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(共84张PPT)
8.2 特殊的平行四边形
第八章 四边形
8.2 课时1 矩形的概念与性质
第八章 四边形
1.理解矩形的概念；
2.探索并证明矩形的性质定理，并能运用其进行证明和计算，提升推理能力.
　　当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的长方形．
　　如图，有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（rectangle）．
矩形也叫长方形．
B
A
D
C
注意：矩形一定是平行四边形，平行四边形不一定是矩形．
四边形
矩形
平行四边形
　　矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有哪些特殊性质？
提示：可以从边、角、对角线等方面来考虑．
B
A
D
C
猜想1 矩形的四个角都是直角．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，∠B＝∠D．
∴∠A＋∠B＝180°．
∵∠B＝90°，
∴∠A＝90°．
∴∠C＝∠A＝90°，∠D＝∠B＝90°．
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠B＝90°．
求证：∠A＝∠C＝∠D＝90°．
B
A
D
C
猜想2 矩形的对角线相等．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求证：AC＝BD．
B
A
D
C
证明：连接AC，DB．
∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB．
∴AC＝BD．
矩形的性质定理：
矩形的四个角都是直角，对角线相等．
B
A
D
C
O
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．
AC＝DB．
证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD (矩形的性质定理)，
AO＝AC，BO＝BD．
∵AB＝AC．
∴AO＝BO＝AB．
∴△AOB是等边三角形．
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且 AB＝AC．
求证：△AOB是等边三角形．
A
D
B
C
O
变式 利用矩形的性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
D
C
O
B
A
证明：延长BO到D，使OD＝BO，连接AD、DC．
∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形．
∴AC＝BD，
∴BO＝ BD＝ AC．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是中线．
求证：BO＝AC．
矩形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形．矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
B
A
D
C
O
矩形是轴对称图形，有两条对称轴．
1．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm．求矩形对角线的长．
A
D
B
C
O
证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD (矩形的性质定理)，
AO＝AC，BO＝BD．
∴ AO＝BO．
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°．
∴△AOB是等边三角形．
∵AB＝4cm，
∴AC＝2OA＝2AB＝8cm．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EC∥BD，交AB的延长线于点E．求证：AC＝EC．
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝DB，AB∥DC．
又∵CE∥DB，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴DB＝EC，
∴AC＝EC．
3．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EC平分∠BED．
(1) △BEC是否为等腰三角形？证明你的结论．
A
D
B
C
E
解：(1) △BEC是等腰三角形．证明如下:
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD∥BC，
∴ ∠DEC＝∠BCE．
又∵ EC平分∠BED，
∴ ∠DEC＝∠BEC，
∴ ∠BCE＝∠BEC，
∴ BE＝BC．
∴ △BEC是等腰三角形．
3．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EC平分∠BED．
(2) AB＝1，∠ABE＝45°，求BC的长．
A
D
B
C
E
解：(2)在△ABE中，
∵∠A＝90°，∠ABE＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE．
∴AE＝AB＝1．
在Rt△ABE中，由勾股定理得
BE＝．
∴BC＝BE＝．
B
A
D
C
O
l1
l2
4.对称性
既是中心对称图形又是轴对称图形
1.边
对边平行且相等
AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，AD＝BC
2.角
四个角都是直角
∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°
3.对角线
对角线互相平分且相等
OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD
矩形的性质
8.2 课时2 矩形的判定
第八章 四边形
1.探索并证明矩形的判定定理，并能运用它们进行证明和计算，提升推理能力;
2.理解两条平行线之间的距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.
矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形．
矩形的四个角都是直角，对角线相等．
反过来，一个四边形满足哪些条件就一定是矩形呢
B
A
D
C
O
矩形具有哪些性质？
如果四边形四个角都是直角，这个四边形是矩形吗？
如图，在四边形ABCD中，
∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴ ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∴ AD∥BC，AB∥DC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∵ ∠A＝90°，
∴ 四边形ABCD是矩形．
B
A
D
C
思考：如果四边形有三个角是直角，这个四边形是矩形吗？
B
A
D
C
如果四边形有三个角是直角，根据其内角和是360°，可知它的第四个角也是直角．
思考：如果四边形有两个角是直角，这个四边形是矩形吗？
矩形的判定定理1：
三个角是直角的四边形是矩形．
符号语言：
如图，在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴ 四边形ABCD是矩形．
B
A
D
C
对角线相等的平行四边形一定是矩形吗？
观察下图可以发现，在对角线相等时，平行四边形看上去像是矩形．
如何证明呢？
证法1：∵ AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB，
∴ △ABC≌△DCB，
∴ ∠ABC＝∠DCB．
又 ∵ AB∥CD，
∴ ∠ABC＋∠DCB＝180°，
∴ ∠ABC＝90°．
∴ ABCD是矩形．
已知：如图，在 ABCD中，AC＝DB．求证： ABCD是矩形．
A
D
B
C
O
已知：如图，在 ABCD中，AC＝DB．求证： ABCD是矩形．
A
D
B
C
O
证法2：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD．
∵ AC＝DB，
∴ OA＝OB＝OC，
∴ ∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB．
又∵ ∠OAB＋∠OBA＋∠OBC＋∠OCB＝180°，
∴ ∠OBA＋∠OBC＝90°．即 ∠ABC＝90°.
∴ ABCD是矩形．
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形．
B
A
D
C
符号语言：
如图，在 ABCD中，
∵ AC＝BD，
∴ 四边形ABCD是矩形．
思考：对角线相等的四边形是矩形吗？
对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
A
B
C
D
四边形ABCD
有三个角是直角
B
D
ABCD
A
C
B
A
D
C
矩形ABCD
有一个角是直角
对角线相等
思考：判断一个四边形是矩形有哪些方法？
例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，DE，DF分别是△BDC，△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
E
F
D
C
A
B
证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB＝DA＝DB．
∵DF平分∠ADC，
∴DF⊥AC，
即∠DFC＝90°．
同理可得∠DEC＝90°．
∴四边形DECF是矩形（矩形的判定定理1）．
例2 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
B
A
D
C
O
E
证明：连接OE．
∵ O是AC，BD的中点，
∴ AO＝CO， BO＝DO，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
在Rt△AEC中，∵ O是AC的中点，∴ EO＝AC．
在Rt△BED中，∵ O是BD的中点，∴ EO＝BD．
∴ AC＝BD．
∴ ABCD是矩形（矩形的判定定理2）．
解：∵ AB⊥l2，DC⊥l2，
∴ AB∥DC．
又 ∵ l1∥l2，
∴ 四边形ABCD为平行四边形．
∴ AB＝DC．
　 如图，l1∥l2 ，A，D是l1上的任意两点，AB⊥l2 ，DC⊥ l2 ，垂足分别为B，C．线段AB，DC相等吗？为什么？
A
C
B
D
l2
l1
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离．
A
C
B
D
l2
l1
符号语言：
∵ 直线l1∥l2，A，D是直线上l1任意两点，
AB⊥l2，DC⊥l2 ，垂足分别为B、C．
∴ AB＝DC．
两条平行线之间的距离处处相等．
1. 如图， ABCD的四个内角平分线分别相交于E、F、G、H，四边形EFGH是怎样的特殊四边形吗？证明你的结论．
B
A
D
C
E
F
G
H
证明：四边形 EFGH是矩形．证明如下:
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，
∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°.
又∵ AE平分∠BAD，BE 平分∠ABC，
∴ ∠BAE＋∠ABE＝90°.
∴ ∠AEB＝90°.
∴ ∠HEF＝90°.
同理 ∠EFG＝∠FGH＝90°.
∴ 四边形EFGH是矩形（矩形的判定定理1）．
2. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E，F，G，H分别在OA，OB，OC，OD上，且AE＝BF＝CG＝DH．
求证：四边形EFGH是矩形．
A
B
C
D
O
E
F
G
H
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA＝OB＝OC＝OD．
∵ AE＝BF＝CG＝DH，
∴ OE＝OF＝OG＝OH．
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
∵ OE＋OG＝OF＋OH，即EG＝FH．
∴ 四边形EFGH是矩形（矩形的判定定理2）．
3. 如图，AB与直线l平行．当点C在l上移动时，△ABC的面积是否为定值？为什么？
C
B
A
l
解：△ABC的面积为定值．
理由如下：
设AB与直线l之间的距离为h，易知h为定值．
∵△ABC的面积＝AB×h，AB和h均为定值，
∴△ABC的面积为定值．
矩形的判定
定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
矩形的判定定理1：三个角是直角的四边形是矩形
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
两条平行线之间的距离
8.2 课时3 菱形的概念与性质
第八章 四边形
1.理解菱形的定义及有关性质；
2.能利用菱形的性质定理进行有关的计算与证明．
　　生活中常常见到一种伸缩围栏，它由一些小的平行四边形构成，这些平行四边形有什么特点？
如图，有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形（rhombus）．
注意：菱形一定是平行四边形，平行四边形不一定是菱形．
B
A
D
C
四边形
菱形
平行四边形
思考：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有哪些特殊性质？
B
A
D
C
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
四条边都相等
对角线互相垂直
B
A
D
C
猜想1 菱形的四条边相等．
已知：如图，四边形ABCD是菱形．
求证：AB＝BC＝CD＝DA．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝DC，AD＝BC．
∵ AB＝BC，
∴ AB＝BC＝CD＝DA．
B
A
D
C
猜想2 菱形的对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线
AC，BD相交于点O．求证：BD⊥AC．
O
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO＝CO．
∵ AB＝BC，
∴ BD⊥AC．
菱形的性质定理：
菱形的四条边相等，对角线互相垂直．
O
B
A
D
C
符号语言：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝CD＝DA．
AC⊥BD．
例3　如图，木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成．已知菱形ABCD的边长为13cm，上、下两排挂钩间的距离AC为24cm．求点B，M之间的距离．
A
D
B
C
E
F
G
H
M
B
A
D
C
O
解：如图，连接AC，BD，相交于点O．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ∠AOB＝90°，AO＝AC＝×24＝12．
∴ 在Rt△AOB中，由勾股定理得：
．
∴ BD＝2BO＝10．
∴ BM＝3BD＝30．
答：点B，M之间的距离是30cm．
思考：菱形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形．菱形是轴对称图形吗？如果是，由轴对称性你能得到哪些结论？
菱形是轴对称图形，有两条对称轴．
O
B
A
D
C
证明：菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半．
O
B
A
D
C
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．
求证：S菱形ABCD＝AC·BD．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD ，AO＝CO＝AC (菱形的性质定理)，
∴ S菱形ABCD＝S△ABD＋S△CBD
＝AO·BD＋CO·BD
＝(AO＋CO)·BD
＝AC·BD．
菱形的面积公式：
S菱形ABCD＝AC·BD
S菱形ABCD＝AB·DE
E
O
A
C
B
D
1. 如图，在菱形ABCD中，连接对角线AC．求证：AC平分∠BAD和∠BCD．
证明：如图，连接BD．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝AD，CD＝CB，AC⊥BD．
∴ AC平分∠BAD和∠BCD．
A
D
C
B
2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥AB于点E．(1)求菱形ABCD的周长；
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝BD＝5，OA＝AC＝12，AC⊥BD，
AB＝BC＝CD＝DA．
∴在Rt△ABO中，AB＝＝＝13，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×13＝52．
E
O
A
C
B
D
2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥AB于点E．
(2)求菱形ABCD的面积；(3)求DE的长．
E
O
A
C
B
D
解：(2) S菱形ABCD＝AC·BD＝×24×10＝120．
(3) ∵ S菱形ABCD＝AB·DE＝120，AB＝13，
　 ∴ DE＝．
E
边
角
对角线
对称性
对边平行，四条边相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分且垂直
既是中心对称图形又是轴对称图形
菱形的性质
O
B
A
D
C
l1
l2
AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝BC
∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD
对称中心是对角线的交点O，对称轴是直线l1和l2
S菱形ABCD＝AC·BD
S菱形ABCD＝BC·AE
8.2 课时4 菱形的判定
第八章 四边形
1.探索并证明菱形的判定定理；
2.能运用菱形的判定定理进行证明和计算，提升推理能力.
菱形的定义是什么？
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
菱形的四条边相等，对角线互相垂直．
菱形具有哪些性质？
O
B
A
D
C
反过来，四边相等的四边形是菱形吗？对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
猜想1 四边相等的四边形是菱形．
证明：∵ AB＝DC， AD＝BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
又∵ AB＝BC，
∴ ABCD是菱形．
已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD．
求证：四边形ABCD是菱形．
A
D
C
B
A
D
C
B
O
观察下图，发现在对角线互相垂直时，平行四边形看上去像是菱形.
猜想2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
已知：如图， ABCD中，AC⊥BD，垂足为O．
求证： ABCD是菱形．
证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BO＝DO．
∵ AC⊥BD，
∴ AB＝AD．
∴ ABCD是菱形．
菱形的判定定理：
四边相等的四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
符号语言：
如图，在四边形ABCD中，
∵ AB＝BC＝CD＝DA，
∴ 四边形ABCD是菱形．
如图，在 ABCD中，
∵ AC⊥BD，
∴ 四边形ABCD是菱形．
A
D
C
B
O
思考：1.如果一个四边形的对角线互相垂直，那么它一定是菱形吗
2.如果一个平行四边形是轴对称图形，那么它一定是菱形吗
不一定
不一定
A
B
C
D
四边形ABCD
四边相等
B
D
ABCD
A
C
有一组邻边相等
对角线互相垂直
思考：判断一个四边形是菱形有哪些方法？
B
A
D
C
O
菱形ABCD
例4 如图，直线a∥b，点A，C分别在a，b上，AC的垂直平分线分别与a，b相交于点D，B，垂足为O．连接AB，CD．求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2．
∵ BD垂直平分AC，
∴ OA＝OC．
在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB．
∴ OD＝OB．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形（菱形的判定定理）．
O
B
A
D
C
1
2
想一想，还有其他证明方法吗？
用直尺和圆规作一个菱形，并说明作图的道理．
解：作法1：①作∠A；
②以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交∠A的两边于点D，B；
③分别以点D，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；
④连接BC，DC；
则四边形ABCD为菱形．
理由如下：
由图形作法可知，AB＝AD＝DC＝BC，
所以四边形ABCD为菱形．
B
A
D
C
用直尺和圆规作一个菱形，并说明作图的道理．
解：作法2：①画线段AC；
②作线段AC的垂直平分线，垂足为点O；
③在AC的垂直平分线上截取OD＝OB；
④连接AB，BC，CD，AD；
则四边形ABCD为菱形．
理由如下：
∵AO＝CO，OD＝OB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形．
A
C
O
D
B
D
E
F
A
B
C
1. 如图，在△ABC中，AC＝BC，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF．求证：四边形CFDE是菱形．
证明：连接CD．
∵AC＝BC，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴CD⊥AB，CF＝AC，CE＝BC，
∴FD＝AC，DE＝BC，
∴FD＝DE＝CE＝CF．
∴四边形CFDE是菱形（菱形的判定定理）．
2. 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是菱形．
A
B
C
D
O
E
证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD．
∴BO＝CO．
∴四边形OBEC是菱形．
3. 已知：如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．求证：四边形ABEF是菱形．
A
B
C
D
E
F
B
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠AFB＝∠EBF．
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠EBF．
∴∠AFB＝∠ABF．
∴ AB＝AF．
同理，AB＝BE．
∴AF＝BE．
∵AF∥BE，
∴四边形 ABEF是平行四边形.
∵AB＝BE，
∴四边形 ABEF是菱形.
菱形的判定
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
矩形的判定定理：四边相等的四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
8.2 课时5 正方形的判定与性质
第八章 四边形
1.理解正方形的概念，增强几何直观；
2.探索并证明正方形的判定定理和性质定理，并能运用它们进行证明和计算，提升推理能力；
3.理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系，体会平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别，进一步理解一般与特殊的关系.
在下面的图片中，我们可以找到熟悉的正方形吗？
四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形（square）.
菱形
矩形
B
A
D
C
注意：正方形既是菱形，又是矩形．
思考：正方形与之前所学的各种四边形之间有怎样的关系？在下图的括号中分别填写恰当的条件．
一般
四边形
平行
四边形
矩形
正方形
菱形
(有一个角是直角)
(有一组邻边相等)
(有一组邻边相等)
(有一个角是直角)
(有一组邻边相等且有一个角是直角)
正方形的判定定理：
有一组邻边相等的矩形是正方形．有一个角是直角的菱形是正方形．
B
A
D
C
符号语言：
∵AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
∵∠ABC＝90°，
∴菱形ABCD是正方形．
1. 求证：对角线互相垂直的矩形是正方形．
B
A
D
C
O
已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
且AC⊥BD．
求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ BO＝DO．
又∵ AC⊥BD，
∴ AB＝AD．
∴ 矩形ABCD是正方形．
2. 求证：对角线相等的菱形是正方形．
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
且AC＝BD．
求证：菱形ABCD是正方形．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵ AC＝BD，
∴ AO＝BO．
∵ AC⊥BD，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°．
同理：∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠ABC＝∠OBA＋∠OBC＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
B
A
D
C
O
B
D
平行四边形
A
C
有一个角是直角
对角线相等
B
A
D
C
矩形
有一组邻边相等对角线垂直
B
A
D
C
正方形
有一组邻边相等对角线垂直
B
A
D
C
菱形
有一个角是直角
对角线相等
有一组邻边相等并且有一个角是直角
A
B
C
D
四边形
有三个角是直角
A
B
C
D
四边形
四边相等
例5 如图，在正方形ABCD中，点A′，B′，C′，D′分别在边AB，BC，CD，DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
1
2
3
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′，
∴DA′＝A′B＝B′C＝C′D，
∴△AA′D′≌△BB′A≌△CC′B′≌△DD′C′，
∴D′A′＝A′B′＝B′C′＝C′D′，
∴四边形A′B′C′D′是菱形．
由△AA′D′≌△BB′A′，可得∠2＝∠3，
∵∠A＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠D′A′B′＝90°，
∴四边形A′B′C′D′是正方形．
还有其他方法吗？
思考：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.正方形具有哪些性质呢？
正方形的性质定理：
正方形的四条边相等，四个角都是直角.
正方形的对角线相等且互相垂直平分．
符号语言：
∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB＝BC＝CD＝DA，
∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
AC＝BD，AC⊥BD，
OA＝OB＝OC＝OD．
B
A
D
C
O
1. 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打 “√”．
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
是中心对称图形
是轴对称图形
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
2. 如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF＝DE．连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
证明：连接AC，AC交BD于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD．
∵BF＝DE，
∴OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴四边形AFCE是菱形．
O
3. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F．求证：DE＝CF．
A
B
C
D
E
F
证明：连接BF．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，BC＝DC，
∴∠BDC＝45°．
在△DEF中，EF⊥BD，∠BDC＝45°，
∴∠EFD＝45°．
∴ EF＝DE．
易证△BEF≌△BCF，
∴ EF＝CF．
∴ DE＝CF．
正方形的
性质与判定
四条边相等，四个角都是直角的四边形．
正方形的四条边相等，四个角都是直角.
判定
性质
有一组邻边相等的矩形是正方形．
有一个角是直角的菱形是正方形．
正方形的对角线相等目互相垂直平分．
正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，有四条对称轴．

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