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辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年度下学期高二年级第一次质量监测数学试卷
一、单选题
1．数列的第8项为（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，在内为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．3 D．2
4．已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
5．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（ ）
（取，）
A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元
7．已知函数，若，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（ ）项.
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题
9．已知正项数列的前项和为，若对于任意的，，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若该数列的前三项依次为，，，则
D．数列为递减的等差数列
10．已知是定义在上的单调递减函数，是的导函数，若，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数列满足，，则（ ）
A．， B．，
C．，为完全立方数 D．，数列的前项和
三、填空题
12．已知组成对样本数据确定的经验回归方程为且，通过残差分析，发现两组成对样本数据，误差较大，除去这两组成对样本数据后，重新求得经验回归直线的斜率估计值为，则当时，________．
13．若函数的图象与函数的图象有公切线l，且直线l与直线互相垂直，则实数______.
14．在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为_____.
四、解答题
15．某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据：
数学成绩 单日运动时间 不低于90分 低于90分
不小于30分钟 30 10
小于30分钟 10 30
(1)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关；
(2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求．
参考数据：．
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．已知数列中，，，.
(1)证明数列为等比数列，并求数列的前n项和；
(2)记，数列的前n项和为，求证：.
17．各项均为正数的数列前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知公比为的等比数列满足，且存在满足，，求数列的通项公式.
18．已知函数.
(1)当时，求曲线y=在点处的切线方程；
(2)若在上单调递增，求a的取值范围；
(3)若，求a的取值范围.
19．已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布·伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当日仅当或时等号成立．
（i）证明：数列为递增数列；
（ii）证明：时，．
参考答案
1．B
2．C
3．C
4．B
5．D
6．D
7．B
8．C
9．AC
10．ABD
11．ABD
12．7
13．
14．
15．1）零假设：数学成绩与单日运动时间无关，
，
零假设不成立，故可认为根据小概率值的独立性检验，数学成绩与单日运动时间有关．
（2），
，
于是，
于是．
16．（1）因为数列中， ，，
两边同时取倒数，可得，，
两边同时减去，可得，即，
因为，所以，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；
所以，所以，
①
所以②
两式相减可得
.
所以.
（2）因为，所以，
所以，所以，
因此，
所以，
令，
当时，；
当时，；随着的增大，逐渐变小，逐渐增大，
因为，所以，即，所以，所以.
17．（1）当时，，整理得，.
，，
两式相减得，即，
即，
数列各项均为正数，，，
数列是首项为，公差为的等差数列，故；
（2），，
依题意得，相除得
或，所以或，
当时，；当时，.
综上所述，或.
18．（1）当时，，.
，.
曲线在点处的切线方程为.
（2）.
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令函数，
在上恒成立，
所以在上单调递增，，
所以，解得，所以的取值范围为.
（3），即.
令函数，则.
令函数，则.
令函数，则.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，即，所以在上单调递减.
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
，所以.
故的取值范围为.
19．（1）因为，
当时，，
则，又，符合上式，
所以；
（2）（i）令，
则
因，则，
则，
则，所以数列为递增数列；
（ii）因数列为递增数列，
则当时，，
则，即，
则，
即，则.

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