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吉林四平市第一高级中学2025-2026学年下学期阶段性验收考试高二
数学试卷
一、单选题
1．已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（ ）
A．147 B．112 C．65 D．50
3．放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ）
A．贝克 B．贝克 C．贝克 D．贝克
4．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ）
A．1010 B．2020 C．2023 D．2024
5．在某班进行的歌唱比赛中，共有6位选手参加，其中3位女生，3位男生．如果3位男生任何两人都不能连着出场，且女生甲不能排在最后一个，那么出场顺序的排法种数为（ ）
A．60 B．72 C．132 D．144
6．已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数其中为自然对数的底数，若函数的3个零点分别为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．是函数的极小值点
B．对，方程恒有两个不同的实数解
C．
D．存在，使得直线与曲线相切
10．某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A．若要求3名男生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法
B．若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有120种不同的排法
C．若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有72种不同的排法
D．若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有504种不同的排法
11．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．方程有三个不等实根
B．是的一个极值点
C．不等式的解集为
D．当时，恒成立
三、填空题
12．函数在时有极小值，那么的值为____.
13．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停放点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________．
14．已知函数在区间单调递增，则实数的最小值为________．
四、解答题
15．求解下列问题：
(1)解关于的不等式：；
(2)化简：；
16．已知函数．
(1)已知函数，求的单调区间；
(2)若对于任意，都有（e为自然对数的底数），求实数的取值范围．
17．已知函数．
(1)若，求的最大值；
(2)已知为的两个零点．证明：．
18．已知函数.
(1)证明：有且只有一个极值点；
(2)若恰有两个零点.
（i）证明：；
（ii）记的极值点为，若，求的取值范围.
19．已知函数，．
(1)求在内的单调性；
(2)若存在，使得，求实数a的取值范围；
(3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．
参考答案
1．D
2．C
3．C
4．D
5．C
6．C
7．D
8．A
9．AB
10．ABD
11．ACD
12．30或6
13．10
14．
15．（1）依题意，有，可得，
由，得，即，
整理得，解得，所以，
又，得，所以的解集为.
（2）由可得，
则．
所以．
16．（1）由已知，
，令，解得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以的单调减区间为，单调增区间为；
（2）由题可知，，
所以，
设，
则，令，解得，
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增，
又，即，
所以．
17．（1）若，则， 函数定义域为，
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
即最大值为.
（2）函数，有，
由得，有，
所以，
要证，因为，
所以只要证明，
设，则，即，即，
所以，则，
所以，
则只需证明，等价于，
设，则，
所以在上单调递增，
故时，，命题得证.
18．（1）解法一：函数的定义域，
令，因为，
所以在单调递增，即在单调递增.
又.
所以存在唯一的实数，使得，即.
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
故为的极小值点，即有唯一的极值点；
解法二：同法1得到在单调递增.
由于
，
，
所以存在唯一的实数，使得，即，
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
故为的唯一极值点.
（2）（i）解法一：由（1），得.
①当时，至多一个零点，不合题意，舍去；
②当，即时，
由消去得，，
令，
因为，所以为减函数，
又因为，所以的解集为.
又在单调递增，所以.
又.
此时有两个不同的零点，即.
解法二：同法1得到 .
此时
又，则，
由零点存在性定理，存在，使得.
综上，可得.
（ii）解法一：由于，所以可化为.
令，
则
，
设，则，则，
则，即，从而.
令，所以在单调递增，
所以，所以，
即，
所以，所以在单调递增.
所以，故.
解法二：将代入整理得
令，
当时，因为，所以，
所以，显然成立；
当时，，
令，则.
显然在单调递增，所以.
①当，则，
此时在单调递增，
所以，即.
所以在单调递增，所以，
欲使，只需，即.
即时，符合题意.
②当时，则，
又，
若，则，
又在连续，
则存在，使得，这与矛盾；
若，则显然不恒成立
综上，实数的取值范围为.
解法三：将代入整理得
令
①当时，.
又，
若，则，
又在的图象是连续不断的，
故存在，使得，这与矛盾；
若，则显然不恒成立
所以时，不恒成立.
②当，因为，
令
又，
因为，所以.
所以
所以在单调递增，
所以.
综上，实数的取值范围为.
19．（1）．
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
所以，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题可知存在，使得成立，
∵时，，故存在，使得．
令，其中，
，
且不恒为零，故函数在上单调递减，
则，故．
（3）．
证明：由可得，
令，则．
因为，则，
所以，所以函数在上单调递减，
因为，，
所以，存在唯一的，使得，
所以，，，
同理可得，
且，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为函数在上单调递减，
故，即,
取，则,

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