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10.5 分式方程
第十章 分式
10.5 课时1 分式方程的概念
第十章 分式
1.能从实际情境中抽象出分式方程,了解分式方程的概念,并会正确
识别分式方程.
2.经历解分式方程基本思路的探究过程,能解可化为一元一次方程的
分式方程,体会转化和化归思想.
问题1：我们之前学习了一元一次方程，那么我们是怎样进行一元一次方程学习的呢？
一元一次方程的概念一一元一次方程的解法一用一元一次方程解决实际问题.
问题2：解一元一次方程的步骤有哪些？
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
探究1：分式方程的概念
1.甲、乙两厂装配同一种汽车，乙厂由于进行了技术革新，每天比甲厂多装配30辆，乙厂装配500辆所用时间与甲厂装配400辆所用时间相同.
（1）这个问题涉及哪几个量？它们之间有什么样的关系？
工作总量＝工作效率×工作时间.
（2）怎样用方程来描述其中的等量关系？
用表格梳理其中的数量关系.
根据题意，得＝.
2.一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字互换，那么所得的两位数与原两位数的比值是.
怎样用方程来描述其中的等量关系？
思考：以上两个方程有什么共同点？
＝＝
像方程＝＝这样，等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
下列各式中，哪些是分式方程？为什么？
（1）；（2）＝x；（3） ＝；（4）＝.
（2）（3）是分式方程，因为它们都是等式且分母中都含有未知数；
（1）不是方程，因为它不是等式；
（4）是整式方程，因为分母中不含未知数.
探究2.分式方程的解法
解方程：＝.
1.目前我们学过解什么样的方程？
2.这个方程与一元一次方程有什么不同？
一元一次方程.
分母中含有未知数.
利用等式的基本性质2，等式两边都乘（或除以）同一个数（或式子），（除数不能为0），所得结果仍是等式.因为分式方程的分母不为0，所以可以先去分母，将分式方程转化为一元一次方程再解.
探究2.分式方程的解法
解方程：＝.
3.这个方程可以转化为一元一次方程吗？如何转化？依据是什么？
解 方程两边同乘x（x+1），得20（x＋1）＝24x.
解这个一元一次方程，得x＝5.
将x＝5代入原方程：左边＝4，右边＝4，左边＝右边.
所以原方程的解是x＝5.
解方程：＝.
例2 解方程：－＝0.
解 方程两边同乘x（x－1），得3（x－1）－2x＝0.
解这个一元一次方程，得x＝3.
把x＝3代入原方程：左边＝－＝0，右边＝0，左边＝右边.
所以原方程的解是x＝3.
1.下列式子：;;； ;
；.其中，是关于 的分式方程的有 ( )
B
A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个
2.解方程：
（1） ;
解：方程两边同乘，得
，
解得.
检验：当时，.
所以原分式方程的解为.
（2） ．
解：方程两边同乘 ，
得 ，
去括号,得 ，
解得 .
检验：当时， ，
则 是增根，原分式方程无解．
1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？
2.本节课运用到了哪些数学思想？
10.5 课时2 分式方程的增根
第十章 分式
1.理解增根的概念，知道增根产生的原因；
2.经历解分式方程基本思路的探究过程,了解需要对分式方程的解进行检验的原因,能解可化为一元一次方程的分式方程.
分式有意义的条件是什么？解分式方程的步骤是什么？其中的依据是什么？有哪些需要注意的问题？
分式有意义的条件是分母不为零；分式方程转化为整式方程的关键步骤是去分母；去分母是在方程两边同乘最简公分母.
（1）解为x=1. （2）无解.
解方程：＝.
问题1.哪个结果是正确的呢？
问题2.去分母时，乘的最简公分母是什么？当我们去分母时，默认了什么条件？
去分母时，乘的最简公分母是x－1.当我们去分母时，默认的条件是最简公分母不为0.
探究1.增根的概念
方程两边同乘3（x－2），得3（5x－4）＝4x＋10－3（x－2）.解这个一元一次方程，得x＝2.把x＝2代入原方程的分母，发现x－2＝0.
思考：为什么分式方程会产生增根？请你结合“去分母”这一步骤和分式有意义的条件进行分析.
解方程：＝.
x＝2是化简后所得方程的解，但不是原方程的解，这样的解称为增根.
为什么分式方程会产生增根？请你结合“去分母”这一步骤和分式有意义的条件进行分析.
去分母时分式方程两边同时乘了最简公分母，若最简公分母为0，就违反了分式有意义的条件，从而产生增根.
由于在分式方程两边乘各分式的最简公分母时可能产生增根，因此解分式方程必须进行检验.
解 （1）方程两边同乘x（x＋1），得30（x＋1）＝20x.
解这个一元一次方程，得x＝－3.
检验：当x＝－3时，x（x＋1）＝6≠0.
所以原方程的解是x＝－3.
（2）方程两边同乘（x＋2）（x－2），得（x－2） －（x＋2） ＝16.
解这个一元一次方程，得x＝－2.
检验：当x＝－2时，（x＋2）（x－2）＝0，x＝－2是增根.
所以原方程无解.
B
C
1
什么是分式方程的增根？增根是怎么产生的？
10.5 课时3 分式方程的实际应用
第十章 分式
1.能根据具体问题中的数量关系列分式方程,检验方程的解的合理性,
解决简单的实际问题.
某市对一段全长2 000米的道路进行改造，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划提高效率25%,结果提前5天完成了修路任务，求原计划每天修路多少米.
可以怎么求解？
列出分式方程来求解.
例1 刘大妈在超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元.几天后，大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40 kg.这种大米的原价是多少？
1.哪些量是已知的？哪些量是未知的？
已知量有第一次购买大米的总价、8折后购买大米的总价、两次一共购买40 kg大米；未知量有每千克大米的原价、原价购买大米的量、8折后每千克大米的价格和8折后购买大米的量.
2.等量关系是什么？
等量关系是两次一共购买40 kg大米.
解 设这种大米的原价为x元/kg.
根据题意，得.
解这个方程，得x＝7.
经检验，x＝7是所列方程的解且符合题意.
答：这种大米的原价是7元/kg.
例1 刘大妈在超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元.几天后，大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40 kg.这种大米的原价是多少？
例2 某校师生到离校15 km处参加义务植树活动，部分师生骑自行车出发，40 min后，其余师生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体师生同时到达.分别求自行车与汽车的平均速度.
第一步需要确定题目中的已知量和未知量，确定时间、速度、路程之间的关系式；第二步建立等量关系，可以用时间做等量关系.
解 设自行车的平均速度为x km/h.根据题意，得＝.
解这个方程，得x＝15.
经检验，x＝15是所列方程的解且符合题意.
答：自行车的平均速度是15 km/h， 汽车的平均速度是45 km/h.
例2 某校师生到离校15 km处参加义务植树活动，部分师生骑自行车出发，40 min后，其余师生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体师生同时到达.分别求自行车与汽车的平均速度.
还有其他的等量关系可以列出不同的方程？
思考：结合刚才的例题，我们在用分式方程解决实际问题时，经历了哪些步骤？每个步骤有什么注意事项？
第一步：审(审题)——理解题意，找出关键数据，明确已知量与未知量.
第二步：设(设未知数)——根据未知量的含义，设出合适的未知数(带单位).
第三步：列(列方程)——分析数量关系，找到等量关系，列出分式方程.
第四步：解(解方程)——按照分式方程的解法，去分母转化为整式方程，求解整式方程.
第五步：验(检验)——①检验解是否使分式方程的分母不为0(排除增根)；
②检验解是否符合实际问题的意义(如时间、速度不能为负数).
第六步：答(写答案)——根据检验结果，写出符合实际问题的答案(带单位).
A
1.某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划种植人数为x人，则下列方程正确的是(　　)
2.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：
一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；
若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢
马的2倍，求规定时间.设规定时间为天，则可列出正确的方程为
（1里 千米）( )
B
A. B.
C. D.
1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？
2.学习了本节课，你有何感想？请畅所欲言.

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