，
由正弦定理得，
整理得，
所以，
因为，所以，
故所求外接圆半径；
（2）因为，
所以由余弦定理，
得，
即，
解得或（舍去），
所以.
17．（1）因为，，
所以，解得或者.
（2）当时，，解得.
所以，，
所以.
（3）因为与的夹角是钝角，
所以且，
解得且.
18．解：（1）由正方形可得
所以；
（2）因为直线l过中心O且与两边分别交于交于点．
所以O为中点，所以
所以．
因为Q是BC的中点，
所以，
所以，
即的取值范围为；
（3）令，由知点T在BC上，
又因为O为中点，
所以，从而，
因为，
所以，
即的最小值为
19．（1）当，且时，得，
由余弦定理，得，所以，
又，所以，，
在中，由正弦定理得，解得，
比如，
在中，由正弦定理得，解得，
所以，解得.
（2）由，则，
在中，由正弦定理得，解得①，
在中，，
由正弦定理得，，得②，
由①②+，即.
由正弦定理，可得.
（3）由题意有，，则
，
所以，
因为，解得，
又由三角形边的关系知，则，即
，整理得，解得，即，
而时，单调递减，，，
所以的值域为.

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