资源简介

(共55张PPT)
8.1 平行四边形
第八章 四边形
8.1课时1 平行四边形的概念与边、角相关的性质
第八章 四边形
1.理解平行四边形的概念，增强几何直观；
2.探索并证明平行四边形的性质定理1，并能运用其进行证明和计算，提升推理能力。
我们是如何研究三角形及特殊的三角形的？
三角形的定义
三角形的表示
三角形的性质
特殊三角形的性质
特殊三角形的定义
特殊三角形的判定
下面的图片中有哪些熟悉的图形？
有什么特点？
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形(parallelogram)．
A
B
C
D
如图，四边形ABCD是平行四边形，
记作：
读作：
(注意字母顺序)；
“ ABCD”
“平行四边形ABCD”．
如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿对角线AC剪成两个三角形．
△ABC与△CDA可以重合吗？为什么？
1
2
3
4
B
A
D
C
如图，在 ABCD中，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
又∵AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA．
∴AB＝CD，BC＝DA，
∠B＝∠D，∠BAD＝∠DCB．
平行四边形的对边相等，对角相等．
平行四边形的性质定理１：
A
B
C
D
符号语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝DC，AD＝BC，
∠A＝∠C，∠B＝∠D．
例1 如图，在 ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：AE＝CF．
B
A
D
C
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC(平行四边形的性质定理1)．
∴∠ADE＝∠CBF．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°．
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB．
∴AE＝CF．
还有其他证明方法吗？
可以通过△ABD，△CDB面积相等证明结论．
B
A
D
C
1. 如图，在 ABCD中，对角线BD的长为7．若△ABD的周长为15，求 ABCD的周长．
解：∵对角线BD的长为7，△ABD的周长为15，
∴AB＋AD＝15－7＝8．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD，
∴ ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD
＝2×8＝16．
2. 如图，在 ABCD中，∠B＝50°．求这个四边形的其他内角的度数．
A
D
C
B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴∠A＋∠B＝180°．
∵∠B＝50°，
∴∠A＝130°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝130°，∠D＝∠B＝50°
(平行四边形的性质定理1)．
3. 如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AE∥CF．
求证：BE＝DF．
B
A
D
C
E
F
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AD＝BC．
∵ AE∥FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF＝CE，
∴BC－EC＝AD－AF，即BE＝DF．
平行四边形
3.性质
（1）对边平行且相等
（2）对角相等，邻角互补
1.定义：两组对边分别平行的四边形
A
B
C
D
记作：
(注意字母顺序)；
“ ABCD”
读作：
“平行四边形ABCD”．
2.符号表示：
8.1 课时2 平行四边形中与对角线相关的性质
第八章 四边形
1.探索并证明平行四边形的性质定理2，并能运用其进行证明和计算，提升推理能力；
2.探索并证明平行四边形的对称性.
平行四边形的对边相等，对角相等．
平行四边形的性质定理１：
A
B
C
D
符号语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝DC，AD＝BC，
∠A＝∠C，∠B＝∠D．
如图，在 ABCD中，连接AC，BD，相交于点O．观察图形，你有什么发现？
B
A
D
C
O
如图，在 ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，∠ABD＝∠CDB．
又∵AB＝CD，
∴△OAB≌△OCD．
∴OA＝OC，OB＝OD．
如何证明？
平行四边形的对角线互相平分．
平行四边形的性质定理2：
符号语言：
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA＝OC，OB＝OD．
A
B
C
D
O
例2 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC＝7，BD＝10，AC＝6．求△AOD的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝7．
∵BD＝10，AC＝6，
∴OA＝OC＝AC＝3，
OD＝OB＝BD＝5 (平行四边形的性质定理2)．
∵AD＋OD＋OA＝7＋5＋3＝15，
∴△AOD的周长为15．
B
A
D
C
O
将平行四边形纸片ABCD绕对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．
B
A
D
C
O
旋转后点A与点C重合，点B与点D重合．
旋转后AB与CD重合，BC与DA重合．
思考：如何画一条直线，将一个平行四边形分成面积相等的两部分？
B
A
D
C
O
E
F
易证△OAB≌△OCD
△OAE≌△OCF
△ODE≌△OBF
1. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，写出图中的全等三角形．
B
A
D
C
O
△OAB≌△OCD
△OAD≌△OCB
△ABC≌△CDA
△ABD≌△CDB
2. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作一条直线，分别交BA，DC的延长线于点E，F．求证：OE＝OF．
B
A
D
C
O
E
F
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝CO，
∴∠OAE＝∠OCF，∠E＝∠F．
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF．
∴OE＝OF．
3. 如图，在平面直角坐标系中， ABCD的对角线AC与BD的交点是原点O．已知点C的坐标是(1，1)，写出点A的坐标．
B
A
D
C
O
x
y
解：∵平行四边形是中心对称图形，
对角线的交点是对称中心，
∴点A与点C关于点O中心对称．
∵点C(1，1)，
∴点A(－1，－1)．
(1,1)
4.对称性
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心
1.边
对边平行且相等
AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC
2.角
对角相等，邻角互补
∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD,
∠ABC＋∠BAD＝180°,
∠ABC＋∠BCD＝180°
3.对角线
对角线互相平分
OA＝OC＝AC，
OB＝OD＝BD
平行四边形的性质：
8.1 课时3 平行四边形的判定：边的关系
第八章 四边形
1.探索并证明平行四边形的判定定理1、判定定理2；
2.能运用平行四边形的判定定理1、2解决简单的问题.
平行四边形的定义是什么？平行四边形具有哪些性质？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形的两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分．
B
A
D
C
O
反过来，四边形满足哪些条件就一定是平行四边形呢？
用两组等长的细木条做一个四边形小木框，它一定是平行四边形吗？
如何证明呢？
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
1
2
3
4
B
A
D
C
证明：连结AC．
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴ AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定定理1：
符号语言：
如图，在四边形ABCD中，
∵AB＝CD，BC＝DA，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
A
B
C
D
思考：如果四边形只有一组对边相等，能判定它是平行四边形吗？
你有什么发现？
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
1
2
B
A
D
C
证明：连接AC．
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2．
在△ABC和△CDA中，
∴ △ABC≌△CDA．
∴ AD＝CB．
∴四边形ABCD是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定定理2：
符号语言：
如图，在四边形ABCD中，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
A
B
C
D
例3 如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．连接BE、DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
B
A
D
C
E
F
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD＝CB，AD∥BC．
∵ AE＝CF，
∴ AD－AE＝BC－CF，
即 DE＝BF．
∴ 四边形BFDE是平行四边形．
还有其他证明方法吗
B
A
D
C
E
F
证法2：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C．
∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF．
∴BE＝DF．
∵AE＝CF，AD＝BC，
∴AD－AE＝BC－CF，
即 DE＝BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
例3 如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．连接BE、DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
变式 如图，在 ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F．求证：BE∥DF．
B
A
D
C
E
F
证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，
∴∠ABC＝∠ADC．
∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC．
∴∠EBC＝∠ADF．
又∵AD∥ BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠EBC＝∠DFC，
∴ BE∥DF．
将线段AB平移至DC的位置，连接AD，BC，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
B
A
D
C
解：是平行四边形．理由如下：
根据平移的性质得，
AB∥CD，AB＝CD．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
1. 如图，在 ABCD中，∠BAD、∠BCD的平分线分别交对角线BD于M、N．连接AN、CM．求证：四边形AMCN是平行四边形．
B
A
D
C
N
M
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，AB＝CD．
∴∠ABM＝∠CDN．
∵AM、CN分别为∠BAD、∠BCD的平分线，
∴∠BAM＝∠BAD，∠DCN＝∠BCD．
∴∠BAM＝∠DCN．
∴△ABM≌△CDN．
∴AM＝CN，∠AMB＝∠CND．
∴∠AMD＝∠CNB．
∴AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
2. 分别判断满足下列条件的四边形是否为平行四边形：
(1) 两组对角分别相等；
A
B
C
D
解：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，
∴2∠A＋2∠B＝360°，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC，
同理可得AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
2. 分别判断满足下列条件的四边形是否为平行四边形：
(2) 一组对边平行，另一组对边相等．
解：(2) 一组对边平行，另一组对边相等的四边
形不一定是平行四边形．
如图，AD∥BC，AB＝CD，但四边形ABCD不是
平行四边形．
B
A
D
C
从边的关系判定平行四边形
平行四边形的判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理2：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
8.1 课时4 平行四边形的判定：对角线的关系
第八章 四边形
1.探索并证明平行四边形的判定定理3；
2.能运用平行四边形的判定定理3解决简单的问题.
平行四边形的对角线互相平分．反过来，如果一个四边形的对角线互相平分，那么它是平行四边形吗？
B
A
D
C
O
解：在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD．
∴ AB＝CD．
同理可得AD＝CB．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定定理3：
符号语言：
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD
相交于点O．
∵ OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
B
A
D
C
O
例4 如图，在 ABCD中，点E、F分别在AC上，且AE＝CF．
求证：四边形EBFD是平行四边形．
B
A
D
C
E
F
还有其他证明方法吗
O
证明：连接BD，交AC于点O．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA＝OC，OB＝OD．
∵AE＝CF，
∴ OA－AE＝OC－CF，
即 OE＝OF．
∴四边形EBFD是平行四边形．
例4 如图，在 ABCD中，点E、F分别在AC上，且AE＝CF．
求证：四边形EBFD是平行四边形．
证法2：连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF．
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE＝DF．
同理BF＝DE．
∴四边形EBFD是平行四边形．
B
A
D
C
E
F
O
变式1 若将条件“AE＝CF去掉，当点E、F满足什么条件时，四边形EBFD是平行四边形？你能解决这个问题吗？试一试．
B
A
D
C
E
F
O
解：当BE∥DF时，四边形EBFD是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD．
∵BE∥DF，
∴∠BEO＝∠DFO．
∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE＝DF．
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
变式2 如图，在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．连接AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形．
B
A
D
C
F
E
O
解：连接AC交BD于点O．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AO＝CO，AB＝DC，AB∥DC，
∴∠ABE＝∠CDF,
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
如图，已知平行四边形的三个顶点，请用直尺和圆规作出第四个顶点．
P1
P2
P3
解：如图，点P1，P2，P3均可为平行四边形的第四个顶点．
1. 如图，将△ABO绕点O旋转180°得到△A'B'O，连接AB′，A'B．
四边形ABA'B′是平行四边形吗？证明你的结论．
B
A
B′
A′
解：是．
证明：∵△ABO绕点O旋转180°得到△A'B'O，
∴AO＝A'O，BO＝B'O，且点A，O，A'在同一
直线上，点 B，O，B'在同一直线上，
∴四边形ABA'B'是平行四边形．
O
2. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，G分别是OA，OC的中点，F，H分别是OB，OD上靠近点O的三等分点．连接EF，FG，GH，HE．
求证：四边形EFGH是平行四边形.
D
F
B
C
A
O
G
E
H
解：在 ABCD中，
∴ OA＝OC，OB＝OD．
∵E，G分别是OA，OC的中点，F，H分别是OB，
OD上靠近点O的三等分点，
∴ OE＝OA，OG＝OC， OF＝OB，OH＝OD，
∴OE＝OG，OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
平行四边形 性 质 判 定
边
角
对角线
对边平行
对边相等
对角相等
对角线互相平分
两组对边分别相等的四边形
两组对边分别平行的四边形
一组对边平行且相等的四边形
对角线互相平分的四边形

展开更多......

收起↑