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9.3 公式法
第九章 因式分解
9.3 课时1 用平方差公式因式分解
第九章 因式分解
1.能够正确识别适合运用平方差公式法因式分解的多项式,会运用
平方差公式法因式分解.
2.掌握运用平方差公式法因式分解的方法和步骤,并能进行相关变
形、计算或求值.
因式分解与整式乘法有什么关系？
a(b＋c＋d)
ab＋ac＋ad
整式乘法
和
积
因式分解
是过程相反的变形．
我们学习了哪些乘法公式？
平方差公式：
完全平方公式：
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
如果把上述公式反过来，是因式分解吗？
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
和
积
逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法．
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
公式中的字母既可表示
单项式也可以表示多项式．
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2
1. 完成下列填空：
a2－16＝a2－( )2＝ (a＋____) (a－____)；
64－b2＝ ( )2－b2＝ (____＋b) (____－b)；
4m2－9n2＝( )2－( )2＝ (____＋____) (____－____)．
4
4
4
8
8
8
2m
3n
2m
3n
2m
3n
观察这些式子在结构上有哪些共同特征？
左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反．
右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式．
□2－△2
(□－△) (□＋△)
1. 判断下列多项式是否能用平方差公式分解因式．
(1) a2－16；
(2) －x2－1；
(3) 64－b；
(4) －25a2＋49b2．
两项符号相反
两项都能用完全平方表示
＝49b2－25a2
＝(7b)2－(5a)2
例1 把下列各式分解因式：
(1) 36－25x2 ； (2) 16a2－9b2 ；
解：(1) 36－25x2＝62－(5x)2＝(6＋5x)(6－5x)；
(2) 16a2－9b2＝(4a)2－(3b)2＝(4a＋3b)(4a－3b)；
用平方差公式因式分解的一般步骤：
1. 变形：化成(□)2－(△)2的形式；
2. 分解：分解成(□－△) (□＋△)的形式.
思考：归纳用平方差公式因式分解的一般步骤.
(3) 9(a＋b)2－4(a－b)2 ．
例1 把下列各式分解因式：
解：(3) 9(a＋b)2－4(a－b)2
＝[3(a＋b)]2－[2(a－b)]2
＝[3(a＋b)＋2(a－b)][3(a＋b)－2(a－b)]
＝(3a＋3b＋2a－2b)(3a＋3b－2a＋2b)
＝(5a＋b)(a＋5b)．
[ ]内看成一个整体．
1．把下列各式分解因式：
(1) x2－25； (2) x2－16y2；
解：原式＝(x＋5)(x－5)；
原式＝(x＋4y)(x－4y)；
原式＝(a＋b)(a－b)；
(3) a2－b2； (4) x2y2－z2；
原式＝(xy＋z)(xy－z)；
原式＝(x＋5)(x－1)；
原式＝(x＋a＋y－b)(x＋a－y＋b)．
(5) (x＋2)2－9； (6) (x＋a)2－(y－b)2．
2．计算：
(1) 7582－2582； (2) 4292－1712．
解：(1) 7582－2582
＝[758＋258][758－258]
＝1 016×500
＝508 000；
(2) 4292－1712
＝[429＋171][429－171]
＝600×258
＝154 800．
例2 如图，有一个圆环形的观景台，已知R＝12.5m，r＝7.5m, 求观景台（阴影部分）的面积S（结果精确到1m2）．
解：S＝πR2－πr2＝π(R＋r)(R－r)
当R＝12.5 m，r＝7.5 m时，
S ＝ π(12.5＋7.5)×(12.5－7.5)
＝ π×20×5＝100π≈314 (m3)．
例3 已知k是正整数，求证: (k＋2)2－k2 是4的倍数．
证明：∵(k＋2)2－k2＝(k＋2＋k)(k＋2－k)＝2(2k＋2)＝4(k＋1)，
∵k是正整数，
∴4(k＋1)也是正整数，且是4的倍数，
∴(k＋2)2－k2是4的倍数．
证明：两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍．
证明：设这两个奇数分别为x，x＋2，则这两个奇数的平方差为
(x＋2)2－x2，这两个奇数和为2x＋2．
∵ (x＋2)2－x2＝(x＋2＋x)(x＋2－x)＝2(2x＋2)，
∴ 两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍．
1. 如图，在Rt△ABC中，若斜边c＝25，直角边a＝24，求直角边b．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
a2＋b2＝c2，
∴ b2＝c2－a2
＝252－242
＝(25＋24)(25－24)
＝49，
∴ b＝7．
A
B
C
a
b
c
2. 已知a＞b＞0，求证：a2＞b2．
证法1：∵ a＞b＞0，
∴ a＋b＞0，a－b＞0，
∴ a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，
∴ a2＞b2．
证法2：∵ a＞b＞0，
∴ a2＞ab，ab＞b2，
根据不等式的传递性，可得
∴ a2＞b2.
3. 已知：4m＋n＝90，2m－3n＝10，求(m＋2n)2 － (3m－n)2的值．
解： (m＋2n)2 － (3m－n)2
　　 ＝[(m＋2n)＋(3m－n)][(m＋2n)－(3m－n)]
＝(4m＋n)(－2m＋3n)
∵ 4m＋n＝90，2m－3n＝10，
∴ 原式＝90×(－10)＝－900．
解：16x2－4
＝(4x)2－22
＝(4x＋2)(4x－2)
4. 判断下列做法是否正确，如有错误，请改正．
分解因式 16x2－4．
解：不正确．分解的结果中还有公因式没有提出．
原式＝(4x)2－22＝(4x＋2)(4x－2)＝2(2x＋1)·2(2x－1)＝4(2x＋1)(2x－1)．
要分解到每个因式不能再分解为止．
用平方差公式
因式分解
形式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
特征：左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反．
右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式．
一般步骤：1. 变形；2. 分解；3. 化简．
9.3 课时2 用完全平方公式因式分解
第九章 因式分解
1.能够正确识别适合运用完全平方公式因式分解的多项式,会运用
完全平方公式法因式分解.
2.掌握运用完全平方公式因式分解的方法和步骤,并能进行相关变
形、计算或求值.
(1) a2＋6a＋9＝a2＋2·( )·( )＋( )2＝( )2；
(2) a2－6a＋9＝a2－2·( )·( )＋( )2＝( )2；
(3) a2＋( )＋4b2＝a2＋2·( )·( )＋( )2＝( )2；
(4) a2－8a＋( )＝a2－2·( )·( )＋( )2＝( )2．
3
a
3
a＋3
3
a
3
a－3
2b
a
2b
a＋2b
4ab
4
a
4
a－4
16
观察这些式子在结构上有哪些共同特征？
1. 完成下列填空：
完全平方公式：
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2
左边：有三项，两项都能用完全平方表示且符号相同，第三项是两个平方项底数的积的2倍或－2倍．
右边：这两个平方项底数的和（或差）的平方．
公式中的字母既可表示
单项式也可以表示多项式．
例4 把下列各式分解因式：
(1) x2＋10x＋25； (2) 4a2－36ab＋81b2．
解： (1) x2＋10x＋25＝x2＋2·x·5＋52＝(x＋5)2；
(2) 4a2－36ab＋81b2＝(2a)2－2·2a·9b＋(9b)2
＝(2a－9b)2．
用完全平方公式因式分解的一般步骤：
1. 变形：化成(□)2±2□△＋(△)2的形式；
2. 分解：分解成(□±△) 2的形式.
(1) 25a4＋10a2＋1； (2) (m＋n)2－4(m＋n)＋4．
例5 把下列各式分解因式：
解：(1) 原式＝(5a2)2＋2·5a2·1＋12＝(5a2＋1)2；
(2) 原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·2＋22
＝[(m＋n)－2]2＝(m＋n－2)2．
注意：1.分解后，结果要化为最简形式；
2.整体思想的应用.
1. 下列多项式能否分解因式？如果能，尝试把它们分解因式：
(1) a2＋8a＋16；
(2) 9a2－3a＋1；
(3) a2－1；
(4) a2－ab＋b2．
原式＝a2＋2·a·4＋42
＝(a＋4)2
第三项应是两个平方项底数的积的－2倍
(3a)2－6a＋12
能
不能
能
能
原式＝a2－2·a·＋
＝(a－)2
原式＝(a＋1)(a－1)
2．把下列各式分解因式：
(1) 25x2＋10xy＋y2； (2) a2－12ab＋36b2；
(3) 16a4＋24a2b2＋9b4； (4) (x＋y)2－10(x＋y)＋25．
解：(1) 原式＝(5x＋y)2；
(2) 原式＝(a－6b)2；
(3) 原式＝(4a2＋3b2)2；
(4) 原式＝(x＋y－5)2．
3. 已知a≠b，比较a2＋b2与2ab的大小，并说明理由．
解：∵ a≠b，
∴ a2＋b2－2ab＝(a－b)2＞0，
∴ a2＋b2 2ab．
有两张边长分别为a，b的正方形纸片，两张长、宽分别为a，b的矩形纸片．你能把这四张纸片拼成一个大矩形吗？
b
b
a
b
ab
a
a
a
b
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a
b
ab
例1 用简便方法计算：
(1) 101 ＋202×99＋99 ； (2) 20262－4052×2025＋20252．
解：(1)原式＝101 ＋2×101×99＋99 ＝(101＋99)2
＝2002＝40000．
(2) 原式＝2026 －2×2026×2025＋2025
＝(2026－2025)2＝12＝1．
1.用简便方法计算：992＋199．
解：原式＝992＋198＋1＝992＋2×99＋12
＝(99＋1)2＝1002＝10000．
例2 证明：无论x取何值，代数式x2＋2x＋5的值不小于4．
证明：x2＋2x＋5＝(x2＋2x＋1)＋4＝(x＋1)2＋4.
∵ (x＋1)2≥0，
∴ (x＋1)2＋4≥4．
∴无论x取何值，代数式x2＋2x＋5的值不小于4．
例3 运用分解因式a2－6ab＋9b2的结果，对(x＋3y)2－6(x＋3y)(x－y)＋
9(x－y) 进行因式分解．
解： (x＋3y)2－6(x＋3y)(x－y)＋9(x－y)
＝(x＋3y)2－2·(x＋3y)·3(x－y)＋[3(x－y)]
＝[(x＋3y)－3(x－y)]2
＝(x＋3y－3x＋3y)2
＝(－2x＋6y)2
＝4(x－3y)2．
进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止．
用完全平方公式因式分解
形式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2
特征：左边：有三项，两项都能用完全平方表示且符号相同，第三项是两个平方项底数的积的2倍或－2倍．
右边：这两个平方项底数的和（或差）的平方．
一般步骤：1. 变形；2. 分解；3. 化简．
9.3 课时3 因式分解的综合
第九章 因式分解
1.能够选择合适的公式法对代数式进行因式分解；
2.掌握因式分解的方法和步骤,并能进行相关变形、计算或求值.
因式分解有哪些方法？
提公因式法：
ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d)
定系数(先定符号)→定字母→定次数
公式法：
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
a2±2ab＋b2＝(a±b)2
变形→分解→化简
公式中的字母可以是具体的数，也可以是任意的单项式或多项式．
小组讨论，把下列各式分解因式：
(1) 18a2－50； (2) 2x2y－8xy＋8y；
解：(1)原式＝2(9a2－25)
＝2(3a＋5)(3a－5)；
(2)原式＝2y(x2－4x＋4)
＝2y(x－2)2；
(3) a2(x－y)－b2(x－y)．
(3) 原式＝(x－y) (a2－b2)
＝(x－y)(a＋b) (a－b)．
思考：代数式因式分解的一般步骤有哪些？
1. 提：有公因式的先提出公因式；
2. 套：提出公因式后，如果能套用公式的(两项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式)，要继续分解因式；
3. 查：检查乘积中的每一个多项式因式是否分解彻底．
因式分解的一般步骤：
(1) a4－16；
例7 把下列各式分解因式：
解：(1)原式＝(a2)2－(42)2
＝(a2＋4) (a2－4)
＝(a2＋4)(a＋2)(a－2)；
—平方差公式
—检查分解是否彻底
—平方差公式
—写成平方差公式形式
(2) 81x4－72x2y2＋16y4．
例7 把下列各式分解因式：
解：(2)原式＝(9x2)2－2 9x2 4y2＋(4y2)2
＝(9x2－4y2)2
＝[(3x＋2y)(3x－2y)]2
＝(3x＋2y)2(3x－2y)2．
—写成完全平方公式形式
—完全平方公式
—平方差公式
—积的乘方
—检查分解是否彻底
1．把下列各式分解因式：
(1) 2x2＋4x＋2； (2) －2xy－x2－y2；
(3) 2ax2－2ay4； (4) (a＋b)－ a2(a＋b)；
(5) 3ax2＋6axy＋3ay2； (6) 12x2－60xy＋75y2．
解：原式＝2(x＋1)2；
原式＝－(x＋y)2；
原式＝2a(x＋y2)(x－y2)；
原式＝(a＋b)(1－a)(1＋a)；
原式＝3a(x＋y)2；
原式＝3(2x－5y)2．
思考：1.x2＋8x－9＝(x＋4)2－52成立吗？
解：成立．
x2＋8x－9 ＝x2＋2·x·4＋42－42－9＝(x＋4)2－52
2.如何将x2＋8x－9分解因式吗？
解：由1可知，x2＋8x－9 ＝(x＋4)2－52
＝(x＋4＋5)(x＋4－5)
＝(x＋9)(x－1)．
1.运用分解因式4x2－4x＋1的结果，对4x2－4x－15进行因式分解．
解：4x2－4x－15
＝(2x)2－2·2x·1＋12－12－15
＝(2x－1)2－42
＝[(2x－1)＋4][(2x－1)－4]
＝(2x＋3)(2x－5)．
解： (1) 4x2－20xy＋25y2
＝(2x)2－2·2x·5y＋(5y)2
＝(2x－5y)2．
∵ x＝，y＝，
∴ 原式＝(2×－5× )2＝(－1 )2＝．
例8 先分解因式，然后计算求值：
(1) 4x2－20xy＋25y2，其中x＝，y＝．
例8 先分解因式，然后计算求值：
(2) 已知a－b＝，ab＝8，求－2a2b2＋ab3＋a3b的值．
解： (2) －2a2b2＋ab3＋a3b
＝ab(a2－2ab＋b2)
＝ab(a－b)2．
∵ a－b＝，ab＝8，
∴ 原式＝8×＝2．
1.先分解因式，然后计算求值：
(1) －，其中m＝－，n＝2．
解： (1) －＝＝mn．
∵ m＝－，n＝2，
∴ 原式＝－×2＝－．
1.先分解因式，然后计算求值：
(2) 已知a＋b＝7，ab＝12，求2a2b＋2ab2的值．
解： (2) 2a2b＋2ab2
＝2ab(a＋b)．
∵ a＋b＝7，ab＝12，
∴ 原式＝2×12×7＝168．
思考：已知m＞0，且m是奇数，则m2－1能被8整除吗？说明理由．
解：∵m＞0，且m是奇数，
∴可设m＝2n＋1，n≥0，n为整数，
∴ m2－1＝(2n＋1)2－1＝(2n＋1＋1)(2n＋1－1)＝2n(2n＋2)＝4n(n＋1)，
∵n≥0，∴n＋1≥1，
当n为奇数时，n＋1为偶数，n(n＋1)为偶数，
当n为偶数时，n＋1为奇数，n(n＋1)为偶数，
∴n(n＋1)能被2整除，
∴4n(n＋1)能被8整除，即m2－1能被8整除．
例9 准备若干块如图(1)～(3)所示的矩形硬纸片．
(1) 分别用多少块如图(1)～(3)所示的纸片才能拼成一个边长为a＋2b，a＋b的矩形？
(2) 利用上述拼图的结果，分解因式a2＋3ab＋2b2．
a
a
b
b
a
b
(1) (2) (3)
解：(1)∵拼成的边长为a＋2b，a＋b的矩形
的面积为(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2，
∴用3块图(1)，1块图(2)，2块图(3)才能拼成
一个边长为a＋2b，a＋b的矩形；
(2) a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)．
因式分解方法的综合运用
一般步骤：一提→二套→三检查
应用
计算求值
恒等变形

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