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吉林四平市第一高级中学2025-2026学年下学期阶段性验收考试高一
数学试卷
一、单选题
1．设复数满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．0
3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．中，，则一定是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
5．在中，，，，的角平分线交于D，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
6．如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距的C，D两点，测得，A，B两点的距离为（ ）．

A． B． C． D．
7．已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．若，，则
B．若且，则
C．若，为非零向量，且，则
D．若向量，，两两的夹角相等，且，，，则
10．设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．任何两个复数不能比较大小；
B．若，则或
C．若点Z坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
11．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，，，则有两解
B．若，则是等腰三角形
C．若在线段上，且，，，，则的面积为
D．若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为．
三、填空题
12．复数的共轭复数的虚部是_____________
13．已知向量，，，则向量在向量上的投影向量坐标为_____________
14．已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．
四、解答题
15．已知复数，其中i为虚数单位，．
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
16．已知向量，，且与的夹角为．
(1)求；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17．如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．

(1)求的值；
(2)若为边上一点，且，求的长．
18．在中，．
(1)若，的面积为，求c；
(2)若，
①求面积的最大值；
②求周长的取值范围．
19．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题：
(1)已知向量，满足，，，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
(3)已知向量，，，求的最小值．
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．C
5．C
6．C
7．B
8．B
9．ABD
10．CD
11．ACD
12．1
13．
14．
15．（1）由是纯虚数，可得，
由①解得或，因时，，不合题意，
故的值为；
（2）由在复平面内对应的点在第二象限，
可得，由③解得；由④解得或，
故得，即的取值范围为.
16．（1）向量，可得，且，
因为与的角为，可得，
解得，所以，
则，
所以．
（2）由向量，
可得，
由，解得，
当向量与共线时，可得，解得，
所以实数的取值范围为．
17．（1）由余弦定理得：
∴ ,
由正弦定理：得.
（2）如图所示：

过作于，在中， ，，
∴，，在中，.
∴
∴
∴
18．（1）因为，利用正弦定理，可得：
，
所以，
因为为的内角，所以，所以.
又，所以.
由.
由余弦定理：，
所以.
（2）在中，，，
由余弦定理：.
因为，当且仅当时取“”，
所以.
所以.
所以当为等边三角形时，面积取得最大值为.
又，且，当且仅当时取“”，
所以.
所以，
所以周长的取值范围为：.
19．（1）由已知可得，.
又，，
则.
又，所以，
所以，.
（2）由已知可得，，，
所以有，，，
则.
又，
所以，
所以，.
（3）由已知可得，
所以，，则，.
又，
所以，.
因为，所以.
令，则，
当且仅当，，即时等号成立，
所以，的最小值为，
所以的最小值为.

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