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广东省佛山市顺德区乐从四校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．不是下列哪个不等式的解（　　）
A． B． C． D．
3．下列变形中是因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
4．如图，等边的周长为12，则它的高为（　　）
A． B． C． D．
5．下列命题是假命题的是（　　）
A．到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
B．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形
C．如果，那么，
D．三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
6．对于点与点，下列说法不正确的是（　　）．
A．将点A向下平移5个单位长度可得到点B
B．A、B两点的距离为5
C．点A到y轴的距离为2
D．直线与x轴平行
7．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定
8．如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（　　）
A．18 B．30 C．36 D．72
9．一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解的结果为　 　；
12．若二次根式 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是　 　．
13．如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度　 　米．
14．如图，快艇计划从A地到距离A地10海里的C地，先沿北偏东72°方向行驶8海里到达B地，再从B地行驶6海里到达C地，此时快艇位于B地的方向是　 　．
15．如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．解不等式组：
17．（1）如图，已知线段绕点O旋转后的对应线段是，你能确定旋转中心点O的位置吗？
（2）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图：
①作出关于坐标原点成中心对称的；
②作出以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到的；
③点的坐标为________．
18．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F．
（1）求证：；
（2）试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由．
四、解答题（二）（本大题共3题，每小题9分，共27分）
19．如图，已知BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝90°．
（1）求证：AB平分∠EAC；
（2）若AD＝1，CD＝3，求BD．
20．如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，．
（1）判断：与的位置关系，并说明理由；
（2）连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
21．根据如表所示素材，探索完成任务．
深圳华强北电子配件采购方案
素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进、两种充电器，两次同型号进价相同：
采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元）
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
素材二 售价A：30元/件，B：100元/件．
素材三 计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍．
问题解决
任务一 求、充电器每件进价．
任务二 求获利最大的进货方案及最大利润．
五、解答题（三）（本大题共2题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积；
（3）如果线段的长为，求点的坐标；
（4）我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标．
23．已知中，，．
（1）如图1，若，则______；
（2）如图2在边的右侧作，且满足，连接，猜测，，三者之间的数量关系，并说明理由：
（3）如图3，若以为边向左侧作等腰三角形，且满足，，连接，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意，
B.选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
C.选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
D. 选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：A．当时，∵，∴不是不等式的解，故本选项符合题意；
B．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意；
C．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意；
D．当时，∵ ，∴是不等式的解，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】将x=1分别代入各选项计算并判断即可.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、中，是整式乘法，故A错误；B、 故B错误；
C、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、，故D正确．
故答案为：D．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，且周长为12，
∴，
∵是高，
∴，，
在中，由勾股定理得：
∴．
故答案为：B．
【分析】由等边三角形周长得，根据三线合一，得，，再用勾股定理，得AD=．
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，是真命题，故A项不符合题意；
B、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，是真命题，故B项不符合题意；
C、如果，那么，或，，原命题假命题，故C项符合题意；
D、三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，是真命题，故D项符合题意；
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理、等边三角形的判定和角平分线的性质逐一判断即可．
6．【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点与点，
将点向下平移5个单位长度可得到点，、两点的距离为5，点到轴的距离为2，直线与轴平行．
故A，B，C正确，D错误．
故答案为：D．
【分析】利用点平移的特征（左减右加）和点坐标的定义逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
∴
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：C．
【分析】先利用非负数之和为0的性质可得，求出，从而得证.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过I点作于E，于F，
、、分别平分、、，
，
．
故答案为：C．
【分析】如图，过I点作于E，于F，
利用角平分线的性质，得，由三角形面积公式得=36．
9．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由题图可知，当时，，即，
∴不等式的解集为．
故答案为：D．
【分析】从一次函数的图象上可知，当kx+b＞2时，。
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点是，
∴，，
∴，，，
∴，
∴．
∵，，三点在同一条直线上，
∴在中，，
∴，
∴，
解得：．
∴旋转角的度数是．
故答案为：C．
【分析】先利用旋转的性质可得，，再求出，结合“”可得，最后求出即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】利用提公因式法的定义及计算方法（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式）分析求解即可.
12．【答案】x≤1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式 在实数范围内有意义，
∴1-x≥0，
解得：x≤1，
故答案为：x≤1.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解题即可.
13．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；邻补角
【解析】【解答】解：如图所示，过点作延长线于点，则，
∵，
∴，
∴在中，（米），
∴点到点上升的高度米，
故答案为：4 ．
【分析】如图，过点作延长线于点，
则，可得，运用运用含角的直角三角形的性质得。
14．【答案】北偏西18°
【知识点】方位角；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD∥AE，
∵AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，
又∵B点在A的北偏东72°方向，
∴∠1=90°-72°=18°，
∴∠2=∠1=18°，
即快艇位于B的北偏西18°的方向上．
故答案为：北偏西18°．
【分析】过点B作BD∥AE，先利用勾股定理的逆定理证出△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，再求出∠2=∠1=18°，从而可得快艇位于B的北偏西18°的方向上．
15．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵CD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
，
，
，
当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小，
的值最小为：．
故答案为：．
【分析】
如图，过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，由等边三角形三线合一知CD平分，则，则根据“SAS”证明，则，等量代换得，显然当A、G、E三点共线时，的最小值即AG的长，由勾股定理求出AG的值即可．
16．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②，有，
；
不等式组的解集是．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
17．【答案】解：（1）解：点O即为所求作的点；
（2）①如图，即为所求作的三角形；
②如图，三角形即为所求作的三角形，
；
③
【知识点】旋转的性质；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）③解：由②可得，．
故答案为：.
【分析】（1）连接，，分别作和的垂直平分线，则和垂直平分线的交点即为旋转中心O的位置；
（2）①先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
②先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
③根据平面直角坐标系直接求出点坐标即可.
18．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBF，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
又∵BD=BD，
∴，
∴∠ADB=∠BDF，AB=BF；
（2）解：AD=AG，
理由如下：∵AE是斜边BC上的高，
∴AE⊥BC，
又∵DF⊥BC，
∴，
∴∠BGE=∠BDF，
又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，
∴∠AGD=∠ADB，
∴AG=AD．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）BD平分∠ABC，得∠ABD=∠DBF，由DF⊥BC，则∠DFB=∠BAD=90°，得（AAS），则AB=BF；
（2）由在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，得，由两直线平行，同位角相等，得∠BGE=∠BDF，由∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，得∠AGD=∠ADB，根据等角对等边得AG=AD．
（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
又∵BD=BD，
∴，
∴∠ADB=∠BDF，AB=BF；
（2）AD=AG，理由如下：
∵AE是斜边BC上的高，
∴AE⊥BC，
又∵DF⊥BC，
∴，
∴∠BGE=∠BDF，
又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，
∴∠AGD=∠ADB，
∴AG=AD．
19．【答案】解：（1）证明：∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠ABE，
∴∠CBD＝∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠EAB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠BAC=∠C，
∴∠EAB＝∠BAC，
∴AB平分∠EAC；
（2）∵AD＝1，CD＝3，
∴AC＝4．
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝，∠C＝45°，
过点B作BF⊥AC于点F，如图：
则△BCF为等腰直角三角形，
∴BF＝CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝1，
在Rt△BFD中，由勾股定理得：
BD＝，
＝，
＝．
∴BD的长等于．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据 ∠ABC＝∠EBD＝90° ，利用同角的余角相等得∠CBD＝∠ABE，则△ABE≌△CBD（SAS），由全等三角形的性质得∠EAB=∠C，等边对等角得∠BAC=∠C，则∠EAB＝∠BAC；
（2）已知条件得AB＝BC＝，∠C＝45°，
如图，过点B作BF⊥AC于点F，
得△BCF为等腰直角三角形，在Rt△BFD中，由勾股定理得BD=．
20．【答案】（1）证明：，
理由如下：∵，，
，
在和中，
．
，
，
．
．
，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，
，，，．
．
，
．
．
即．
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理的证明；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）证明（HL）得，根据两锐角互余得，则，则，即；
（2）如图，连接、，
由，得，，，，，即
（1）证明：，理由如下：
∵，，
，
在和中，
．
，
，
．
．
，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，
，，，．
．
，
．
．
即．
21．【答案】解：任务一：设、充电器每件进价分别为元、元，
由题意得：，
解得：．
答：、充电器每件进价分别为元、元；
任务二：设购进件充电器，则购进件充电器，
由题意得：，
解得：，
设利润为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值为，
即获利最大的进货方案为购进件充电器，购进件充电器，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设、充电器每件进价分别为元、元，利用采用总费用列出方程组求解即可；
任务二：设利润为元，利用“总利润=每件的利润×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
22．【答案】（1）解：∵，∴，
∵点、点恰好关于点对称，
∴．
把代入，
得
解得，
故直线的解析式为．
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：∵点在直线上，设，
∵轴，交直线于点，
∴．
∵线段的长为，
∴，
∴或，
解得或．
∴点坐标为或．
（4）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（4）解：∵点在直线上，设，
∵轴，交直线于点，
∴．
∴，
∵，
∴，，
∴，，，，
解得，，，
∴或，
∵点P是整点，，
∴n必须是整数，必须是整数，
∴或，且n是2的倍数，
故或，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
综上所述，点或或或．
【分析】（1）由与y轴的交点为B点，令x=0，则，由点、点恰好关于点对称，得．代入，解得m=1，代入m=1得直线的解析式；
（2）根据交x轴与点C，令y=0，得，根由得到，得AC=12，由得，则=；
（3）由点在直线上，设，由轴，交直线于点，根据平行与y轴横坐标不变，得．=，得，则点坐标为或；
（4）由点在直线上，设，根据轴，交直线于点，根据平行与y轴横坐标不变，得．得，结合，，，则分类可得，，，，解得，，，，则或，由点P是整点，，则n必须是整数，必须是整数，当或，则P为
．
23．【答案】（1）
（2）解：.
理由：过A作，使，连接，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：在左侧作，取，连接，，设与相交于E，过B作于F，过E作于G，
∵
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴点M在直线上运动，
∴当即M和F重合时，最小，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即的最小值为．
【知识点】分母有理化；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理求出BC的长即可；
（2）过A作，使，连接，先证出，利用全等三角形的性质可得，再利用勾股定理和等量代换可得；
（3）在左侧作，取，连接，，设与相交于E，过B作于F，过E作于G，先证出当即M和F重合时，最小，再求出，再结合，，最后利用含30°角的直角三角形的性质求出，从而得解.
（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：
理由：过A作，使，连接，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在左侧作，取，连接，，设与相交于E，过B作于F，过E作于G
∵
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴点M在直线上运动，
∴当即M和F重合时，最小，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即的最小值为．
1 / 1广东省佛山市顺德区乐从四校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意，
B.选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
C.选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
D. 选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．不是下列哪个不等式的解（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：A．当时，∵，∴不是不等式的解，故本选项符合题意；
B．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意；
C．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意；
D．当时，∵ ，∴是不等式的解，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】将x=1分别代入各选项计算并判断即可.
3．下列变形中是因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、中，是整式乘法，故A错误；B、 故B错误；
C、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、，故D正确．
故答案为：D．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
4．如图，等边的周长为12，则它的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，且周长为12，
∴，
∵是高，
∴，，
在中，由勾股定理得：
∴．
故答案为：B．
【分析】由等边三角形周长得，根据三线合一，得，，再用勾股定理，得AD=．
5．下列命题是假命题的是（　　）
A．到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
B．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形
C．如果，那么，
D．三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，是真命题，故A项不符合题意；
B、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，是真命题，故B项不符合题意；
C、如果，那么，或，，原命题假命题，故C项符合题意；
D、三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，是真命题，故D项符合题意；
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理、等边三角形的判定和角平分线的性质逐一判断即可．
6．对于点与点，下列说法不正确的是（　　）．
A．将点A向下平移5个单位长度可得到点B
B．A、B两点的距离为5
C．点A到y轴的距离为2
D．直线与x轴平行
【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点与点，
将点向下平移5个单位长度可得到点，、两点的距离为5，点到轴的距离为2，直线与轴平行．
故A，B，C正确，D错误．
故答案为：D．
【分析】利用点平移的特征（左减右加）和点坐标的定义逐项分析判断即可.
7．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
∴
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：C．
【分析】先利用非负数之和为0的性质可得，求出，从而得证.
8．如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（　　）
A．18 B．30 C．36 D．72
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过I点作于E，于F，
、、分别平分、、，
，
．
故答案为：C．
【分析】如图，过I点作于E，于F，
利用角平分线的性质，得，由三角形面积公式得=36．
9．一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由题图可知，当时，，即，
∴不等式的解集为．
故答案为：D．
【分析】从一次函数的图象上可知，当kx+b＞2时，。
10．如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点是，
∴，，
∴，，，
∴，
∴．
∵，，三点在同一条直线上，
∴在中，，
∴，
∴，
解得：．
∴旋转角的度数是．
故答案为：C．
【分析】先利用旋转的性质可得，，再求出，结合“”可得，最后求出即可．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解的结果为　 　；
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】利用提公因式法的定义及计算方法（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式）分析求解即可.
12．若二次根式 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】x≤1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式 在实数范围内有意义，
∴1-x≥0，
解得：x≤1，
故答案为：x≤1.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解题即可.
13．如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度　 　米．
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；邻补角
【解析】【解答】解：如图所示，过点作延长线于点，则，
∵，
∴，
∴在中，（米），
∴点到点上升的高度米，
故答案为：4 ．
【分析】如图，过点作延长线于点，
则，可得，运用运用含角的直角三角形的性质得。
14．如图，快艇计划从A地到距离A地10海里的C地，先沿北偏东72°方向行驶8海里到达B地，再从B地行驶6海里到达C地，此时快艇位于B地的方向是　 　．
【答案】北偏西18°
【知识点】方位角；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD∥AE，
∵AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，
又∵B点在A的北偏东72°方向，
∴∠1=90°-72°=18°，
∴∠2=∠1=18°，
即快艇位于B的北偏西18°的方向上．
故答案为：北偏西18°．
【分析】过点B作BD∥AE，先利用勾股定理的逆定理证出△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，再求出∠2=∠1=18°，从而可得快艇位于B的北偏西18°的方向上．
15．如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵CD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
，
，
，
当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小，
的值最小为：．
故答案为：．
【分析】
如图，过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，由等边三角形三线合一知CD平分，则，则根据“SAS”证明，则，等量代换得，显然当A、G、E三点共线时，的最小值即AG的长，由勾股定理求出AG的值即可．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．解不等式组：
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②，有，
；
不等式组的解集是．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
17．（1）如图，已知线段绕点O旋转后的对应线段是，你能确定旋转中心点O的位置吗？
（2）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图：
①作出关于坐标原点成中心对称的；
②作出以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到的；
③点的坐标为________．
【答案】解：（1）解：点O即为所求作的点；
（2）①如图，即为所求作的三角形；
②如图，三角形即为所求作的三角形，
；
③
【知识点】旋转的性质；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）③解：由②可得，．
故答案为：.
【分析】（1）连接，，分别作和的垂直平分线，则和垂直平分线的交点即为旋转中心O的位置；
（2）①先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
②先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
③根据平面直角坐标系直接求出点坐标即可.
18．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F．
（1）求证：；
（2）试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBF，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
又∵BD=BD，
∴，
∴∠ADB=∠BDF，AB=BF；
（2）解：AD=AG，
理由如下：∵AE是斜边BC上的高，
∴AE⊥BC，
又∵DF⊥BC，
∴，
∴∠BGE=∠BDF，
又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，
∴∠AGD=∠ADB，
∴AG=AD．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）BD平分∠ABC，得∠ABD=∠DBF，由DF⊥BC，则∠DFB=∠BAD=90°，得（AAS），则AB=BF；
（2）由在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，得，由两直线平行，同位角相等，得∠BGE=∠BDF，由∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，得∠AGD=∠ADB，根据等角对等边得AG=AD．
（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
又∵BD=BD，
∴，
∴∠ADB=∠BDF，AB=BF；
（2）AD=AG，理由如下：
∵AE是斜边BC上的高，
∴AE⊥BC，
又∵DF⊥BC，
∴，
∴∠BGE=∠BDF，
又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，
∴∠AGD=∠ADB，
∴AG=AD．
四、解答题（二）（本大题共3题，每小题9分，共27分）
19．如图，已知BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝90°．
（1）求证：AB平分∠EAC；
（2）若AD＝1，CD＝3，求BD．
【答案】解：（1）证明：∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠ABE，
∴∠CBD＝∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠EAB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠BAC=∠C，
∴∠EAB＝∠BAC，
∴AB平分∠EAC；
（2）∵AD＝1，CD＝3，
∴AC＝4．
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝，∠C＝45°，
过点B作BF⊥AC于点F，如图：
则△BCF为等腰直角三角形，
∴BF＝CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝1，
在Rt△BFD中，由勾股定理得：
BD＝，
＝，
＝．
∴BD的长等于．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据 ∠ABC＝∠EBD＝90° ，利用同角的余角相等得∠CBD＝∠ABE，则△ABE≌△CBD（SAS），由全等三角形的性质得∠EAB=∠C，等边对等角得∠BAC=∠C，则∠EAB＝∠BAC；
（2）已知条件得AB＝BC＝，∠C＝45°，
如图，过点B作BF⊥AC于点F，
得△BCF为等腰直角三角形，在Rt△BFD中，由勾股定理得BD=．
20．如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，．
（1）判断：与的位置关系，并说明理由；
（2）连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
【答案】（1）证明：，
理由如下：∵，，
，
在和中，
．
，
，
．
．
，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，
，，，．
．
，
．
．
即．
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理的证明；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）证明（HL）得，根据两锐角互余得，则，则，即；
（2）如图，连接、，
由，得，，，，，即
（1）证明：，理由如下：
∵，，
，
在和中，
．
，
，
．
．
，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，
，，，．
．
，
．
．
即．
21．根据如表所示素材，探索完成任务．
深圳华强北电子配件采购方案
素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进、两种充电器，两次同型号进价相同：
采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元）
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
素材二 售价A：30元/件，B：100元/件．
素材三 计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍．
问题解决
任务一 求、充电器每件进价．
任务二 求获利最大的进货方案及最大利润．
【答案】解：任务一：设、充电器每件进价分别为元、元，
由题意得：，
解得：．
答：、充电器每件进价分别为元、元；
任务二：设购进件充电器，则购进件充电器，
由题意得：，
解得：，
设利润为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值为，
即获利最大的进货方案为购进件充电器，购进件充电器，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设、充电器每件进价分别为元、元，利用采用总费用列出方程组求解即可；
任务二：设利润为元，利用“总利润=每件的利润×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
五、解答题（三）（本大题共2题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积；
（3）如果线段的长为，求点的坐标；
（4）我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵点、点恰好关于点对称，
∴．
把代入，
得
解得，
故直线的解析式为．
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：∵点在直线上，设，
∵轴，交直线于点，
∴．
∵线段的长为，
∴，
∴或，
解得或．
∴点坐标为或．
（4）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（4）解：∵点在直线上，设，
∵轴，交直线于点，
∴．
∴，
∵，
∴，，
∴，，，，
解得，，，
∴或，
∵点P是整点，，
∴n必须是整数，必须是整数，
∴或，且n是2的倍数，
故或，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
综上所述，点或或或．
【分析】（1）由与y轴的交点为B点，令x=0，则，由点、点恰好关于点对称，得．代入，解得m=1，代入m=1得直线的解析式；
（2）根据交x轴与点C，令y=0，得，根由得到，得AC=12，由得，则=；
（3）由点在直线上，设，由轴，交直线于点，根据平行与y轴横坐标不变，得．=，得，则点坐标为或；
（4）由点在直线上，设，根据轴，交直线于点，根据平行与y轴横坐标不变，得．得，结合，，，则分类可得，，，，解得，，，，则或，由点P是整点，，则n必须是整数，必须是整数，当或，则P为
．
23．已知中，，．
（1）如图1，若，则______；
（2）如图2在边的右侧作，且满足，连接，猜测，，三者之间的数量关系，并说明理由：
（3）如图3，若以为边向左侧作等腰三角形，且满足，，连接，求的最小值．
【答案】（1）
（2）解：.
理由：过A作，使，连接，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：在左侧作，取，连接，，设与相交于E，过B作于F，过E作于G，
∵
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴点M在直线上运动，
∴当即M和F重合时，最小，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即的最小值为．
【知识点】分母有理化；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理求出BC的长即可；
（2）过A作，使，连接，先证出，利用全等三角形的性质可得，再利用勾股定理和等量代换可得；
（3）在左侧作，取，连接，，设与相交于E，过B作于F，过E作于G，先证出当即M和F重合时，最小，再求出，再结合，，最后利用含30°角的直角三角形的性质求出，从而得解.
（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：
理由：过A作，使，连接，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在左侧作，取，连接，，设与相交于E，过B作于F，过E作于G
∵
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴点M在直线上运动，
∴当即M和F重合时，最小，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即的最小值为．
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