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吉林长春市实验中学2025-2026学年下学期第一学程考试高一
数学试卷
一、单选题
1．设复数，则的虚部为（ ）
A．4 B．-4 C．4i D．-4i
2．已知，且∥，则实数（ ）
A． B．1 C． D．4
3．在三角形中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．设，，且，则
A． B．4 C．5 D．
5．在△ABC中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
7．已知向量，若在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数z满足，则（ ）
A．为纯虚数 B．对应的点在第四象限
C． D．和是方程的两个根
10．下列说法中正确的是（ ）．
A．若．则有两组解
B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．若满足，则与的夹角为
D．在中，若
11．如图，已知正方形的边长为2，动点在以为直径的半圆弧上（正方形内部，含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．若，则的最大值为
D．若为图中半圆内（含边界）的动点，则的取值范围为
三、填空题
12．若，则________
13．已知向量，，若，则向量，的夹角的余弦值为______.
14．已知不平行的两个向量 满足 . 若对任意的 ，都有 成立， 则 的最小值等于_____.
四、解答题
15．已知复数．
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围．
16．已知平行四边形的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、.
(1)求顶点D的坐标；
(2)求平行四边形ABCD的面积.
17．在中，角的对边分别为，若，，.
(1)求边和角；
(2)求的面积.
18．在中，.
(1)求的值；
(2)若，求周长的最小值；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19．如图所示，在△中，，，，，.
(1)用、表示；
(2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
(3)若是△内一点，且满足（），求的最小值.
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．C
5．A
6．D
7．A
8．C
9．BC
10．ACD
11．ACD
12．
13．/
14．2
15．（1）因为复数为纯虚数，所以，
解的
解得，；
（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以
解之得
得．
所以实数的取值范围为．
16．（1）因为四边形是平行四边形，
所以对角线互相平分，
对角线的中点为，即，
设，显然也是对角线的中点，
所以有，因此顶点D的坐标为；
（2）因为，
所以，
因此，
所以，
所以平行四边形ABCD的面积为.
17．（1）因为中，，，，由正弦定理得，
又因为，所以或.
当时，，
，
由正弦定理；
当时，，
，
由正弦定理；
所以或.
（2）由（1）知或.
当时，，所以三角形面积；
当时，，所以三角形面积；
所以或.
18．（1）因为在三角形中，由射影定理代入，
得，即，因为，所以.
（2）在三角形中，由（1）知，
由余弦定理得，
又因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立，
所以，即，所以周长.
因此周长的最小值为.
（3）因为是锐角三角形，由（1）知，且，得，，
所以，解得.
又由正弦定理得，所以，
，
因为，所以，因此.
所以面积.
19．（1），
（2）设，
，
，
，，
解得，
∴存在点，使得
（3），
∴，
，
，
，
，，三点共线，
，
当且仅当时，即为中点时等号成立，
而，
所以的最小值为.

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