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最大公因数与最小公倍数
X X老师
五年级
复习回顾
一、基本概念
1.因数与倍数：
如果一个自然数a能被非零自然数b整除，则称a是b的倍数，b是a的因数。
如：24÷4＝6 ，则称：24是4和6的倍数，4和6是24的因数。
2.公因数与公倍数：
（1）几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数；
（2）几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数；
3.最大公因数：几个自然数的所有公因数中最大的那个公因数；
最小公倍数：几个自然数的所有公倍数中最小的那个公倍数；
复习回顾
二、常用方法
1.列举法：
2.短除法：
3分解质因数法：
适用于较小的数
小 试 牛 刀
练习1：用短除法求240和360的最大公因数和最小公倍数。
240 360
2
120
180
2
60
90
2
30
45
3
10
15
5
2
3
互质
互质：若（a,b）=1，则称a，b互质。
经典例题
例1.用短除法求240，360和420的最大公因数和最小公倍数。
240 360 420
2
120
180
210
2
60
90
105
3
20
30
35
5
4
6
7
2
2
3
7
两两互质
：任意两数的公因数都只有“1”。
总结：
1.最大公因数：所有数的公有质因数连乘，即公有除数连乘。
2.最小公倍数：外围一圈所有数连乘，即所有除数×最后所有商。
经典例题
例1.用短除法求42，168和252的最大公因数和最小公倍数。
小 试 练 练 练
1.用短除法求70，98和112的最大公因数和最小公倍数。
2.用短除法求210，252和700的最大公因数和最小公倍数。
新 课 探 索
思考：用分解质因数法求60和90的最大公因数和最小公倍数
60=2×2×3×5
90=2×3×3×5
（60，90）
=2×3×5=30
=2×3×5×2×3=180
分解质因数法求最大公因数和最小公倍数：
最大公因数：
取公有质因数相乘，且相同质因数次数取小；
最小公倍数：
取所有质因数相乘，且相同质因数次数取大。
经典例题
例2.用分解质因数法求180和840的最大公因数和最小公倍数.
解：
180=2×2×3×3×5
840=2×2×2×3×5×7
（180，840）
=
=
答：最大公因数是60，最小公倍数是2520.
小试练练练
1.用分解质因数法求75和120 的最大公因数和最小公倍数。
2.将A,B两个数分解质因数是 ， ，求A，B的最大公因数和最小公倍数。
3.已知A=2×3×m,B=3×5×m（m是自然数且m≠0），如果A和B的最大公因数是21，求出m值？A和B的最小公倍数是多少？
经典例题
例3.用一个数去除 31,61,76，都余1，求这个数最大是多少？
举一反三
变式1:一个大于1的自然数，除以4余1，除以5余1，除以6余1，求这个数最小是多少？
变式2:一个大于10的自然数，除以4差2，除以5差2，除以6差2，求这个数最小是多少？
举一反三
变式3:一个大于10的自然数，除以4少1，除以5少2，除以6余3，求这个数最小是多少？
变式4:一个大于100的自然数，除以7少4，除以9余5，求这个数最小是多少？
当余数和差数不相同时：要么都转化为余数，要么都转化为差。
小试练练练
1.用一个数去除107，212，352，都余2，求这个数最大是多少？
2.现有39支钢笔，40台计算器，平均分发给四、五年级评出的优秀学生，结果钢笔多出3支，计算器少2台，问评出的优秀学生最多有几人？
小试练练练
3.王奶奶的篮子里有不少于10个鸡蛋，她把这些鸡蛋4个一分多1个，5个一分多一个，6个一分还是多一个，请问她的篮子里至少有几个鸡蛋？
4.一个两位数除以5余3，除以7少4，求适合条件的最小的两位数？
经典例题
例4.花店里有72支红玫瑰、48支黄玫瑰和36支康乃馨，扎成花束出售。如果要把红玫瑰、黄玫瑰和康乃馨平均分在每束花中，最多可以分成多少束？每束花里至少有多少支花？
经典例题
例5.甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分钟、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会？
什么时候求最大公因数？什么时候求最小公倍数？
小试练练练
1.现有336个苹果，252个橘子，210个梨，用这些水果最多可分成若干份同样的礼物，这时在每份礼品中三种水果各多少个？
2.有三根钢筋，分别长200厘米、240厘米、360厘米。现要把这三根钢筋截成尽可能长而且相等的小段，请问每段最长是多少厘米？一共能截成多少段？
小试练练练
3.一张长方形的纸，长75厘米，宽6分米。现在要把它截成一块块正方形，而且正方形的边长为整数厘米，有几种截法？如果要使截得的正方形面积最大，可以截多少块？
小试练练练
1.甲、乙、丙三人沿200米的环形跑道跑步，甲跑一圈要1分30秒，乙跑一圈要1分20秒，丙跑一圈要1分12秒，三人同时同向同地起跑，最少经过多少时间又在同一起跑线上相遇？相遇时甲、乙、丙各跑了几圈？
2.某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔 5分钟发车一次，第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次。9点时三条线路同时发车，下一次同时发车是什么时候
小试练练练
3.甲、乙、丙三人去跑步，甲每秒跑3m，乙每秒跑4m，丙每秒跑2m，三人沿600m的环形跑道从同一点同时同向跑步，经过多长时间三人同时到达出发点？
4.大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测--个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步54厘米，爸爸每步72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花圃周长。
新 课 探 索
抢答：已知甲、乙两数的最小公倍数是120，最大公因数是6.如果甲数是24，则乙数是多少？
结论：两个数最大公因数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。
乙：120×6÷24=30
24
乙
6
4
m
6×4×m=120
m=5
乙=5×6=30
经 典 例 题
例6：甲、乙两数的最大公因数是6,最小公倍数是144,且其中较大的数与较小的数不是倍数关系，求甲、乙的和.
甲
乙
6
a
b
6×a×b=144
a×b=24
a、b的取值有哪些情况呢？
a、b必须互质
a、b不是倍数关系
小试练练练
1.两个整数的最小公倍数是72，最大公因数是6，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？
2.已知两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
小试练练练
3.（思考题）已知两个自然数的乘积为240，最小公倍数是60，求这两个数？
经 典 例 题
例7：两个自然数的和是432，它们的最大公因数是36，求这两个数？
甲
乙
36
a
b
甲＋乙=432
36a＋36b=432
a、b的取值有哪些情况呢？
a、b必须互质
a＋b=12
小试练练练
1.两个自然数的和是150，它们的最大公因数是10，求这两个数？
2.已知两个自然数的和为165，它们的最大公因数为15，且小数不能整除大数，求这两个数？
小试练练练
3.两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210。这两个数的和为77，求这两个数？
4.两个自然数的差是2，它们的最大公因数与最小公倍数之和是86，求这两个数？

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