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吉林长春市十一高中2025-2026学年度高二下学期第一学程考试
数学试卷
一、单选题
1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值.
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（ ）
A． B． C． D．
3．十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ）
（参考数据：）
A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021
4．现有10个样本数据，，…，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．已知等差数列的前n项和为，且，，给出以下结论：①数列是递减数列；②；③；④当时，取得最大值.其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在平面直角坐标系中，已知点，若直线上存在点使得，则的取值可能为（ ）
A． B．0 C． D．1
7．为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
8．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题成立的是（ ）
A．已知，若，则
B．若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3
D．对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小
10．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A． B．
C．展开式的各项系数和为 D．
11．小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且，事件:吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子，事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．展开式中的常数项为__________.（用数字作答）
13．三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______.
14．从1，2，3，4，5这5个数中随机抽一个数记为，再从1，2，…，中随机抽一个数记为，则为________．
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
16．某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
(1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线；
(2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列；
(3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率.
［参考数据：；若，则，，］
17．某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立．
(1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率；
(2)从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望．
18．已知椭圆的左右焦点间的距离为2，椭圆C的左顶点到左焦点的距离为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，斜率存在且不为0的直线l与C相交于点A，B（A在B的左侧），设直线的斜率分别为且
①求证：直线l过定点；
②设直线相交于点M，求证：为定值.
19．口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案：
游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为；
游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立.
(1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率；
(2)求；
(3)对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高.
参考答案
1．B
2．B
3．D
4．A
5．D
6．D
7．A
8．A
9．AB
10．ABD
11．ACD
12．
13．
14．
15．（1）∵为等差数列，，
∴.
化简得，又∵，∴.
当时，，求得，
公差.
数列的通项公式为
（2）由第一问可知，
则，，
因此数列是首项为3，公比为9的等比数列，
.
16．（1）由频率分布直方图易知，，
解得，
由图知的频率为0.04，的频率为，
的频率为0.54，
∴获奖学生最低分数线落在内，不妨设为x，
则，解得，
∴估计获奖学生的最低分数线为76分.
（2）由图可知，与的频率之比是，
根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取4人，在内抽取1人.
则X的可能取值为0，1，2，
易知，，，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
（3）易知平均值为，
即可得，
∴.
17．（1）设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意，
则由题意可知：，
所以；
（2）易知可能取值，则，
，，
即的分布列如下：
0 1 2
P
期望为.
18．（1）因为焦距为2，所以，
又左顶点到左焦点的距离为1，所以，所以，
故椭圆方程为；
（2）①设直线方程为，
与椭圆联立，消去得，
则即.
设，由韦达定理得：；
直线的斜率，直线的斜率，
因此，
，
即，整理得，
所以，故直线过定点.
②直线的方程，因为，
故直线可写为，即，
直线过和，其方程为，
联立直线与的方程，消去后解得，即；
同理，，由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故，
所以
19．（1）对于游戏一，设“第二次摸到白球”，则；
对于游戏二，设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则；
（2）对于游戏一，的可能取值为0，1，2，的分布列为：
，，，
对于游戏二，的可能取值为0，1，2，的分布列为：
，，，
因为游戏一与游戏二的结果相互独立，
所以
；
（3）由（2）知，
；
同理
.
因为，
所以，故游戏一的“不确定性”更高.

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