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华东师大版数学七（下）第八章三角形单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2)，即可得方程180（n﹣2)=1080，解此方程即可求得答案．
【解答】设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180（n﹣2)=1080，
解得：n=8．
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
2．一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．80° C．95° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质和对顶角相等解答即可．
3．如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵m∥n，
∴∠1=∠4=40°，
∵∠5=180°-∠2-∠4=180°-30°-40°=110°，
∴∠3=180°-∠5=180°-110°=70°.
故答案为：B.
【分析】利用两直线平行，同位角相等，可求出∠4的度数；再利用三角形的内角和为180° ，可得到∠5=180°-∠2-∠4，代入计算求出∠5的度数；然后利用∠3=180°-∠5，由此可求出∠3的度数.
4．现有7根木棍，长度(单位： dm)分别是1，2，3，4，5，6，7.从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为7dm，另两边的差大于2dm.这样的三角形一共有(　　)个.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：从1到6中选取两个数作为另两边，且差大于2，可能的组合有：(1， 4)、(1， 5)、(1， 6)、(2，5)、(2， 6)、(3， 6)、
对于每一种组合，判断是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
(1，4，7)：1+4=5<7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(1，5，7)：1+5=6<7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(1，6，7)：1+6=7=7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(2，5，7)：2+5=7=7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(2，6，7)：2+6=8＞7，满足三边关系，能围成三角形。
(3，6，7)：3+6=9>7，6-3=3<7，满足三边关系，可以围成三角形。
满足条件的三角形有(2， 6， 7)、(3， 6， 7)2种。
故答案为：A .
【分析】根据 最长的边为7dm， 可从1到6中选取两个数作为另两边，且差大于2，可能的组合有：(1， 4)、(1， 5)、(1， 6)、(2，5)、(2， 6)、(3， 6)，对于每一种组合，判断是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。进而即可得出答案。
5．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（　　）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：起吊物体前，设，
，支撑臂为的平分线，
，
；
物体被吊起后，
机械臂的位置不变，，，
，
增大了，
，
，
，
的变化情况为增大．
故选：C．
【分析】起吊物体前，设，根据角平分线定义可得，再根据三角形外角性质可得，物体被吊起后，根据角之间的关系可得，由题意可得，再根据三角形外角性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
6．如图，点是中一点，于点A，于点，连接，，，则度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵，
∴在四边形中，
∵，
∴
故选：D．
【分析】根据四边形内角和可得∠APB，再根据三角内定理即可求出答案.
7．如图，把一块含有角（）的直角三角板的直角顶点放在长方形桌面的一个顶点C处，如果，那么（　　）
A．50° B．40° C．20° D．10°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∵为的外角，且，
∴．
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质可证得EF∥CD，利用两直线平行同位角相等求出的度数，根据为三角形的外角，利用外角性质求出的度数即可．
8．已知直线，，，射线的反向延长线交于点F，若，则m的值为（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：延长AB交FN的延长线于点P，如图，
∵ AB∥DE，
∴ ∠NDE=∠FPB，
∵ ∠ABM=∠FBP，
∴ ∠F=180°-∠ABM-∠NDE，
∵ ∠CBM=m∠ABM，∠CDN=m∠NDE，
∴ 四边形BCDF中，∠FBC+∠C+∠CDF+∠F=360°，
即180°-∠CBM+∠C+180°-∠CDN+∠F=360°，
∴ 180°-m∠ABM+∠C+180°-m∠NDE+∠F=360°，
∴ 360°-m(180°-∠F)+∠C+∠F=360°，即(m+1)∠F+∠C=180°m，
∵ 4∠F+∠C=540°，
∴ m=3.
故答案为：B.
【分析】延长AB交FN的延长线于点P，根据平行线的性质可得∠NDE=∠FPB，根据三角形的内角和得∠F=180°-∠ABM-∠NDE，根据四边形的内角和列出等式可得(m+1)∠F+∠C=180°m，即可求得m的值.
9．如图，，，，垂足为，平分．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：；
结论Ⅱ：若（）的度数每增加2°，则的度数会减少1°
A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
C．只有结论Ⅰ正确 D．只有结论I正确
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，
∠AEF+∠EFC=180°，
，
∠ACF+∠EFC=180°，
（同旁内角互补，两直线平行），
结论Ⅰ正确；
，
∠CEG=90°，
∠A+∠ACF=180°，
∠ACF=180°-∠A，
平分，
∠ECG=，
∠EGD=∠CEG+∠ECG=90°+90°-=180°-，
（）的度数每增加2°，则的度数会减少1° ，
结论Ⅱ正确；
综上， 结论Ⅰ、Ⅱ都正确.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质及判定定理即可判断结论 Ⅰ 正确；先根据平行线的性质得到∠ACF=180°-∠A，再根据角平分线的定义得到∠ECG=，再利用三角形外角的性质表示出∠EGD与∠A的数量关系，即可判断Ⅱ正确.
10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①：②；③；④．正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴，故①正确；
∵是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
根据已知条件无法证明，故④错误，
综上所述，正确的是①②③．
故选：C．
【分析】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，由是的中线，得到，可判定①正确；由是的高线，得到，再由为的角平分线，得到，结合三角形外角的性质，求得，可判定②正确；根据角平分线的定义，可求解③；根据已知条件无法判定④．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，在△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，外角∠CAN的平分线AM交BC延长线于点M，若∠M=35°，则∠CFE度数是　 　.
【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，且，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线的定义可得，即可得到，根据三角形的内角和定理求出，利用三角形外角得到解答即可．
12．如图，数学活动课上，小李同学分别延长△ABC和△DEF的边，边AC，DF的延长线交于点H，边BC，EF延长线交于点G，测得∠G=126°，∠H=84°，则∠A+∠B+∠D+∠E的值为　 　 °.
【答案】210
【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由三角形外角性质可知：∠A+∠B=∠ACG，∠D+∠E=∠DFG，
∵∠G=126°，∠H=84°
∴∠GCH+∠GFH=360°-126°-84°=150°，
∴∠ACG+∠DFG=360°-150°=210°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E=210°
则∠A+∠B+∠D+∠E的值为210°，
故答案为：210.
【分析】根据三角形外角性质得出∠A+∠B=∠ACG，进而利用四边形的内角和解答即可.
13．已知的三边，则化简的值是　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵在中，，，
，，
．
故答案为：．
【分析】先利用三角形三边的关系可得，，再去掉绝对值，然后合并同类项即可.
14．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=　 　度.
【答案】74°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°.∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE= ∠ACB=35°.∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=50°.
∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°.∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°.
【分析】根据三角形内角和求出∠ACB=70°，利用角平分线的定义可得∠ACE= ∠ACB=35°.根据三角形内角和可得∠ACD=50°，从而求出∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°，在Rt△CFD中，利用三角形内角和即可求出∠CDF的度数.
15．如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：设NF交AB于点H，过E作PE∥AB，如图：
设，，
平分，平分，
，，，，
，，
，
，，，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】设NF交AB于点H，过E作PE∥AB，设，，根据角平分线的定义得，，，，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AB∥CD，由二直线平行，同位角相等（内错角相等）得，，，由角的和差可得，由三角形外角相等得，然后根据可求出，据此即可求出的度数．
16． 如图， 已知点 C 为两条相互平行的直线 AB， ED 之间一动点， 和 的角平分线相交于 F， 若 ， 则 的度数为　 　.
【答案】120°
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠CDE的平分线交于点F
∴∠ABE=∠EBC，∠ADE=∠ADC
∵DE∥AB
∴∠BED=∠ABE=∠EBC，∠BAD=∠ADE=∠ADC
设∠BED=∠ABE=∠EBC=x，∠BAD=∠ADE=∠ADC=y
在中，由外角性质可知∠BFD=x+y
∵
∴
在四边形BCDF中，由四边形内角和为360°可得
化简得x+y=120°
∴
故答案为：120° .
【分析】本题主要条件是一组平行线，两条角平分线，解题中需将几者之间涉及的角关联起来，再结合多边形内角和公式整体求出∠BFD的大小，最后利用两个角之间的数量关系即可求∠BCD的度数。
三、解答题（共10题，共102分）
17．解决多边形问题：
（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形
（2）小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170°，这个多边形是几边形
【答案】（1）解：设这个多边形是n边形，
由题意得：
解得n=8，
答：这个多边形是八边形
（2）解：设这个多边形是n边形，重复加的一个角的度数为x，则
由题意得：
解得
则 即
解得
∵n为正整数，
∴n=8，
答：这个多边形是八边形.
【知识点】解一元一次不等式组；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）设这个多边形是n边形，再根据三角形内角和与外角和性质建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设这个多边形是n边形，重复加的一个角的度数为x，则 ，根据题意建立方程可得，再根据角之间的关系可得，再求出整数即可求出答案.
18．如图1，点E为△ABC边BC的中点，D为线段EC上动点（点D不与点E，C重合），连接AD，DG平分∠ADB，交AB于点G.
（1）若∠ADC=120°，求∠BDG的度数；
（2）若DM⊥DG交AC于点M.
①求证：DM平分∠ADC；
②如图2，DF⊥AB交AB于点F，连接EF，PF⊥EF交AD于点P，∠DFP+∠B=2∠ADM，请判断AF与PF的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：①证明：∵DM⊥DG，
∴∠GDM=90°，
∴∠ADG+∠ADM=90°，∠BDG+∠CDM=90°，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG=∠ADG=ADB，
∴∠ADM=∠CDM，
∴DM平分∠ADC；
②解：AF与PF的大小关系为AF＞PF，理由：
由（2）①知：DM平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADM．
∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFE+∠DFE=90°．
∵PF⊥EF，
∴∠PFE=90°，
∴∠DFE+∠PFD=90°．
∴∠PFD=∠BFE，
∵∠DFP+∠B=2∠ADM，
∴∠BFE+∠B=2∠ADM=∠ADC，
∵∠FEC=∠BFE+∠B，
∴∠FEC=∠ADC，
∴FE∥AD，
∵PF⊥EF，
∴PF⊥AD，
∴∠APF=90°，
∵斜边大于直角边，
∴AF＞PF
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；余角；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义得到，然后根据角平分线的定义解答即可．
（2）①根据垂直的定义得到得出，然后根据等交的余角相等得到结论即可；
②根据垂直得出，然后利用外角得到，证出，即可证，即可得到，再根据垂线段最短证明即可．
19．如图，在中，点D在边上．
（1）若，，求的度数；
（2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长．
【答案】（1）解：，
，
，
，
的度数是；
（2）解：为的中线，
，
∵的周长比的周长大3，
∴，即，
，即，
解得：，
即的长为8．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；三角形的中线
【解析】【分析】
（1）根据三角形外角的性质计算，再根据三角形的内角和定理计算得，计算角度解答即可；
（2）根据三角形中线的定义可得，再根据的周长比的周长大3，建立线段的和差关系计算得到AB-AC=3，从而可求得AC的长，解答即可．
（1）解：，
，
，
，
的度数是；
（2）解：为的中线，
，
∵的周长比的周长大3，
∴，即，
，即，
解得：，
即的长为8．
20．小明在自主探究多边形的边数与多边形的对角线条数的关系过程中，记录的数据如下：
多边形的边数 3 4 5 6
对角线的条数 0 2 5 9
（1）直接写出过边形的每一个顶点有几条对角线（用含的式子表示）；
（2）多边形的对角线条数随着多边形的边数（为正整数）的变化而变化．请你用含的式子表示；
（3）直接写出十二边形的对角线的条数．
【答案】（1）解：从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为.
（2）解：边形有个顶点，
所有对角线有条，但每条对角线重复一次，
边形所有对角线的条数为.
（3）54
【知识点】多边形的对角线；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（3）解：将代入，得：，
∴十二边形的对角线的条数为54．
故答案为：54.
【分析】（1）利用多边形的对角线的定义及数量与边数的关系（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数））分析求解即可；
（2）利用（1）的计算方法可得规律n边形所有对角线的条数为；
（3）利用（2）的规律直接求解即可.
（1）解：从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为；
（2）解：边形有个顶点，
所有对角线有条，但每条对角线重复一次，
边形所有对角线的条数为；
（3）解：将代入，得：
，
∴十二边形的对角线的条数为54．
21．如图，在中，D是边上一点，G是边上一点，过点G作交于点F，E是边上一点，连接，．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1）AC∥DE，理由如下：
∵FG∥CD，
∴∠1+∠ACD=180°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠ACD=∠2，
∴AC∥DE．
（2）设∠A=x°，
∵AC∥DE，
∴∠A=∠EDB=x°，
∵∠CED=3∠A+20°，
∴∠CED=3x°+20°，
又∵∠B=80°，
∴x+80=3x+20，
解得x=30，
又∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠BDE=30°，
又∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠2=30°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）利用平行线得出同旁内角互补，然后根据内错角相等得出两直线平行即可；
（2）设，表示出相关角的度数，利用三角形的外角列出方程求解即可．
22．
（1）探究：如图(1)，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，若∠B=30°，则∠ACD 的度数是　 　°；
（2）拓展：如图(2)，∠MCN=90°，射线 CP 在∠MCN 的内部，点A，B分别在 CM，CN上，分别过点A，B 作AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，若∠CBE=70°，求∠CAD 的度数；
（3）应用：如图(3)，点A，B 分别在∠MCN 的边CM，CN上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D，E在射线 CP 上，连结AD，BE，若∠ADP=∠BEP = 60°， 则 ∠CAD+∠CBE +∠ACB =　 　°.
【答案】（1）30
（2）解：因为 BE⊥CP，所以∠BEC=90°.因为∠CBE=70°，所以∠BCE=90°-∠CBE=20°.因为∠MCN = 90°， 所以 ∠BCE=70°.因为 AD⊥CP，所以∠CAD =90°-∠ACD=20°.
（3）120
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：(1)在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，所以∠A = 60°. 因为 CD ⊥AB，所以∠ADC=90°，所以.
故答案为：30.
(3)因为∠ADP 是△ACD 的一个外角，所以∠ADP=∠ACD+∠CAD=60°，同理，∠BEP=∠BCE+∠CBE=60°，所以∠CAD+∠CBE+∠ACB=∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE=(∠CAD+∠ACD)+(∠CBE+∠BCE)= 120°.
故答案为：120.
【分析】(1)利用直角三角形的性质依次求出. 即可；
(2)利用直角三角形的性质直接计算得出即可；
(3)利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论.
23．【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．
（1）【理解】
若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为　 　．
（2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为　 　．
（3）【应用】
如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值．
【答案】（1）16°
（2）30°或40°
（3）解：分两种情况讨论：①当∠BAE与∠B互为“开心角”时，∠BAE 或∠BAE=2∠B.
∵AD平分∠BAC，CD平分∠BCF，
∴∠BAC=2∠BAE，∠BCF=2∠BCD.
∵∠B+∠BAC=∠BCF，∠BCD=∠B+∠P，
∴∠B+2∠BAE=2(∠B+∠P)，即 或α+2×2α=2(α+30°)，
解得α=20℃第一个方程无解，即 不成立)；
②当∠AEB 与∠B 互为“开心角”时， 或∠AEB=2∠B，
即 或∠BAE=180°-3∠B.
同①可得 或α+2×(180°-3α)=2(α+30°)，解得α=75°或
综上所述，α的值为20°或75°或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解： (1) 若△ABC为开心三角形， ∠A=132°，
当∠A =2∠B时， ∠B = 66°，
此时∠A+∠B>180°， 舍去；
当∠A = 2∠C时， ∠C = 66°，
此时∠A+∠C>180°， 舍去；
∴∠B=2∠C或∠C=2∠B，
设这个三角形中最小的内角为α，
则α+2α= 180°-132°= 48°，
∴α=16°，
故答案为：16；
(2)若△ABC为开心三角形， ∠A = 60°，
当∠A是开心角时，最小的内角为30°；
当∠A不是开心角时，
设这个三角形中最小的内角为α，
则α+2α= 180°-60°=120°，
∴α=40°；
故答案为： 30°或40.
【分析】(1)先判断∠A不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-132°=48°，即可求出这个三角形中最小的内角的度数；
(2)分两种情况讨论：当∠A是开心角时，最小的内角为30°；当∠A不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-60°=120°；从而求出这个三角形中最小的内角的度数.
(3)分为∠BAE与∠B互为“开心角”或∠AEB 与∠B 互为“开心角”两种情况，根据角平分线的定义，三角形的外角性质列方程求出α的值解答即可.
24．在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC.
（1）如图（1），AD⊥BC 于 D，若∠C=75°， ，求∠EAD的度数.
（2）如图（1），AD⊥BC 于 D，判断∠EAD= 是否成立，并说明你的理由.
（3）如图（2），F为AE上一点，FD⊥BC于 D，这时∠EFD与∠B，∠C 又有什么数量关系 （不用证明）
【答案】（1）解：∵∠C=75°，∠B=35°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=70°.
∵ AE 平分∠BAC，
又∵AD⊥BC，
∴ ∠DAC= 90° - ∠C = 15°，
∴ ∠EAD =∠EAC-∠DAC=20°.
（2）解：成立.
理由如下：∵ AE 平分∠BAC，
（3）解：
如图，过A作AG⊥BC 于 G.
由 (2) 知，
90°.
∵ FD⊥BC，
∴∠FDG=90°，
∴ ∠AGC=∠FDG，
∴FD∥AG，
∴∠EFD=∠EAG，
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】⑴根据三角形内角和定理得∠BAC的度数，再根据角平分线定义得∠EAC的度数，最后根据直角三角形两锐角互余得 ∠EAD的度数 .
⑵根据三角形内角和定理、角平分线定义及直角三角形两锐角互余推理可得.
⑶借助（2）的结论，结合平行线性质得∠EFD=∠EAG，从而得到.
25． 核心素养几何直观
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点 P 是线段AB上一点(不与A，B重合)，连结CP.
（1）当∠B=72°时，回答下列问题：
①若∠CPB=54°，则△ACP ▲ “倍角三角形”(填“是”或“不是”)；
②若△BPC 是“倍角三角形”，求∠ACP 的度数.
（2）当△ABC，△BPC，△ACP 都是“倍角三角形”时，求∠BCP 的度数.
【答案】（1）解：①是；
②因为∠B=72°，△BPC 是“倍角三角形”，所以△BCP 三个内角的度数分别是 72°，72°， 36°， 所以 ∠BCP = 36°或 72°， 所以∠ACP=54°或18°.
（2）解：△ABC 是“倍角三角形”时，有两种情况，即△ABC是含有45°角的直角三角形或含有60°角的直角三角形，
如图(1)，当∠A=∠B=45°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=45°.
如图(2)，当∠A=60°，CP⊥AB 时，满足条件，此时∠BCP=60°.
如图(3)，当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条件，此时∠BCP=50°.
如图(4)，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条件，此时∠BCP=40°.
如图(5)，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时∠BCP=30°.
综上所述，满足条件的∠BCP 的度数为30°或40°或45°或50°或60°
【知识点】三角形相关概念；三角形的分类
【解析】【解答】解：(1)①因为∠ACB=90°，∠B=72°，所以.因为∠CPB=54°，所以∠CPA=126°，所以∠ACP=36°，所以∠ACP=2∠A，所以△ACP 是“倍角三角形”.
故答案为：是.
【分析】(1)①求出△APC中各个内角的度数，即可判断；
②由∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”，推出△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，由此可求出∠ACP的度数；
(2)△ABC是“倍角三 角形”时，有两种情况：①含45°角的直角三角形；②含60°角的直角三角形，再分类讨论解决.
26．直线，垂足为点O，点A、B分别在射线、上运动，点A、B均不与点O重合．
（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交射线于点D．在A、B两点运动的过程中，的度数是否发生变化 若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点E在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点F、G，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出的度数．
【答案】（1）解：∵直线，∴，，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
（2）解：的度数不变，求解过程如下：∵直线，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：∵直线，∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
①当时，则，符合题意，
∴，
∴，
∴；
②当时，则，
∴，不符合题意，舍去；
③当时，
∵，
∴，不符合题意，舍去；
④当时，
∵，
∴，符合题意，
∴，
∴，
∴，
综上，的度数为或．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）根据垂直定义和三角形的内角和定理先求出，再由角平分线的定义可得，，最后根据三角形的内角和定理即可解答；
（2）先根据垂直的定义可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的外角性质求解即可得；（3）先根据垂直的定义和角平分线的定义，说明，，再根据题意分四种情况：①，②，③和④，分别求出的度数，再根据三角形外角的性质和角平分线的定义即可解答．
（1）解：∵直线，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
（2）解：的度数不变，求解过程如下：
∵直线，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：∵直线，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
①当时，则，符合题意，
∴，
∴，
∴；
②当时，则，
∴，不符合题意，舍去；
③当时，
∵，
∴，不符合题意，舍去；
④当时，
∵，
∴，符合题意，
∴，
∴，
∴，
综上，的度数为或．
1 / 1华东师大版数学七（下）第八章三角形单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．80° C．95° D．100°
3．如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　）
A．80° B．70° C．60° D．50°
4．现有7根木棍，长度(单位： dm)分别是1，2，3，4，5，6，7.从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为7dm，另两边的差大于2dm.这样的三角形一共有(　　)个.
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（　　）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
6．如图，点是中一点，于点A，于点，连接，，，则度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，把一块含有角（）的直角三角板的直角顶点放在长方形桌面的一个顶点C处，如果，那么（　　）
A．50° B．40° C．20° D．10°
8．已知直线，，，射线的反向延长线交于点F，若，则m的值为（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
9．如图，，，，垂足为，平分．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：；
结论Ⅱ：若（）的度数每增加2°，则的度数会减少1°
A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
C．只有结论Ⅰ正确 D．只有结论I正确
10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①：②；③；④．正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，在△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，外角∠CAN的平分线AM交BC延长线于点M，若∠M=35°，则∠CFE度数是　 　.
12．如图，数学活动课上，小李同学分别延长△ABC和△DEF的边，边AC，DF的延长线交于点H，边BC，EF延长线交于点G，测得∠G=126°，∠H=84°，则∠A+∠B+∠D+∠E的值为　 　 °.
13．已知的三边，则化简的值是　 　．
14．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=　 　度.
15．如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是　 　．
16． 如图， 已知点 C 为两条相互平行的直线 AB， ED 之间一动点， 和 的角平分线相交于 F， 若 ， 则 的度数为　 　.
三、解答题（共10题，共102分）
17．解决多边形问题：
（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形
（2）小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170°，这个多边形是几边形
18．如图1，点E为△ABC边BC的中点，D为线段EC上动点（点D不与点E，C重合），连接AD，DG平分∠ADB，交AB于点G.
（1）若∠ADC=120°，求∠BDG的度数；
（2）若DM⊥DG交AC于点M.
①求证：DM平分∠ADC；
②如图2，DF⊥AB交AB于点F，连接EF，PF⊥EF交AD于点P，∠DFP+∠B=2∠ADM，请判断AF与PF的大小关系，并说明理由.
19．如图，在中，点D在边上．
（1）若，，求的度数；
（2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长．
20．小明在自主探究多边形的边数与多边形的对角线条数的关系过程中，记录的数据如下：
多边形的边数 3 4 5 6
对角线的条数 0 2 5 9
（1）直接写出过边形的每一个顶点有几条对角线（用含的式子表示）；
（2）多边形的对角线条数随着多边形的边数（为正整数）的变化而变化．请你用含的式子表示；
（3）直接写出十二边形的对角线的条数．
21．如图，在中，D是边上一点，G是边上一点，过点G作交于点F，E是边上一点，连接，．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若平分，求的度数．
22．
（1）探究：如图(1)，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，若∠B=30°，则∠ACD 的度数是　 　°；
（2）拓展：如图(2)，∠MCN=90°，射线 CP 在∠MCN 的内部，点A，B分别在 CM，CN上，分别过点A，B 作AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，若∠CBE=70°，求∠CAD 的度数；
（3）应用：如图(3)，点A，B 分别在∠MCN 的边CM，CN上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D，E在射线 CP 上，连结AD，BE，若∠ADP=∠BEP = 60°， 则 ∠CAD+∠CBE +∠ACB =　 　°.
23．【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．
（1）【理解】
若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为　 　．
（2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为　 　．
（3）【应用】
如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值．
24．在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC.
（1）如图（1），AD⊥BC 于 D，若∠C=75°， ，求∠EAD的度数.
（2）如图（1），AD⊥BC 于 D，判断∠EAD= 是否成立，并说明你的理由.
（3）如图（2），F为AE上一点，FD⊥BC于 D，这时∠EFD与∠B，∠C 又有什么数量关系 （不用证明）
25． 核心素养几何直观
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点 P 是线段AB上一点(不与A，B重合)，连结CP.
（1）当∠B=72°时，回答下列问题：
①若∠CPB=54°，则△ACP ▲ “倍角三角形”(填“是”或“不是”)；
②若△BPC 是“倍角三角形”，求∠ACP 的度数.
（2）当△ABC，△BPC，△ACP 都是“倍角三角形”时，求∠BCP 的度数.
26．直线，垂足为点O，点A、B分别在射线、上运动，点A、B均不与点O重合．
（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交射线于点D．在A、B两点运动的过程中，的度数是否发生变化 若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点E在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点F、G，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2)，即可得方程180（n﹣2)=1080，解此方程即可求得答案．
【解答】设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180（n﹣2)=1080，
解得：n=8．
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
2．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质和对顶角相等解答即可．
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵m∥n，
∴∠1=∠4=40°，
∵∠5=180°-∠2-∠4=180°-30°-40°=110°，
∴∠3=180°-∠5=180°-110°=70°.
故答案为：B.
【分析】利用两直线平行，同位角相等，可求出∠4的度数；再利用三角形的内角和为180° ，可得到∠5=180°-∠2-∠4，代入计算求出∠5的度数；然后利用∠3=180°-∠5，由此可求出∠3的度数.
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：从1到6中选取两个数作为另两边，且差大于2，可能的组合有：(1， 4)、(1， 5)、(1， 6)、(2，5)、(2， 6)、(3， 6)、
对于每一种组合，判断是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
(1，4，7)：1+4=5<7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(1，5，7)：1+5=6<7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(1，6，7)：1+6=7=7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(2，5，7)：2+5=7=7，不满足三边关系，不能围成三角形。
(2，6，7)：2+6=8＞7，满足三边关系，能围成三角形。
(3，6，7)：3+6=9>7，6-3=3<7，满足三边关系，可以围成三角形。
满足条件的三角形有(2， 6， 7)、(3， 6， 7)2种。
故答案为：A .
【分析】根据 最长的边为7dm， 可从1到6中选取两个数作为另两边，且差大于2，可能的组合有：(1， 4)、(1， 5)、(1， 6)、(2，5)、(2， 6)、(3， 6)，对于每一种组合，判断是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。进而即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：起吊物体前，设，
，支撑臂为的平分线，
，
；
物体被吊起后，
机械臂的位置不变，，，
，
增大了，
，
，
，
的变化情况为增大．
故选：C．
【分析】起吊物体前，设，根据角平分线定义可得，再根据三角形外角性质可得，物体被吊起后，根据角之间的关系可得，由题意可得，再根据三角形外角性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵，
∴在四边形中，
∵，
∴
故选：D．
【分析】根据四边形内角和可得∠APB，再根据三角内定理即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∵为的外角，且，
∴．
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质可证得EF∥CD，利用两直线平行同位角相等求出的度数，根据为三角形的外角，利用外角性质求出的度数即可．
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：延长AB交FN的延长线于点P，如图，
∵ AB∥DE，
∴ ∠NDE=∠FPB，
∵ ∠ABM=∠FBP，
∴ ∠F=180°-∠ABM-∠NDE，
∵ ∠CBM=m∠ABM，∠CDN=m∠NDE，
∴ 四边形BCDF中，∠FBC+∠C+∠CDF+∠F=360°，
即180°-∠CBM+∠C+180°-∠CDN+∠F=360°，
∴ 180°-m∠ABM+∠C+180°-m∠NDE+∠F=360°，
∴ 360°-m(180°-∠F)+∠C+∠F=360°，即(m+1)∠F+∠C=180°m，
∵ 4∠F+∠C=540°，
∴ m=3.
故答案为：B.
【分析】延长AB交FN的延长线于点P，根据平行线的性质可得∠NDE=∠FPB，根据三角形的内角和得∠F=180°-∠ABM-∠NDE，根据四边形的内角和列出等式可得(m+1)∠F+∠C=180°m，即可求得m的值.
9．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，
∠AEF+∠EFC=180°，
，
∠ACF+∠EFC=180°，
（同旁内角互补，两直线平行），
结论Ⅰ正确；
，
∠CEG=90°，
∠A+∠ACF=180°，
∠ACF=180°-∠A，
平分，
∠ECG=，
∠EGD=∠CEG+∠ECG=90°+90°-=180°-，
（）的度数每增加2°，则的度数会减少1° ，
结论Ⅱ正确；
综上， 结论Ⅰ、Ⅱ都正确.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质及判定定理即可判断结论 Ⅰ 正确；先根据平行线的性质得到∠ACF=180°-∠A，再根据角平分线的定义得到∠ECG=，再利用三角形外角的性质表示出∠EGD与∠A的数量关系，即可判断Ⅱ正确.
10．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴，故①正确；
∵是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
根据已知条件无法证明，故④错误，
综上所述，正确的是①②③．
故选：C．
【分析】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，由是的中线，得到，可判定①正确；由是的高线，得到，再由为的角平分线，得到，结合三角形外角的性质，求得，可判定②正确；根据角平分线的定义，可求解③；根据已知条件无法判定④．
11．【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，且，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线的定义可得，即可得到，根据三角形的内角和定理求出，利用三角形外角得到解答即可．
12．【答案】210
【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由三角形外角性质可知：∠A+∠B=∠ACG，∠D+∠E=∠DFG，
∵∠G=126°，∠H=84°
∴∠GCH+∠GFH=360°-126°-84°=150°，
∴∠ACG+∠DFG=360°-150°=210°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E=210°
则∠A+∠B+∠D+∠E的值为210°，
故答案为：210.
【分析】根据三角形外角性质得出∠A+∠B=∠ACG，进而利用四边形的内角和解答即可.
13．【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵在中，，，
，，
．
故答案为：．
【分析】先利用三角形三边的关系可得，，再去掉绝对值，然后合并同类项即可.
14．【答案】74°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°.∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE= ∠ACB=35°.∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=50°.
∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°.∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°.
【分析】根据三角形内角和求出∠ACB=70°，利用角平分线的定义可得∠ACE= ∠ACB=35°.根据三角形内角和可得∠ACD=50°，从而求出∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°，在Rt△CFD中，利用三角形内角和即可求出∠CDF的度数.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：设NF交AB于点H，过E作PE∥AB，如图：
设，，
平分，平分，
，，，，
，，
，
，，，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】设NF交AB于点H，过E作PE∥AB，设，，根据角平分线的定义得，，，，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AB∥CD，由二直线平行，同位角相等（内错角相等）得，，，由角的和差可得，由三角形外角相等得，然后根据可求出，据此即可求出的度数．
16．【答案】120°
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠CDE的平分线交于点F
∴∠ABE=∠EBC，∠ADE=∠ADC
∵DE∥AB
∴∠BED=∠ABE=∠EBC，∠BAD=∠ADE=∠ADC
设∠BED=∠ABE=∠EBC=x，∠BAD=∠ADE=∠ADC=y
在中，由外角性质可知∠BFD=x+y
∵
∴
在四边形BCDF中，由四边形内角和为360°可得
化简得x+y=120°
∴
故答案为：120° .
【分析】本题主要条件是一组平行线，两条角平分线，解题中需将几者之间涉及的角关联起来，再结合多边形内角和公式整体求出∠BFD的大小，最后利用两个角之间的数量关系即可求∠BCD的度数。
17．【答案】（1）解：设这个多边形是n边形，
由题意得：
解得n=8，
答：这个多边形是八边形
（2）解：设这个多边形是n边形，重复加的一个角的度数为x，则
由题意得：
解得
则 即
解得
∵n为正整数，
∴n=8，
答：这个多边形是八边形.
【知识点】解一元一次不等式组；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）设这个多边形是n边形，再根据三角形内角和与外角和性质建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设这个多边形是n边形，重复加的一个角的度数为x，则 ，根据题意建立方程可得，再根据角之间的关系可得，再求出整数即可求出答案.
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：①证明：∵DM⊥DG，
∴∠GDM=90°，
∴∠ADG+∠ADM=90°，∠BDG+∠CDM=90°，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG=∠ADG=ADB，
∴∠ADM=∠CDM，
∴DM平分∠ADC；
②解：AF与PF的大小关系为AF＞PF，理由：
由（2）①知：DM平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADM．
∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFE+∠DFE=90°．
∵PF⊥EF，
∴∠PFE=90°，
∴∠DFE+∠PFD=90°．
∴∠PFD=∠BFE，
∵∠DFP+∠B=2∠ADM，
∴∠BFE+∠B=2∠ADM=∠ADC，
∵∠FEC=∠BFE+∠B，
∴∠FEC=∠ADC，
∴FE∥AD，
∵PF⊥EF，
∴PF⊥AD，
∴∠APF=90°，
∵斜边大于直角边，
∴AF＞PF
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；余角；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义得到，然后根据角平分线的定义解答即可．
（2）①根据垂直的定义得到得出，然后根据等交的余角相等得到结论即可；
②根据垂直得出，然后利用外角得到，证出，即可证，即可得到，再根据垂线段最短证明即可．
19．【答案】（1）解：，
，
，
，
的度数是；
（2）解：为的中线，
，
∵的周长比的周长大3，
∴，即，
，即，
解得：，
即的长为8．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；三角形的中线
【解析】【分析】
（1）根据三角形外角的性质计算，再根据三角形的内角和定理计算得，计算角度解答即可；
（2）根据三角形中线的定义可得，再根据的周长比的周长大3，建立线段的和差关系计算得到AB-AC=3，从而可求得AC的长，解答即可．
（1）解：，
，
，
，
的度数是；
（2）解：为的中线，
，
∵的周长比的周长大3，
∴，即，
，即，
解得：，
即的长为8．
20．【答案】（1）解：从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为.
（2）解：边形有个顶点，
所有对角线有条，但每条对角线重复一次，
边形所有对角线的条数为.
（3）54
【知识点】多边形的对角线；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（3）解：将代入，得：，
∴十二边形的对角线的条数为54．
故答案为：54.
【分析】（1）利用多边形的对角线的定义及数量与边数的关系（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数））分析求解即可；
（2）利用（1）的计算方法可得规律n边形所有对角线的条数为；
（3）利用（2）的规律直接求解即可.
（1）解：从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为；
（2）解：边形有个顶点，
所有对角线有条，但每条对角线重复一次，
边形所有对角线的条数为；
（3）解：将代入，得：
，
∴十二边形的对角线的条数为54．
21．【答案】（1）AC∥DE，理由如下：
∵FG∥CD，
∴∠1+∠ACD=180°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠ACD=∠2，
∴AC∥DE．
（2）设∠A=x°，
∵AC∥DE，
∴∠A=∠EDB=x°，
∵∠CED=3∠A+20°，
∴∠CED=3x°+20°，
又∵∠B=80°，
∴x+80=3x+20，
解得x=30，
又∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠BDE=30°，
又∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠2=30°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）利用平行线得出同旁内角互补，然后根据内错角相等得出两直线平行即可；
（2）设，表示出相关角的度数，利用三角形的外角列出方程求解即可．
22．【答案】（1）30
（2）解：因为 BE⊥CP，所以∠BEC=90°.因为∠CBE=70°，所以∠BCE=90°-∠CBE=20°.因为∠MCN = 90°， 所以 ∠BCE=70°.因为 AD⊥CP，所以∠CAD =90°-∠ACD=20°.
（3）120
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：(1)在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，所以∠A = 60°. 因为 CD ⊥AB，所以∠ADC=90°，所以.
故答案为：30.
(3)因为∠ADP 是△ACD 的一个外角，所以∠ADP=∠ACD+∠CAD=60°，同理，∠BEP=∠BCE+∠CBE=60°，所以∠CAD+∠CBE+∠ACB=∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE=(∠CAD+∠ACD)+(∠CBE+∠BCE)= 120°.
故答案为：120.
【分析】(1)利用直角三角形的性质依次求出. 即可；
(2)利用直角三角形的性质直接计算得出即可；
(3)利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论.
23．【答案】（1）16°
（2）30°或40°
（3）解：分两种情况讨论：①当∠BAE与∠B互为“开心角”时，∠BAE 或∠BAE=2∠B.
∵AD平分∠BAC，CD平分∠BCF，
∴∠BAC=2∠BAE，∠BCF=2∠BCD.
∵∠B+∠BAC=∠BCF，∠BCD=∠B+∠P，
∴∠B+2∠BAE=2(∠B+∠P)，即 或α+2×2α=2(α+30°)，
解得α=20℃第一个方程无解，即 不成立)；
②当∠AEB 与∠B 互为“开心角”时， 或∠AEB=2∠B，
即 或∠BAE=180°-3∠B.
同①可得 或α+2×(180°-3α)=2(α+30°)，解得α=75°或
综上所述，α的值为20°或75°或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解： (1) 若△ABC为开心三角形， ∠A=132°，
当∠A =2∠B时， ∠B = 66°，
此时∠A+∠B>180°， 舍去；
当∠A = 2∠C时， ∠C = 66°，
此时∠A+∠C>180°， 舍去；
∴∠B=2∠C或∠C=2∠B，
设这个三角形中最小的内角为α，
则α+2α= 180°-132°= 48°，
∴α=16°，
故答案为：16；
(2)若△ABC为开心三角形， ∠A = 60°，
当∠A是开心角时，最小的内角为30°；
当∠A不是开心角时，
设这个三角形中最小的内角为α，
则α+2α= 180°-60°=120°，
∴α=40°；
故答案为： 30°或40.
【分析】(1)先判断∠A不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-132°=48°，即可求出这个三角形中最小的内角的度数；
(2)分两种情况讨论：当∠A是开心角时，最小的内角为30°；当∠A不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-60°=120°；从而求出这个三角形中最小的内角的度数.
(3)分为∠BAE与∠B互为“开心角”或∠AEB 与∠B 互为“开心角”两种情况，根据角平分线的定义，三角形的外角性质列方程求出α的值解答即可.
24．【答案】（1）解：∵∠C=75°，∠B=35°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=70°.
∵ AE 平分∠BAC，
又∵AD⊥BC，
∴ ∠DAC= 90° - ∠C = 15°，
∴ ∠EAD =∠EAC-∠DAC=20°.
（2）解：成立.
理由如下：∵ AE 平分∠BAC，
（3）解：
如图，过A作AG⊥BC 于 G.
由 (2) 知，
90°.
∵ FD⊥BC，
∴∠FDG=90°，
∴ ∠AGC=∠FDG，
∴FD∥AG，
∴∠EFD=∠EAG，
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】⑴根据三角形内角和定理得∠BAC的度数，再根据角平分线定义得∠EAC的度数，最后根据直角三角形两锐角互余得 ∠EAD的度数 .
⑵根据三角形内角和定理、角平分线定义及直角三角形两锐角互余推理可得.
⑶借助（2）的结论，结合平行线性质得∠EFD=∠EAG，从而得到.
25．【答案】（1）解：①是；
②因为∠B=72°，△BPC 是“倍角三角形”，所以△BCP 三个内角的度数分别是 72°，72°， 36°， 所以 ∠BCP = 36°或 72°， 所以∠ACP=54°或18°.
（2）解：△ABC 是“倍角三角形”时，有两种情况，即△ABC是含有45°角的直角三角形或含有60°角的直角三角形，
如图(1)，当∠A=∠B=45°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=45°.
如图(2)，当∠A=60°，CP⊥AB 时，满足条件，此时∠BCP=60°.
如图(3)，当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条件，此时∠BCP=50°.
如图(4)，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条件，此时∠BCP=40°.
如图(5)，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时∠BCP=30°.
综上所述，满足条件的∠BCP 的度数为30°或40°或45°或50°或60°
【知识点】三角形相关概念；三角形的分类
【解析】【解答】解：(1)①因为∠ACB=90°，∠B=72°，所以.因为∠CPB=54°，所以∠CPA=126°，所以∠ACP=36°，所以∠ACP=2∠A，所以△ACP 是“倍角三角形”.
故答案为：是.
【分析】(1)①求出△APC中各个内角的度数，即可判断；
②由∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”，推出△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，由此可求出∠ACP的度数；
(2)△ABC是“倍角三 角形”时，有两种情况：①含45°角的直角三角形；②含60°角的直角三角形，再分类讨论解决.
26．【答案】（1）解：∵直线，∴，，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
（2）解：的度数不变，求解过程如下：∵直线，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：∵直线，∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
①当时，则，符合题意，
∴，
∴，
∴；
②当时，则，
∴，不符合题意，舍去；
③当时，
∵，
∴，不符合题意，舍去；
④当时，
∵，
∴，符合题意，
∴，
∴，
∴，
综上，的度数为或．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）根据垂直定义和三角形的内角和定理先求出，再由角平分线的定义可得，，最后根据三角形的内角和定理即可解答；
（2）先根据垂直的定义可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的外角性质求解即可得；（3）先根据垂直的定义和角平分线的定义，说明，，再根据题意分四种情况：①，②，③和④，分别求出的度数，再根据三角形外角的性质和角平分线的定义即可解答．
（1）解：∵直线，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
（2）解：的度数不变，求解过程如下：
∵直线，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：∵直线，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
①当时，则，符合题意，
∴，
∴，
∴；
②当时，则，
∴，不符合题意，舍去；
③当时，
∵，
∴，不符合题意，舍去；
④当时，
∵，
∴，符合题意，
∴，
∴，
∴，
综上，的度数为或．
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