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广西壮族自治区梧州市藤县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（请将所选答案的字母代号用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题3分，共36分）
1．下列式子有意义的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．估算的结果在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．下列方程中一定是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
5．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（　　）．
A． B． C． D．
6．以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
7．如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．若，是方程的两个实数根，则可以分解为（　　）
A． B． C． D．
9．下列式子一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10． 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
11．已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
12．如图，在中，，，，于，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．某市实施科技强市的战略，为加强科技基础研究能力，逐步加大了对科研经费的投入，2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为　 　．
14．若最简二次根式与可以合并，则　 　．
15．如图，已知，则数轴上点所表示的数是　 　．
16．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．计算：．
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
20．如图，在四边形中，．
（1）求证：
（2）求四边形的面积．
21．实践与探究：
如图，在网格中，点和直线的位置如图所示（每个小正方形的边长为1个单位长度），将点向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点．
（1）线段的长度是_____；
（2）以直线所在直线为轴，过点且与直线垂直的直线为轴，建立直角坐标系．请在图中画出直角坐标系，并解答下列问题：
①分别写出点，点的坐标；
②在轴上取一点，连接、、，若，且是以为斜边的直角三角形．求点的坐标．
22．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出与的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元
（3）在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能否获得元的利润 若能，求出定价：若不能，请说明理由．
23．如图，由两个全等的和构成的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m，，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程．
（1）直接写出一个勾股方程；
（2）若勾股方程有两个相等的实数根，求的值；
（3）若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是6，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则 A项无意义， A项错误；
B： 无意义， B项错误；
C： 有意义，C项正确；
D：无意义，D项错误；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，对各选项进行判断；
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数中不含分母或分母不能带根号的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断即可解答．
3．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
因为大于6小于7，则大于3小于4；
故答案为：C
【分析】先根据二次根式的运算法则计算出的结果为，再确定的范围：大于6小于7，则则大于3小于4。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、不是整式方程，故错误．
C、方程二次项系数可能为，故错误；
D、方程含有两个未知数，故错误；
故选：A．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得：
两边同时加4得：
整理得：.
故答案为：B.
【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤可知，先移项，再给等式两边都加上一次项系数一半的平分，在把方程化为即可.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，
∴，，不能构成直角三角形，不符合题意；
B．∵，
∴，
∴，，不能构成直角三角形，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴，，不能构成直角三角形，不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，，能构成直角三角形，符合题意；
故选：D．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
，
为中点，且交于点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】如图，连接，
由， ，得，，由线段垂直平分线的判定与性质，得=2，根据三角形内角和定理，得，，由勾股定理得，则AC=2+．
8．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系可得：，．
∴
因此．
故选：B．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得a，b值，再根据十字相乘法进行因式分解即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项不正确，不符合题意；
D．，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式性质逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设主干长出的枝干数为 x ，每个枝干长出的小分支数也为 x 。
根据题意，得 x + x2= 56
解得x = 7 （舍去负根 x = 8）
故答案为：7
【分析】解：设主干长出的枝干数为 x ，每个枝干长出的小分支数也为 x 。
“枝干和小分支的总数等于56”为 x + x2=56，解得x=7。
11．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；整体思想
【解析】【解答】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，，
∴方程变形为：，
即或，
解得：或，
故选：D．
【分析】将x+2当成整体，将方程变形为：，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在中，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
的面积，
故选：B．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠BAD，再根据含30°角的直角三角形性质可得BD，再根据勾股定理可得AD，CD，根据边之间的关系可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意列方程为
故答案为：
【分析】根据题意结合百分率公式变化a为基础量，x为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量，则a(1+x)2=b，列方程为。
14．【答案】1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】根据同类二次根式定义即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
点在原点的右侧，
数轴上点所表示的数是，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得CD，AC，线段关系可得OB，再根据数轴上点的位置即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，
小虫沿着的路线爬行时路程最短．
在直角中，，
∴
∴最短路线长为cm.
故答案为：．
【分析】作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，则AQ=AQ'，
两点之间线段最短，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理得．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算即可求出答案.
18．【答案】（1）解答】解（1）
提取公因式x，得
则x=0或x-2=0.
解得x1=0，x2=2
（2）解：中，a=2，b=3，c=-1，
，
代入求根公式得：，
即：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)方程左边可提取公因式x，转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，直接求解.
（2）方程无法直接因式分解，需使用求根公式，先计算判别式△ =b2-4ac，再代入公式求解.
19．【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，再整体代入方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
20．【答案】（1）解：如图，连接，
∵ ，
，
∵ ，即，
∴ ，
∴；
（2）解：四边形的面积=．
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接，在Rt三角形ABC中，根据勾股定理得=25，由勾股定理逆定理，满足，则这个三角形就是直角三角形，判定是直角三角形，则 ；
（2）由（1）知，三角形ABC与是直角三角形，利用割补法和的面积和等于四边形的面积．
（1）连接，
∵ ，
，
∵ ，即，
∴ ，
∴；
（2）解：四边形的面积=．
故面积为：234．
21．【答案】（1）
（2）解：建立直角坐标系如图所示，
①如图，；
②是以为斜边的直角三角形，点在轴上，，
，
，
解得或4，
或．
【知识点】点的坐标；勾股定理；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）如图1，点即为所求，，
故答案为：；
【分析】（1）根据平移性质作出点B，连接AB，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①根据题意建立直角三角形，再根据点的坐标即可求出答案.
②根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）如图1，点即为所求，，
故答案为：；
（2）建立直角坐标系如图所示，
①如图，；
②是以为斜边的直角三角形，点在轴上，，
，
，
解得或4，
或．
22．【答案】（1）解：设与的函数关系式为，
由图可知，函数图象经过点和，
，
解得：，
与的函数关系式为；
（2）解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元，
根据题意得，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
，
答：每双运动鞋的售价应该定为元；
（3）解：公司每天能获得元的利润，理由如下：
保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的，
，
解得：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（符合题意），
，
答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设与的函数关系式为，根据待定系数法将点和，代入解析式即可求出答案.
（2）由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设与的函数关系式为，
由图可知，函数图象经过点和，
，
解得：，
与的函数关系式为；
（2）解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元，
根据题意得，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
，
答：每双运动鞋的售价应该定为元；
（3）解：公司每天能获得元的利润，理由如下：
保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的，
，
解得：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（符合题意），
，
答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元．
23．【答案】（1）
（2）解：∵勾股方程有两个相等的实数根，∴．
∴
∵，
∴
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：∵是勾股方程的一个根，∴，
∴
∵四边形的周长是6，
∴．
∴
∵，
又∴，
∴．
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；实数的混合运算（含开方）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；数形结合
【解析】【解答】（1）解：设，，则．
∴是勾股方程．
【分析】（1）设，，则，写出一个符合条件的勾股方程；
（2）由一元二次方程根的判别式得，由勾股定理，得，， ；
（3）由已知得，，则，．
（1）解：设，，则．
∴是勾股方程．
（2）解：∵勾股方程有两个相等的实数根，
∴．
∴
∵，
∴
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：∵是勾股方程的一个根，
∴，
∴
∵四边形的周长是6，
∴．
∴
∵，
又∴，
∴．
∴．
1 / 1广西壮族自治区梧州市藤县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（请将所选答案的字母代号用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题3分，共36分）
1．下列式子有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则 A项无意义， A项错误；
B： 无意义， B项错误；
C： 有意义，C项正确；
D：无意义，D项错误；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，对各选项进行判断；
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数中不含分母或分母不能带根号的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断即可解答．
3．估算的结果在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
因为大于6小于7，则大于3小于4；
故答案为：C
【分析】先根据二次根式的运算法则计算出的结果为，再确定的范围：大于6小于7，则则大于3小于4。
4．下列方程中一定是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、不是整式方程，故错误．
C、方程二次项系数可能为，故错误；
D、方程含有两个未知数，故错误；
故选：A．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得：
两边同时加4得：
整理得：.
故答案为：B.
【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤可知，先移项，再给等式两边都加上一次项系数一半的平分，在把方程化为即可.
6．以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，
∴，，不能构成直角三角形，不符合题意；
B．∵，
∴，
∴，，不能构成直角三角形，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴，，不能构成直角三角形，不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，，能构成直角三角形，符合题意；
故选：D．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
7．如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
，
为中点，且交于点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】如图，连接，
由， ，得，，由线段垂直平分线的判定与性质，得=2，根据三角形内角和定理，得，，由勾股定理得，则AC=2+．
8．若，是方程的两个实数根，则可以分解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系可得：，．
∴
因此．
故选：B．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得a，b值，再根据十字相乘法进行因式分解即可求出答案.
9．下列式子一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项不正确，不符合题意；
D．，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式性质逐项进行判断即可求出答案.
10． 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设主干长出的枝干数为 x ，每个枝干长出的小分支数也为 x 。
根据题意，得 x + x2= 56
解得x = 7 （舍去负根 x = 8）
故答案为：7
【分析】解：设主干长出的枝干数为 x ，每个枝干长出的小分支数也为 x 。
“枝干和小分支的总数等于56”为 x + x2=56，解得x=7。
11．已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；整体思想
【解析】【解答】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，，
∴方程变形为：，
即或，
解得：或，
故选：D．
【分析】将x+2当成整体，将方程变形为：，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
12．如图，在中，，，，于，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在中，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
的面积，
故选：B．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠BAD，再根据含30°角的直角三角形性质可得BD，再根据勾股定理可得AD，CD，根据边之间的关系可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．某市实施科技强市的战略，为加强科技基础研究能力，逐步加大了对科研经费的投入，2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意列方程为
故答案为：
【分析】根据题意结合百分率公式变化a为基础量，x为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量，则a(1+x)2=b，列方程为。
14．若最简二次根式与可以合并，则　 　．
【答案】1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】根据同类二次根式定义即可求出答案.
15．如图，已知，则数轴上点所表示的数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
点在原点的右侧，
数轴上点所表示的数是，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得CD，AC，线段关系可得OB，再根据数轴上点的位置即可求出答案.
16．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，
小虫沿着的路线爬行时路程最短．
在直角中，，
∴
∴最短路线长为cm.
故答案为：．
【分析】作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，则AQ=AQ'，
两点之间线段最短，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理得．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算即可求出答案.
18．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解答】解（1）
提取公因式x，得
则x=0或x-2=0.
解得x1=0，x2=2
（2）解：中，a=2，b=3，c=-1，
，
代入求根公式得：，
即：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)方程左边可提取公因式x，转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，直接求解.
（2）方程无法直接因式分解，需使用求根公式，先计算判别式△ =b2-4ac，再代入公式求解.
19．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，再整体代入方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
20．如图，在四边形中，．
（1）求证：
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵ ，
，
∵ ，即，
∴ ，
∴；
（2）解：四边形的面积=．
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接，在Rt三角形ABC中，根据勾股定理得=25，由勾股定理逆定理，满足，则这个三角形就是直角三角形，判定是直角三角形，则 ；
（2）由（1）知，三角形ABC与是直角三角形，利用割补法和的面积和等于四边形的面积．
（1）连接，
∵ ，
，
∵ ，即，
∴ ，
∴；
（2）解：四边形的面积=．
故面积为：234．
21．实践与探究：
如图，在网格中，点和直线的位置如图所示（每个小正方形的边长为1个单位长度），将点向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点．
（1）线段的长度是_____；
（2）以直线所在直线为轴，过点且与直线垂直的直线为轴，建立直角坐标系．请在图中画出直角坐标系，并解答下列问题：
①分别写出点，点的坐标；
②在轴上取一点，连接、、，若，且是以为斜边的直角三角形．求点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：建立直角坐标系如图所示，
①如图，；
②是以为斜边的直角三角形，点在轴上，，
，
，
解得或4，
或．
【知识点】点的坐标；勾股定理；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）如图1，点即为所求，，
故答案为：；
【分析】（1）根据平移性质作出点B，连接AB，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①根据题意建立直角三角形，再根据点的坐标即可求出答案.
②根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）如图1，点即为所求，，
故答案为：；
（2）建立直角坐标系如图所示，
①如图，；
②是以为斜边的直角三角形，点在轴上，，
，
，
解得或4，
或．
22．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出与的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元
（3）在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能否获得元的利润 若能，求出定价：若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设与的函数关系式为，
由图可知，函数图象经过点和，
，
解得：，
与的函数关系式为；
（2）解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元，
根据题意得，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
，
答：每双运动鞋的售价应该定为元；
（3）解：公司每天能获得元的利润，理由如下：
保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的，
，
解得：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（符合题意），
，
答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设与的函数关系式为，根据待定系数法将点和，代入解析式即可求出答案.
（2）由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设与的函数关系式为，
由图可知，函数图象经过点和，
，
解得：，
与的函数关系式为；
（2）解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元，
根据题意得，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
，
答：每双运动鞋的售价应该定为元；
（3）解：公司每天能获得元的利润，理由如下：
保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的，
，
解得：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（符合题意），
，
答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元．
23．如图，由两个全等的和构成的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m，，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程．
（1）直接写出一个勾股方程；
（2）若勾股方程有两个相等的实数根，求的值；
（3）若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是6，求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）解：∵勾股方程有两个相等的实数根，∴．
∴
∵，
∴
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：∵是勾股方程的一个根，∴，
∴
∵四边形的周长是6，
∴．
∴
∵，
又∴，
∴．
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；实数的混合运算（含开方）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；数形结合
【解析】【解答】（1）解：设，，则．
∴是勾股方程．
【分析】（1）设，，则，写出一个符合条件的勾股方程；
（2）由一元二次方程根的判别式得，由勾股定理，得，， ；
（3）由已知得，，则，．
（1）解：设，，则．
∴是勾股方程．
（2）解：∵勾股方程有两个相等的实数根，
∴．
∴
∵，
∴
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：∵是勾股方程的一个根，
∴，
∴
∵四边形的周长是6，
∴．
∴
∵，
又∴，
∴．
∴．
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