资源简介

吉林长春市实验中学2025-2026学年下学期第一学程考试高二
数学试卷
一、单选题
1．已知等比数列中，，，则（ ）
A．9 B．12 C． D．
2．已知椭圆，则其焦距为（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数没有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，设有圆和定点，当从开始在平面内绕匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过90°），直线l扫过的圆内的面积是时间的函数，这个函数的图像只可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数在时取到极大值，则实数c的值为（ ）
A．1 B． 2 C．4 D．6
二、多选题
9．下列求导正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则实数a，b的下列关系可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，且函数有三个零点，，（）．下列命题正确的是（ ）
A．实数m的取值范围是 B．
C．取值范围是 D．取值范围是
三、填空题
12．已知曲线，则在点的切线方程为________．
13．如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．进行三次迭代得到的________．
14．若曲线与直线相切，则的最大值是________．
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)试讨论函数的极值．
16．已知曲线的焦点为且过点，是其上一点．
(1)求的焦点坐标；
(2)作曲线在点处的切线，由点作的垂线，垂足为，若，求点的坐标．
17．已知椭圆的左右焦点分别为，，是其上一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，且，求．
18．已知函数
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，求的取值范围．
19．已知函数．
(1)证明：当，有唯一的极值点；
(2)求使是单调函数的最大整数．
参考答案
1．B
2．D
3．C
4．D
5．A
6．B
7．D
8．D
9．BC
10．ACD
11．BD
12．
13．
14．2
15．（1）当时，,，
令，得,
在上单调减，在上单调增，处取极小值也是最小值，
又因为,
所以，函数在上的值域为；
（2），
当时，恒成立，在R上单调增，无极值；
当时，令,得
令,得，
令,得，
所以，处取极大值，极大值为
处取极小值，极小值为.
综上，当时，恒成立，在R上单调增，无极值；
当时，处取极大值，极大值为
处取极小值，极小值为.
16（1）曲线过点，代入得，解得.
则曲线的方程为，属于标准抛物线型.
对比得，即，焦点坐标为.
（2）设点，满足， 由题可知切线斜率一定存在.
所以设切线的方程为，即.
联立抛物线与切线方程， 消去得.
因为直线与抛物线相切，所以判别式， 即，
整理得
将代入得，即，解得.
因此切线方程为， 整理得.
由向切线作垂线，垂足为， 因为切线斜率为，所以垂线斜率为，
垂线方程为，联立切线与垂线方程求交点:
代入解得.
三点坐标：，，.
因为，所以是直角三角形，.
所以面积.
.
所以面积
由，得 ， 即.
不妨先设，则， .
两边同乘可得， 即.
可知时，.
所以，
二次方程的判别式，方程无实根，
故，.
同理可得，.如图所示:
综上，点的坐标为或.
17．（1）由椭圆焦点，，得半焦距，故.
椭圆方程为，将点代入得：
化简得，即，
因，解得，则.
故椭圆的标准方程为.
（2）联立直线与椭圆方程：
消去得.
显然，由韦达定理，，(*).
由，得，
将(*)代入上式，可得，
化简得，解得，则，，
于是，
故.
18.（1）当时, 由，得
令，得，令，得;
令，得，
所以在处取得极小值，也是最小值，；
（2）若，则,
由，得,
令，得，令，得，
所以在上递减，在上递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
即，解得，
所以的取值范围.
19．（1）由题设且，
令，得 ，
对于且，则在R上单调递增且恒过点，
当时，，当时，，
对于，则，
故或时，时，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
时，时，且，，
所以在上的值域为，在上的值域，
其中，所以与在上存在一个交点，
综上，仅有一个变号零点，即时，有唯一的极值点；
（2）由（1）得 当，有唯一的极值点，不可能是单调函数，
当时，，又，，不可能是单调，
所以，又，故需保证恒成立，
当时，
设，则，即在R上单调递增，
又，所以，存在，使，
在上，又，所以，不满足，舍；
当时，
令，则，
令，则，
令，则，故时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，则在R上单调递增，且，
所以，存在使，则时，时，
所以，在上，单调递减，在上，单调递增，
所以，而且，
所以，则，
所以恒成立，即在R上单调递减，
综上，使是单调函数的最大整数.

展开更多......

收起↑