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湖南省永州市冷水滩区京华中学2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题
1．如图所示是某用户微信账单截图，其中“”表示的意思是（　　）
A．购物支出11元 B．收到退款11元
C．抢到红包11元 D．经营收入11元
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，表示的意思是购物支出11元．
故选：A．
【分析】
根据相反意义的量用正数表示收到，则负数表示支出，即可解答．
2．神舟十八号载人飞船在浩渺星河泛舟 192 天后，其返回舱于 2024 年 11 月 4 日凌晨划过夜幕，成功抵达东风着陆场，55 种总重约 34600 克的第七批空间科学实验样品也随之顺利返回，数据 34600 用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵根据科学记数法的表示形式：，其中，为整数，
∴.
故选：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式：，其中，为整数，进行表示即可．
3．由8个大小相同的正方体搭成的立体图形如图所示，从上面看这个立体图形，得到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面观察这个立体图形，得到的平面图形是：
故选：．
【分析】
准确判断立体图形中每一列、每一行正方体的分布情况，从而确定俯视图的形状即可.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原选项计算错误，不符合题意；
B.，原选项计算错误，不符合题意；
C.，原选项计算错误，不符合题意；
D.，计算正确，符合题意；
故选：D.
【分析】
根据同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方分别计算出各选项即可判断．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、原式=，故本选项符合题意；
B、， 故本选项不符合题意；
C、， 故本选项不符合题意；
D、， 故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据二次根式的乘除、加减法则逐一验证各选项的正确性．
6．下列命题的逆命题中，真命题的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．关于某一条直线对称的两个三角形全等
D．对顶角相等
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题；逆命题；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：A、全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题，故A选项不符合题意；
B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，逆命题是一个三角形一边的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故B选项符合题意；
C、关于某一条直线对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某一条直线对称，是假命题，故C选项不符合题意；
D、对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故D选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
分别根据全等三角形的判定、直角三角形的判定、轴对称、对顶角相等来判断各个选项的命题真假即可．
7．下列说法正确的是（　　）
A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C．一组数据的中位数可能有两个
D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；事件的分类；中位数
【解析】【解答】解：A、为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故该选项不正确，不符合题意；
B、“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；
C、一组数据的中位数只有1个，故该选项不正确，不符合题意；
D、为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】扇形统计图表示的是部分占总体的百分比，条形统计图反映的是具体的数据，折线统计图反映的是变化情况，据此判断A；在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，不可能事件与必然事件叫做确定事件；而煮熟的鸭子是不会飞的，据此判断B；将一组数据按从小到大或从大到小排列后，如果这组数据的个数是奇数个，则最中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数个，则最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此可判断C；抽样调查与普查：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此可判断D.
8．如图，是的直径，是半径，点D是上的点，连接，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠BOC，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
9．如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴当的值最小时，取得最大值，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
此时，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
【分析】在中利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，从而求出EF的长度，则当的值最小时，取得最大值，然后根据垂线段最短可得当时，CF的值最小，最后利用三角形的面积公式可求出的最小值，由此即可得．
10．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【知识点】探索规律-点的坐标规律；探索规律-函数上点的规律；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故选：D．
【分析】
观察点的坐标特征，由于点A1和A19的横坐标和的2倍恰好是2，即这两点关于点中心对称 ，则其纵坐标的和为0，即y1+y19=0，同理有：y2+y18=0、y3+y17=0、y4+y16=0、y9+y11=0，即所求代数式可转化为y10+y20，再由函数图象上点的坐标特征知、，则由中心对称的性质可得，即原式的值等于1．
11．因式分解：　 　．
【答案】x（y+1）（y－1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：先提取公因式，再用平方差公式的逆应用，得：
，
故答案为：．
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式因式分解即可。
12．分式方程的解是 　 　.
【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】方程的两边同乘x（x+3），得
2（x+3）=5x，
解得x=2．
检验：把x=2代入x（x+3）=10≠0，即x=2是原分式方程的解．
故原方程的解为：x=2．
故答案为：x=2．
【分析】观察可得最简公分母是x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
13．“四大发明”是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明，如图，这是小东同学收集到的中国古代四大发明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．从这四张卡片中随机抽取两张，抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：印刷术、造纸术、火药和指南针分别用A、B、C、D表示，
共有12种等可能结果，其中恰好是“造纸术”和“印刷术”的有2种，
∴抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率是2÷12=．
故答案为：．
【分析】先画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
14．平面内有公共端点的三条射线，，，若构成的角，，则的度数是　 　．
【答案】或
【知识点】角的运算；分类讨论
【解析】【解答】解：①当射线在射线内部时，
∵，，
∴；
②当射线在射线内部时，
∵，，
∴；
综上所述，的度数是或，
故答案为：或.
【分析】分两种情况讨论：①当射线在射线内部时，②当射线在射线内部时，根据角的和差关系进行求解即可.
15．关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
方程是一元二次方程，
的范围是：且，
故答案为：且．
【分析】
需先根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再由方程有两个实数根得出判别式大于等于0，联立求解a的取值范围．
16．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积的反比例函数，其图象如图所示．当时，该物体所受到的压强为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
把代入得，
∴，
∴，
当时，，
∴当时，该物体所受到的压强为，
故答案为：．
【分析】
首先根据题意设出反比例函数的一般式，然后从图象中提取已知点代入求出系数k，最后将给定的自变量S的值代入解析式计算函数值p即可．
17．如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为　 　．
【答案】解：如图，过作于，由题意得：，，∵，∴，∵，∴，在Rt△AFQ中，∠AFQ=90°，∴，∴，∴，∴到的距离为；
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】由题意得可知，两个作图过程分别为：做∠MAN的角平分线、做线段AB的垂直平分线，故过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案.
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，
在中，
故答案为：或．
【分析】分类讨论：先分别画出图形，再利用线段的和差求出DQ的长，最后利用勾股定理求出AQ的长即可.
19．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别根据负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值及绝对值的性质计算，然后在相加减得出答案．
20．先化简，再求值：，其中
【答案】解：
，
当时
原式．
【知识点】二次根式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将除法转化为乘法，再利用乘法的分配律，最后将a的值代入计算即可．
21．2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八 87 a 98
九 87 86 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________．
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．
【答案】（1）84，100，；
（2）解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；
根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；
∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人），
答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：∵一共抽取八年级学生15人，
∴中位数是排序后的第8个数据，
∵1+5=6，
∴第8个数据落在C组，
∴a第八名学生成绩，即；
∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多，
∴，
∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，80分及以上的有12个，
∴；
故答案为：84，100，；
【分析】（1）根据中位数的定义得出a为排序后第八名学生的成绩；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的分数，即可求出b；用抽取的九年级学生的竞赛成绩中80分以上的个数除以15，即可求出c；
（2）用500人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中90分以上的人数所占百分比，即可求解．
22．如图，在矩形中，点E在BC边上，且，过点A作交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形
（2）解：四边形是矩形，
，
由（1）已证：四边形是菱形，
，
设，
，
，
在中，，即，
解得，
即的长为
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，先证明是平行四边形，然后根据一组邻边相等得到菱形即可；
（2）利用矩形的性质得到，菱形的性质得到，设，再在中根据勾股定理求出x值即可．
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是矩形，
，
由（1）已证：四边形是菱形，
，
设，
，
，
在中，，即，
解得，
即的长为．
23．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
【答案】（1）解：设篮球、足球的单价各是x元、y元，
根据题意，得，
解得：，
∴篮球、足球的单价各是110元、80元；
（2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=34时，最省钱，
∴100-m=100-34=66（个），
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）篮球、足球的单价各是x元、y元，然后根据“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，根据“ 购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半 ”列出关于m的不等式组，解不等式组得m的取值范围，然后根据题意求出w关于m的一次函数关系式，最后根据一次函数的性质进行求解.
24．图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
（1）__________，__________；
（2）求点到道路的距离；
（3）若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，）
【答案】（1），
（2）过点作，垂足为．
在中，，，
．
在中，，
．
答：点到道路的距离为2.0千米．
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为．
正八边形的外角均为，
在中，．
．
又，，
．
∵，
∴，
，即，
，
．
答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．

【知识点】多边形内角与外角；相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】
（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：，
∴，；
故答案为：；
【分析】
（1）根据正八边形内角和公式求出内角，再结合方向角求出角度即可；
（2）通过在直角三角形中利用三角函数求出线段的长度，进而得到点到直线的距离；
（3）通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解即可．
（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：，
∴，；
故答案为：；
（2）过点作，垂足为．
在中，，，
．
在中，，
．
答：点到道路的距离为2.0千米．
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为．
正八边形的外角均为，
在中，．
．
又，，
．
∵，
∴，
，即，
，
．
答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C在y轴正半轴，且，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线上方抛物线上一动点；
①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）；
②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
，
在的正半轴，
，
，
将点坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
∴；
（2）解：①设直线的表达式为：，
将点坐标代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
的横坐标为，
，
令抛物线，得：，
解得：，，
，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入直线的表达式得：，
，
直线的表达式：，
联立直线和的表达式：
，
解得：，
，
和等高，
；
②存在，
延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图：
，
，
，
，
又，
，
，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入表达式得：，
，
直线的表达式为：，
联立直线和抛物线解析式得：，
解得：，，
．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；已知正切值求边长；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求出点坐标，结合A点坐标，使用待定系数法求解即可；
（2）①将面积比转化为线段比（DE：BE），利用平行线分线段成比例定理（或相似三角形性质），通过计算点D、E、B的横坐标差值之比来求解；
②利用三角形外角性质构造等腰三角形，确定直线CD与x轴交点F的位置，进而求出直线CD的解析式，联立抛物线方程求解点D即可．
26．定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”
已知在中，，，．
（1）如图1，点在边上，过点且与相切于点，则是的一个“切接圆”，求该圆的的半径；
（2）过点的的“切接圆”中，是否存在面积的最小值，若存在请求出最小值，若不存在请说明理由；
（3）如图2，把放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点落在轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”．
【答案】（1）解：连接，
，
设，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；

（2）解：存在，当是的直径时，的半径最小，最小值为，此时面积也最小，为；
（3）证明：设抛物线上任意一点为，
∴，
设到轴的距离为，
由题意得：，
∴
，
∴以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”
【知识点】切线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与函数的综合
【解析】【分析】（1）利用切线的性质得到垂直关系，进而证明三角形相似，通过相似比建立方程求解半径；
（2）根据“切接圆”的定义，设出圆心和半径，利用勾股定理建立半径与圆心的位置关系，利用非负性求最小值；
（3）设抛物线上任意一点的坐标，利用两点间距离公式计算圆心到点A的距离，并与圆心到x轴的距离进行比较，验证是否相等即可．
1 / 1湖南省永州市冷水滩区京华中学2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题
1．如图所示是某用户微信账单截图，其中“”表示的意思是（　　）
A．购物支出11元 B．收到退款11元
C．抢到红包11元 D．经营收入11元
2．神舟十八号载人飞船在浩渺星河泛舟 192 天后，其返回舱于 2024 年 11 月 4 日凌晨划过夜幕，成功抵达东风着陆场，55 种总重约 34600 克的第七批空间科学实验样品也随之顺利返回，数据 34600 用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．由8个大小相同的正方体搭成的立体图形如图所示，从上面看这个立体图形，得到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列命题的逆命题中，真命题的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．关于某一条直线对称的两个三角形全等
D．对顶角相等
7．下列说法正确的是（　　）
A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C．一组数据的中位数可能有两个
D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式
8．如图，是的直径，是半径，点D是上的点，连接，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（　　）
A． B． C．0 D．1
11．因式分解：　 　．
12．分式方程的解是 　 　.
13．“四大发明”是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明，如图，这是小东同学收集到的中国古代四大发明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．从这四张卡片中随机抽取两张，抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率为　 　．
14．平面内有公共端点的三条射线，，，若构成的角，，则的度数是　 　．
15．关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是　 　．
16．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积的反比例函数，其图象如图所示．当时，该物体所受到的压强为　 　．
17．如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为　 　．
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中
21．2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八 87 a 98
九 87 86 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________．
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．
22．如图，在矩形中，点E在BC边上，且，过点A作交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
23．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
24．图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
（1）__________，__________；
（2）求点到道路的距离；
（3）若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，）
25．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C在y轴正半轴，且，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线上方抛物线上一动点；
①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）；
②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”
已知在中，，，．
（1）如图1，点在边上，过点且与相切于点，则是的一个“切接圆”，求该圆的的半径；
（2）过点的的“切接圆”中，是否存在面积的最小值，若存在请求出最小值，若不存在请说明理由；
（3）如图2，把放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点落在轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，表示的意思是购物支出11元．
故选：A．
【分析】
根据相反意义的量用正数表示收到，则负数表示支出，即可解答．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵根据科学记数法的表示形式：，其中，为整数，
∴.
故选：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式：，其中，为整数，进行表示即可．
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面观察这个立体图形，得到的平面图形是：
故选：．
【分析】
准确判断立体图形中每一列、每一行正方体的分布情况，从而确定俯视图的形状即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原选项计算错误，不符合题意；
B.，原选项计算错误，不符合题意；
C.，原选项计算错误，不符合题意；
D.，计算正确，符合题意；
故选：D.
【分析】
根据同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方分别计算出各选项即可判断．
5．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、原式=，故本选项符合题意；
B、， 故本选项不符合题意；
C、， 故本选项不符合题意；
D、， 故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据二次根式的乘除、加减法则逐一验证各选项的正确性．
6．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题；逆命题；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：A、全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题，故A选项不符合题意；
B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，逆命题是一个三角形一边的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故B选项符合题意；
C、关于某一条直线对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某一条直线对称，是假命题，故C选项不符合题意；
D、对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故D选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
分别根据全等三角形的判定、直角三角形的判定、轴对称、对顶角相等来判断各个选项的命题真假即可．
7．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；事件的分类；中位数
【解析】【解答】解：A、为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故该选项不正确，不符合题意；
B、“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；
C、一组数据的中位数只有1个，故该选项不正确，不符合题意；
D、为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】扇形统计图表示的是部分占总体的百分比，条形统计图反映的是具体的数据，折线统计图反映的是变化情况，据此判断A；在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，不可能事件与必然事件叫做确定事件；而煮熟的鸭子是不会飞的，据此判断B；将一组数据按从小到大或从大到小排列后，如果这组数据的个数是奇数个，则最中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数个，则最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此可判断C；抽样调查与普查：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此可判断D.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠BOC，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴当的值最小时，取得最大值，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
此时，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
【分析】在中利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，从而求出EF的长度，则当的值最小时，取得最大值，然后根据垂线段最短可得当时，CF的值最小，最后利用三角形的面积公式可求出的最小值，由此即可得．
10．【答案】D
【知识点】探索规律-点的坐标规律；探索规律-函数上点的规律；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故选：D．
【分析】
观察点的坐标特征，由于点A1和A19的横坐标和的2倍恰好是2，即这两点关于点中心对称 ，则其纵坐标的和为0，即y1+y19=0，同理有：y2+y18=0、y3+y17=0、y4+y16=0、y9+y11=0，即所求代数式可转化为y10+y20，再由函数图象上点的坐标特征知、，则由中心对称的性质可得，即原式的值等于1．
11．【答案】x（y+1）（y－1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：先提取公因式，再用平方差公式的逆应用，得：
，
故答案为：．
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式因式分解即可。
12．【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】方程的两边同乘x（x+3），得
2（x+3）=5x，
解得x=2．
检验：把x=2代入x（x+3）=10≠0，即x=2是原分式方程的解．
故原方程的解为：x=2．
故答案为：x=2．
【分析】观察可得最简公分母是x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：印刷术、造纸术、火药和指南针分别用A、B、C、D表示，
共有12种等可能结果，其中恰好是“造纸术”和“印刷术”的有2种，
∴抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率是2÷12=．
故答案为：．
【分析】先画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
14．【答案】或
【知识点】角的运算；分类讨论
【解析】【解答】解：①当射线在射线内部时，
∵，，
∴；
②当射线在射线内部时，
∵，，
∴；
综上所述，的度数是或，
故答案为：或.
【分析】分两种情况讨论：①当射线在射线内部时，②当射线在射线内部时，根据角的和差关系进行求解即可.
15．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
方程是一元二次方程，
的范围是：且，
故答案为：且．
【分析】
需先根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再由方程有两个实数根得出判别式大于等于0，联立求解a的取值范围．
16．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
把代入得，
∴，
∴，
当时，，
∴当时，该物体所受到的压强为，
故答案为：．
【分析】
首先根据题意设出反比例函数的一般式，然后从图象中提取已知点代入求出系数k，最后将给定的自变量S的值代入解析式计算函数值p即可．
17．【答案】解：如图，过作于，由题意得：，，∵，∴，∵，∴，在Rt△AFQ中，∠AFQ=90°，∴，∴，∴，∴到的距离为；
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】由题意得可知，两个作图过程分别为：做∠MAN的角平分线、做线段AB的垂直平分线，故过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案.
18．【答案】或
【知识点】勾股定理；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，
在中，
故答案为：或．
【分析】分类讨论：先分别画出图形，再利用线段的和差求出DQ的长，最后利用勾股定理求出AQ的长即可.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别根据负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值及绝对值的性质计算，然后在相加减得出答案．
20．【答案】解：
，
当时
原式．
【知识点】二次根式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将除法转化为乘法，再利用乘法的分配律，最后将a的值代入计算即可．
21．【答案】（1）84，100，；
（2）解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；
根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；
∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人），
答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：∵一共抽取八年级学生15人，
∴中位数是排序后的第8个数据，
∵1+5=6，
∴第8个数据落在C组，
∴a第八名学生成绩，即；
∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多，
∴，
∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，80分及以上的有12个，
∴；
故答案为：84，100，；
【分析】（1）根据中位数的定义得出a为排序后第八名学生的成绩；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的分数，即可求出b；用抽取的九年级学生的竞赛成绩中80分以上的个数除以15，即可求出c；
（2）用500人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中90分以上的人数所占百分比，即可求解．
22．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形
（2）解：四边形是矩形，
，
由（1）已证：四边形是菱形，
，
设，
，
，
在中，，即，
解得，
即的长为
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，先证明是平行四边形，然后根据一组邻边相等得到菱形即可；
（2）利用矩形的性质得到，菱形的性质得到，设，再在中根据勾股定理求出x值即可．
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是矩形，
，
由（1）已证：四边形是菱形，
，
设，
，
，
在中，，即，
解得，
即的长为．
23．【答案】（1）解：设篮球、足球的单价各是x元、y元，
根据题意，得，
解得：，
∴篮球、足球的单价各是110元、80元；
（2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=34时，最省钱，
∴100-m=100-34=66（个），
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）篮球、足球的单价各是x元、y元，然后根据“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，根据“ 购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半 ”列出关于m的不等式组，解不等式组得m的取值范围，然后根据题意求出w关于m的一次函数关系式，最后根据一次函数的性质进行求解.
24．【答案】（1），
（2）过点作，垂足为．
在中，，，
．
在中，，
．
答：点到道路的距离为2.0千米．
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为．
正八边形的外角均为，
在中，．
．
又，，
．
∵，
∴，
，即，
，
．
答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．

【知识点】多边形内角与外角；相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】
（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：，
∴，；
故答案为：；
【分析】
（1）根据正八边形内角和公式求出内角，再结合方向角求出角度即可；
（2）通过在直角三角形中利用三角函数求出线段的长度，进而得到点到直线的距离；
（3）通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解即可．
（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：，
∴，；
故答案为：；
（2）过点作，垂足为．
在中，，，
．
在中，，
．
答：点到道路的距离为2.0千米．
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为．
正八边形的外角均为，
在中，．
．
又，，
．
∵，
∴，
，即，
，
．
答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
25．【答案】（1）解：，
，
，
，
在的正半轴，
，
，
将点坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
∴；
（2）解：①设直线的表达式为：，
将点坐标代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
的横坐标为，
，
令抛物线，得：，
解得：，，
，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入直线的表达式得：，
，
直线的表达式：，
联立直线和的表达式：
，
解得：，
，
和等高，
；
②存在，
延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图：
，
，
，
，
又，
，
，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入表达式得：，
，
直线的表达式为：，
联立直线和抛物线解析式得：，
解得：，，
．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；已知正切值求边长；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求出点坐标，结合A点坐标，使用待定系数法求解即可；
（2）①将面积比转化为线段比（DE：BE），利用平行线分线段成比例定理（或相似三角形性质），通过计算点D、E、B的横坐标差值之比来求解；
②利用三角形外角性质构造等腰三角形，确定直线CD与x轴交点F的位置，进而求出直线CD的解析式，联立抛物线方程求解点D即可．
26．【答案】（1）解：连接，
，
设，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；

（2）解：存在，当是的直径时，的半径最小，最小值为，此时面积也最小，为；
（3）证明：设抛物线上任意一点为，
∴，
设到轴的距离为，
由题意得：，
∴
，
∴以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”
【知识点】切线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与函数的综合
【解析】【分析】（1）利用切线的性质得到垂直关系，进而证明三角形相似，通过相似比建立方程求解半径；
（2）根据“切接圆”的定义，设出圆心和半径，利用勾股定理建立半径与圆心的位置关系，利用非负性求最小值；
（3）设抛物线上任意一点的坐标，利用两点间距离公式计算圆心到点A的距离，并与圆心到x轴的距离进行比较，验证是否相等即可．
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