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广西桂林市全州县2024-2025学年下学期七年级数学期中素养检测
一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．以下属于无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是无理数，故此选项符合题意；
B．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C．是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
2．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算.
3．不等式 的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：原不等式为，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
解集为；
故选：A．
【分析】移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
4．如果，那么下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：如果，
A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质对每个选项逐一判断求解即可.
5．的算术平方根是（　　）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】直接根据算术平方根的定义进行解答即可．
【解答】∵92=81，
∴=9．
∵9的算术平方根是3
故答案为：选C
【点评】本题考查的是算术平方根的定义，即一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
6．若 ，（m，n 都是正整数），则的值为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算即可求出答案.
7．不等式组 的整数解有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解有、0、1、2共4个．
故选：D．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再求出整数解即可求出答案.
8．已知，，则的值为（　　）
A．19 B．25 C．28 D．31
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】解：∵，，
∴；
故答案为：A．
【分析】由x+y=5，得，．
9．实数比较大小估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
即的值在4和5之间．
故选：C
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
10．下列说法中，正确的是（　　）
A．的算术平方根是 B．的平方根是
C．的立方根是 D．的立方根是
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、的算术平方根是9，故该选项不符合题意；
B、的平方根是，故该选项不符合题意；
C、8的立方根是2，故该选项不符合题意；
D、1的立方根是1，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可求出答案.
11．若的结果中不含项，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
∵的结果中不含项，
∴2a-4=0，a=2。
故答案为：B。
【分析】先利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项；根据题意可得出含x 项的系数为0，算出答案即可。
12．已知关于的不等式组有解，则实数应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组有实数解，
，
解得：，即，
故选：B．
【分析】分别解两个不等式，再根据不等式组有解，建立关于a的不等式，再解不等式即可求出答案.
二、填空题（本大题共 4 题，每小题 3 分，共 12 分．）
13．计算：　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，得x2-4.
14．比较大小 　 　2．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴
故答案为：．
【分析】两边各自平方，再比较大小即可求出答案.
15．在某课外知识竞赛中，一共有30道判断题，答对一题得4分，答错或不答一题扣1分．如果在这次竞赛中得分要超过80分，那么至少应答对　 　道题目．
【答案】23
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设应答对x道题目，根据题意得：
，
解得：，
答：至少应答对23道题目．
故答案为：23
【分析】设应答对x道题目，根据在这次竞赛中得分要超过80分建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和．
…
请据上述规律，写出的计算结果中各项系数之和为　 　 ．
【答案】64
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：对于的展开式各项系数，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
……
则当，展开式中各项系数和为；
故答案为：64．
【分析】根据前几个等式的变换，总结规律，结合有理数加法，乘方即可求出答案.
三、解答题（本大题共 7 小题，共 72 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据二次根式性质，立方根性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据单项式乘单项式，结合整式的加减即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同时除以3得：，
原不等式的解集在数轴上表示如下图所示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化为1，再将解集在数轴上表示出来即可.
19．已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根．
【答案】解：的立方根是3，
，
，
∵的算术平方根是4，
∴，
，
∴
，
∴的平方根是．
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据立方根，算术平方根性质可得a，b值，再代入代数式，再根据平方根定义即可求出答案.
20．（1）计算：．
（2）当 x 取时，求（1）中多项式的值．
【答案】解：（1）
；
（2）当取时，原式．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项化简即可求出答案.
（2）将x值代入代数式即可求出答案.
21．4月23日是读书活动日，全州县新华书店在读书日这天进行促销活动．某班计划购进 x 本中国历史类图书．已知该类图书的售价为每本30元，经过协商，全州县新华书店给出两种优惠方案：
方案一：所有该类图书都按原价的8折销售．
方案二：充值30元办理1张该类图书的优惠卡，购买该类图书时，每本将在原价8折的基础上再降1元．
请你根据 x 取值的不同情况，为该班选择较为省钱的购买方案．
【答案】解：购进本中国历史类图书时，
方案一所需的费用为元，
方案二所需的费用为元．
当时，解得．
当时，解得．
当时，解得．
答：当时，选择方案一较为省钱；当时，选择方案一、方案二所需费用相同；当时，选择方案二较为省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】根据题意分别求出两种方案所需的费用，再根据题意分别列出不等式，解不等式即可求出答案.
22．阅读与理解
若实数 是的一个解，则其含义是： 用代入使得．这说明在数轴上表示 的 点与原点 的距离小于或等于．由于到原点 的距离等于 的点表示的实数为，从而 ．因此的解集是，在数轴上的表示如图 所示，
若实数 是的一个解，则其含义是： 用 代入使得．这说明在数轴上表示 的点与原点 的距离大于 ，从而 或．因此 的解集是 或，在 数轴上的表示如图 所示，
于是，可以仿照上述思路来解含有绝对值的一元一次不等式． 例：解不等式：．
解由| 得，解得． 因此， 的解集是．
（1）不等式 的解集为 ；不等式 的解集为 ．
（2）解下列不等式：；
（3）解下列不等式：；
【答案】（1）；或；
（2）解：由得，
解得，
因此，的解集是；
（3）解：由得或，
解得或，
因此，的解集是或．
【知识点】解一元一次不等式组；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】（1）解：由题意得：不等式 的解集为，不等式 的解集为或；
故答案为：，或；
【分析】（1）根据题意，结合绝对值的几何意义计算即可求出答案.
（2）根据题意，结合绝对值的几何意义去绝对值，再解不等式即可求出答案.
（3）根据题意，结合绝对值的几何意义去绝对值，再解不等式即可求出答案.
（1）解：由题意得：不等式 的解集为，不等式 的解集为或；
故答案为：，或；
（2）解：由得，
解得，
因此，的解集是；
（3）解：由得或，
解得或，
因此，的解集是或．
23．思考与探究
如图 1 的两个长方形可以按不同的形式拼成图 2 和图 3 两个图形．
（1）在图 2 中的阴影部分的面积 S，可表示为 （写成多项式乘法的形式）；在图 3 中的阴影部分的面积 S：可表示为 （写成两数平方差的形式）；
（2）比较图 2 与图 3 的阴影部分面积，可以得到的等式是 ；
A．
B．
C．
（3）请利用所得等式解决下面的问题：计算
的值．
【答案】（1）；
（2）B
（3）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：图2中阴影部分为长方形，其长为，宽为，则面积为；
图3中阴影部分面积为边长为a的大正方形面积与边长为b的小正方形面积的差，即为；
故答案为：；.
（2）解：图 2 与图 3 的阴影部分面积相等，即有；
故选：B．
【分析】（1）图2中阴影部分的长为，宽为，根据长方形的面积即可表示出阴影部分面积；图3中阴影部分面积为大正方形面积与小正方形面积之差即可求出答案.
（2）根据图2图3中阴影部分面积相等，即可求出答案.
（3）式子乘，结合（2）中结论即可求出答案.
（1）解：图2中阴影部分为长方形，其长为，宽为，则面积为；
图3中阴影部分面积为边长为a的大正方形面积与边长为b的小正方形面积的差，即为；
故答案为：；.
（2）解：图 2 与图 3 的阴影部分面积相等，即有；
故选：B．
（3）解：原式
．
1 / 1广西桂林市全州县2024-2025学年下学期七年级数学期中素养检测
一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．以下属于无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
3．不等式 的解集是（　　）
A． B． C． D．
4．如果，那么下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．的算术平方根是（　　）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
6．若 ，（m，n 都是正整数），则的值为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
7．不等式组 的整数解有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．已知，，则的值为（　　）
A．19 B．25 C．28 D．31
9．实数比较大小估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
10．下列说法中，正确的是（　　）
A．的算术平方根是 B．的平方根是
C．的立方根是 D．的立方根是
11．若的结果中不含项，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．已知关于的不等式组有解，则实数应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 题，每小题 3 分，共 12 分．）
13．计算：　 　．
14．比较大小 　 　2．
15．在某课外知识竞赛中，一共有30道判断题，答对一题得4分，答错或不答一题扣1分．如果在这次竞赛中得分要超过80分，那么至少应答对　 　道题目．
16．我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和．
…
请据上述规律，写出的计算结果中各项系数之和为　 　 ．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 72 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根．
20．（1）计算：．
（2）当 x 取时，求（1）中多项式的值．
21．4月23日是读书活动日，全州县新华书店在读书日这天进行促销活动．某班计划购进 x 本中国历史类图书．已知该类图书的售价为每本30元，经过协商，全州县新华书店给出两种优惠方案：
方案一：所有该类图书都按原价的8折销售．
方案二：充值30元办理1张该类图书的优惠卡，购买该类图书时，每本将在原价8折的基础上再降1元．
请你根据 x 取值的不同情况，为该班选择较为省钱的购买方案．
22．阅读与理解
若实数 是的一个解，则其含义是： 用代入使得．这说明在数轴上表示 的 点与原点 的距离小于或等于．由于到原点 的距离等于 的点表示的实数为，从而 ．因此的解集是，在数轴上的表示如图 所示，
若实数 是的一个解，则其含义是： 用 代入使得．这说明在数轴上表示 的点与原点 的距离大于 ，从而 或．因此 的解集是 或，在 数轴上的表示如图 所示，
于是，可以仿照上述思路来解含有绝对值的一元一次不等式． 例：解不等式：．
解由| 得，解得． 因此， 的解集是．
（1）不等式 的解集为 ；不等式 的解集为 ．
（2）解下列不等式：；
（3）解下列不等式：；
23．思考与探究
如图 1 的两个长方形可以按不同的形式拼成图 2 和图 3 两个图形．
（1）在图 2 中的阴影部分的面积 S，可表示为 （写成多项式乘法的形式）；在图 3 中的阴影部分的面积 S：可表示为 （写成两数平方差的形式）；
（2）比较图 2 与图 3 的阴影部分面积，可以得到的等式是 ；
A．
B．
C．
（3）请利用所得等式解决下面的问题：计算
的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是无理数，故此选项符合题意；
B．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C．是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算.
3．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：原不等式为，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
解集为；
故选：A．
【分析】移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：如果，
A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质对每个选项逐一判断求解即可.
5．【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】直接根据算术平方根的定义进行解答即可．
【解答】∵92=81，
∴=9．
∵9的算术平方根是3
故答案为：选C
【点评】本题考查的是算术平方根的定义，即一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
6．【答案】B
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解有、0、1、2共4个．
故选：D．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再求出整数解即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】解：∵，，
∴；
故答案为：A．
【分析】由x+y=5，得，．
9．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
即的值在4和5之间．
故选：C
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、的算术平方根是9，故该选项不符合题意；
B、的平方根是，故该选项不符合题意；
C、8的立方根是2，故该选项不符合题意；
D、1的立方根是1，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
∵的结果中不含项，
∴2a-4=0，a=2。
故答案为：B。
【分析】先利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项；根据题意可得出含x 项的系数为0，算出答案即可。
12．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组有实数解，
，
解得：，即，
故选：B．
【分析】分别解两个不等式，再根据不等式组有解，建立关于a的不等式，再解不等式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，得x2-4.
14．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴
故答案为：．
【分析】两边各自平方，再比较大小即可求出答案.
15．【答案】23
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设应答对x道题目，根据题意得：
，
解得：，
答：至少应答对23道题目．
故答案为：23
【分析】设应答对x道题目，根据在这次竞赛中得分要超过80分建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．【答案】64
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：对于的展开式各项系数，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
……
则当，展开式中各项系数和为；
故答案为：64．
【分析】根据前几个等式的变换，总结规律，结合有理数加法，乘方即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据二次根式性质，立方根性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据单项式乘单项式，结合整式的加减即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同时除以3得：，
原不等式的解集在数轴上表示如下图所示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化为1，再将解集在数轴上表示出来即可.
19．【答案】解：的立方根是3，
，
，
∵的算术平方根是4，
∴，
，
∴
，
∴的平方根是．
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据立方根，算术平方根性质可得a，b值，再代入代数式，再根据平方根定义即可求出答案.
20．【答案】解：（1）
；
（2）当取时，原式．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项化简即可求出答案.
（2）将x值代入代数式即可求出答案.
21．【答案】解：购进本中国历史类图书时，
方案一所需的费用为元，
方案二所需的费用为元．
当时，解得．
当时，解得．
当时，解得．
答：当时，选择方案一较为省钱；当时，选择方案一、方案二所需费用相同；当时，选择方案二较为省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】根据题意分别求出两种方案所需的费用，再根据题意分别列出不等式，解不等式即可求出答案.
22．【答案】（1）；或；
（2）解：由得，
解得，
因此，的解集是；
（3）解：由得或，
解得或，
因此，的解集是或．
【知识点】解一元一次不等式组；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】（1）解：由题意得：不等式 的解集为，不等式 的解集为或；
故答案为：，或；
【分析】（1）根据题意，结合绝对值的几何意义计算即可求出答案.
（2）根据题意，结合绝对值的几何意义去绝对值，再解不等式即可求出答案.
（3）根据题意，结合绝对值的几何意义去绝对值，再解不等式即可求出答案.
（1）解：由题意得：不等式 的解集为，不等式 的解集为或；
故答案为：，或；
（2）解：由得，
解得，
因此，的解集是；
（3）解：由得或，
解得或，
因此，的解集是或．
23．【答案】（1）；
（2）B
（3）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：图2中阴影部分为长方形，其长为，宽为，则面积为；
图3中阴影部分面积为边长为a的大正方形面积与边长为b的小正方形面积的差，即为；
故答案为：；.
（2）解：图 2 与图 3 的阴影部分面积相等，即有；
故选：B．
【分析】（1）图2中阴影部分的长为，宽为，根据长方形的面积即可表示出阴影部分面积；图3中阴影部分面积为大正方形面积与小正方形面积之差即可求出答案.
（2）根据图2图3中阴影部分面积相等，即可求出答案.
（3）式子乘，结合（2）中结论即可求出答案.
（1）解：图2中阴影部分为长方形，其长为，宽为，则面积为；
图3中阴影部分面积为边长为a的大正方形面积与边长为b的小正方形面积的差，即为；
故答案为：；.
（2）解：图 2 与图 3 的阴影部分面积相等，即有；
故选：B．
（3）解：原式
．
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