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广西壮族自治区桂林市第一中学2025年中考三模数学试题
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A．3.1415 B． C． D．0
2．人工智能AI的爆发，是机遇也是挑战，将改变我们生活的世界．下图是我国人工智能科技的标识，这些标识是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列事件是必然事件的是（　　）
A．通常加热到时，水沸腾
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和为
4．甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，直线，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．袁隆平海水稻科研团队从甲、乙两种水稻苗中随机抽取部分稻苗测量苗高，算得它们的方差分别为，则下列对苗高的整齐程度描述正确的是（　　）
A．甲更整齐 B．乙更整齐 C．一样整齐 D．无法确定
7．若，则（　　）
A．11 B．13 C．15 D．17
8．若一正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数为（　　）
A． B． C． D．
9．某班级开展活动共花费2300元，但有4位同学因时间冲突缺席．若总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元．设原来有x人参加活动，由题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．一元二次方程根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线．若，且图中阴影部分的面积为，则k的值为（　　）
A．6 B．9 C． D．
12．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分）
13． 要使分式有意义，则x的取值范围是　 　.
14．请写出一个比小的整数　 　．
15．若一次函数y＝mx+3的图象经过点（2，9），则m的值是 　 　．
16．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是　 　．
17．如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的B处，然后沿着射线退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量米，若小宇的眼睛到地面的距离为米，则假山高度为　 　米．
18．大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径，最顶端点到保温墙的水平距离为4m，到地面的距离为3.6m．现要使得高度为1.1m的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为　 　m．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20． 解方程组：
21．如图，是菱形的对角线．
（1）作边的垂直平分线，分别与交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
22．共享单车是人们喜爱的“绿色出行”方式之一．为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机调查了该小区位居民一周内使用共享单车的次数，并整理成如下统计表．
使用次数
人数
（1）求这位居民一周内使用共享单车次数的中位数、众数和平均数；
（2）若该小区有位居民，请你估计一周内使用共享单车的次数在及以上的居民有多少人．
23．随着城市基础建设的完善，长春市新修了很多绿道，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从伊通河绿道某地出发同向骑行，乙中途停车整理装备用了6分钟，然后继续骑行，追上甲后又骑行了2分钟一起到达终点．甲、乙骑行的路程（千米）与骑行时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲的骑行速度．
（2）求乙整理完装备后到追上甲时与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）两人相距不超过千米时，可以互相联系，直接写出乙整理完装备后至少再骑行多少分钟可以联系到甲．
24．如图，在中，以为直径作分别交于点，且是的中点，过点作于点，的延长线与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：直线是的切线；
（3）若，，求的长．
25．综合与实践
莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心．
教材重现：
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（）如图，是的边上的中线．
（1）初步观察：
连接，则与的数量关系是：________；
（2）初步探究：
莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由；
（3）拓展探究：
①请帮助莹莹求出的面积；
②连接，求线段的长度．
26．【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．
例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点．
【经验运用】
请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．
（1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．
求证：①是的中点；
②CG与BE之间的数量关系是：____________________________；
【拓展延伸】
（2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________；
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：四个选项中，只有B选项是无理数，其余选项均为有理数。
故答案为：B．
【分析】无理数即无限不循环小数。结合无理数的定义逐项分析发现，只有B选项中的是无限不循环小数，从而得出答案。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D选项的图形不是轴对称图形；
C选项的图形是轴对称图形，符合题意；
故答案为：C ．
【分析】根据轴对称图形的定义： 一个图形如果存在一条直线，该图形关于这条直线的两侧能够完全重合，则称该图形为轴对称图形。 逐项判断．
3．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、通常加热时，水沸腾；是必然事件；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，投中；是随机事件；
C、经过信号灯时，遇到红灯；是随机事件；
D、任意画一个三角形，其内角和为；是不可能事件；
故答案为：A．
【分析】 必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。本题根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，对逐个选项进行分析，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得：S=320-80t.
故答案为：C.
【分析】根据货车距离乙地的路程S=甲、乙两地相距-t小时行驶的距离即可求解.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：由题意知，，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】由三角形内角和定理得，由，得=35°，；
6．【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴ 甲更整齐．
故答案为：A．
【分析】根据方差越小数据越稳定可得答案．
7．【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由，变形得到，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题由，移项得出，然后将变形为2（3x+2y）+7，最后将代入计算即可．
8．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为，
∴正多边形的边数是．
故答案为：A．
【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为，则正多形的边数等于外角和除以一个外角的度数．
9．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来有x人参加聚餐，则实际有人参加聚餐，
根据题意列式，
故答案为：D．
【分析】结合条件可知，原来每名同学承担的费用是元，而实际每名同学承担的费用是元，而“总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元”，因此有，从而得出答案。
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴
∴该方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
11．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图所示：
由反比例函数的几何意义可得：，
∵，
∴
∵，
∴=12，
解得：，
故答案为：B
【分析】本题先由反比例函数的几何意义得，结合以及图中信息推出接着计算出，这样，阴影部分的面积就转化为，此时代入计算即可求出k的值。
12．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；整体思想
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
，
，
，
，
故答案为： C.
【分析】如图，连接，
由矩形的性质：对边相等，对角线互相平分且相等，得，在Rt△ABC中，根据勾股定理得则，则，
13．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义，
∴x-2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，解题即可.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据估算无理数的大小结合算术平方根即可求解。
15．【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵y＝mx+3的图象经过点（2，9） 把x=2，y=9代入y＝mx+3 ，解得m=3
故答案为：3
【分析】用待定系数法将点点（2，9）代入y＝mx+3 ，解得m=3.
16．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意得，白色方格地砖一共有7块，整个区域一共有方格地砖9块，
∴该小球停留在白色区域的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出白色区域在整个地面中所占的块数，则几何图形概率相应的面积与总面积之比．
17．【答案】14
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意知，，，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：．
【分析】
先利用AA证明，再根据相似三角形的性质得到，即，计算求解即可解答．
18．【答案】9
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：如图，建立坐标系如下：
由题意可得，顶点，
∴设抛物线为：，
∴，
解得：，
∴抛物线为；
当时，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
而，
∴农具活动范围的宽度为；
故答案为：
【分析】如图，以点A为原点，分别以AD与AB为y轴，x轴建立坐标系，顶点为C（4，3.6）
设二次函数的解析式为顶点式： 将点B（10，0）代入，解得a=，则二次函数的解析式为 ，当时，代入，解得 ， ，根据实际意义x=9， 则农具活动范围的宽度为 9.
19．【答案】解：原式
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】本题根据有理数的运算法则，先分别计算出4×（-2）=-8、32=9、（-8）÷2=-4，然后再进行加减计算即可。
20．【答案】解：，
把①代入②得：
2（4y+1）-5y=8，
解得：y=2，
把y=2代入方程①得：
x=4×2+1=9，
∴原方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由题意，把方程①代入方程②可得关于y的方程，解方程求出y的值，把求出的y的值代入方程①可得关于x的方程，解方程求出x的值，最后写出结论即可.
21．【答案】（1）解：如图：直线 EF 为所求的图形
（2）解：如图，连接，
四边形是菱形，
，
垂直平分，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）按照尺规作图的要求，作边的垂直平分线；
（2）由菱形的性质，得，，EF垂直平分，由垂直平分线的性质，得，则．
（1）解：见图：直线 EF 为所求的图形
（2）解：如上图，连接，
四边形是菱形，
，
垂直平分，
，
，
．
22．【答案】（1）解：∵共有个数据，
∴数据由小到大排列，中位数为第和第个数据的平均数，
20+20+60=100，20+20+61=101，
∴中位数为，
∵出现的次数最多，
∴众数为，
平均数。
（2）解：，
∴估计一周内使用共享单车的次数在及以上的居民有人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）中位数，即一组数据从小到大或者从大到小排列，中间的数就是中位数，如果中间有两个数，则这两个数的平均数就是中位数；众数，即一组数据中出现次数最多的数；平均数，即将一组数据求和后再除以总个数。本题结合中位数、众数以及平均数的定义，结合统计表信息分析计算即可；
（2）结合统计表，200为居民中，使用次数在及以上的居民有60+20=80人，因此用乘以使用共享单车的次数在及以上的居民人数占比即可求解。
（1）解：∵共有个数据，
∴数据由小到大排列，中位数为第和第个数据的平均数，
∴中位数为，
∵出现的次数最多，
∴众数为，
平均数；
（2）解：，
答：估计一周内使用共享单车的次数在及以上的居民有人．
23．【答案】（1）解：甲的骑行速度（千米/分钟）；
（2）解：由题意可知：乙整理完装备是第分钟，此时行程是3千米，到追上甲时是第分钟；路程是千米；乙整理完装备后到追上甲时与的函数关系式为，可得：
，
解得：，
∴（）
（3）乙整理完装备后至少再骑行分钟可以互相联系.
【知识点】一元一次不等式的应用；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【解答】（3）解：依题意可得：，
解得：，
乙整理完装备后至少再骑行时间为：（分钟）
答：乙整理完装备后至少再骑行分钟可以互相联系.
【分析】（1）根据图象可知甲10分钟骑行了3千米，则甲的骑行速度0.3千米/分钟；
（2）由题意可知在第16分钟乙整理完装备后到追上甲，此时甲的行程是8.4千米，设与的函数关系式为，用待定系数法得解析式为；自变量的取值范围；
（3）根据两人相距不超过千米时，利用速度乘时间等于路程，列出不等式，解得：，当t取最小值27.6分时，乙为分钟。
（1）解：甲的骑行速度（千米/分钟）；
（2）由题意可知：乙整理完装备是第分钟，此时行程是3千米，到追上甲时是第分钟；路程是千米；
乙整理完装备后到追上甲时与的函数关系式为，可得：
，
解得：，
∴（）
（3）依题意可得：，
解得：，
乙整理完装备后至少再骑行时间为：（分钟）
答：乙整理完装备后至少再骑行分钟可以互相联系.
24．【答案】（1）证明：连接，
∵为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即。
（2）证明：如图
∵，即，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线。
（3）解：如图
∵ ，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；三角形的中位线定理；已知余弦值求边长；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（）做辅助线后，利用三角形中位线定理可得，，根据“两直线平行、同位角相等”得出，结合等腰三角形的性质得出，从而求证；
（）根据“两直线平行、同位角相等”得出，然后结合切线的判定即可求证；
（）根据“两直线平行、同位角相等”得出，此时利用三角函数得出，然后结合图形利用线段计算出，解得，进而得到，，，再由可得，最后根据线段的和差关系即可求解．
（1）证明：连接，
∵为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（3）解：∵ ，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在，，
∴，
∴．
25．【答案】（1）
（2）解：正确，
理由如下：如图，连接，
∵点D、E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由折叠可得，，
∵，
∴，
连接，
∵点D、E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，理由如下，
由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由折叠性质得边相等，角相等，即，公共边DF=DF，则(）；
（2）如图，连接，
由三角形的中位线的性质得，两角法证，利用相似三角形的性质，得， 即；
（3）①先根据折叠的性质和勾股定理，得=4，如图，连接，
由三角形的中位线的性质 得，两角法证，利用相似三角形的性质，得，则， ；
②如图，连接，
=，在Rt△BOE中，由勾股定理得 ．
26．【答案】（1）①见解析②
（2）
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：证明：①过点作交于点，如图1所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
是的中点；
②∵在中，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
（2）解：和之间的数量关系为：；理由如下：
过点作 交于点，如图2所示：
四边形是矩形，
，，，
在和中，，，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
设，则，
在中，，
由勾股定理可得：，，
∴，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）①过点作交于点，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质得出即可；
②根据等腰直角三角形的性质得出，再由平行线得出，证出，最后由全等三角形的性质得出，即可得出结论；
（2）作 交于点，由三角函数证出，得出，利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质得出，，设，则，求出，则，得出，即可得出结果．
1 / 1广西壮族自治区桂林市第一中学2025年中考三模数学试题
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A．3.1415 B． C． D．0
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：四个选项中，只有B选项是无理数，其余选项均为有理数。
故答案为：B．
【分析】无理数即无限不循环小数。结合无理数的定义逐项分析发现，只有B选项中的是无限不循环小数，从而得出答案。
2．人工智能AI的爆发，是机遇也是挑战，将改变我们生活的世界．下图是我国人工智能科技的标识，这些标识是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D选项的图形不是轴对称图形；
C选项的图形是轴对称图形，符合题意；
故答案为：C ．
【分析】根据轴对称图形的定义： 一个图形如果存在一条直线，该图形关于这条直线的两侧能够完全重合，则称该图形为轴对称图形。 逐项判断．
3．下列事件是必然事件的是（　　）
A．通常加热到时，水沸腾
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和为
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、通常加热时，水沸腾；是必然事件；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，投中；是随机事件；
C、经过信号灯时，遇到红灯；是随机事件；
D、任意画一个三角形，其内角和为；是不可能事件；
故答案为：A．
【分析】 必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。本题根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，对逐个选项进行分析，即可得出答案。
4．甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得：S=320-80t.
故答案为：C.
【分析】根据货车距离乙地的路程S=甲、乙两地相距-t小时行驶的距离即可求解.
5．如图所示，直线，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：由题意知，，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】由三角形内角和定理得，由，得=35°，；
6．袁隆平海水稻科研团队从甲、乙两种水稻苗中随机抽取部分稻苗测量苗高，算得它们的方差分别为，则下列对苗高的整齐程度描述正确的是（　　）
A．甲更整齐 B．乙更整齐 C．一样整齐 D．无法确定
【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴ 甲更整齐．
故答案为：A．
【分析】根据方差越小数据越稳定可得答案．
7．若，则（　　）
A．11 B．13 C．15 D．17
【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由，变形得到，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题由，移项得出，然后将变形为2（3x+2y）+7，最后将代入计算即可．
8．若一正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为，
∴正多边形的边数是．
故答案为：A．
【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为，则正多形的边数等于外角和除以一个外角的度数．
9．某班级开展活动共花费2300元，但有4位同学因时间冲突缺席．若总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元．设原来有x人参加活动，由题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来有x人参加聚餐，则实际有人参加聚餐，
根据题意列式，
故答案为：D．
【分析】结合条件可知，原来每名同学承担的费用是元，而实际每名同学承担的费用是元，而“总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元”，因此有，从而得出答案。
10．一元二次方程根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴
∴该方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线．若，且图中阴影部分的面积为，则k的值为（　　）
A．6 B．9 C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图所示：
由反比例函数的几何意义可得：，
∵，
∴
∵，
∴=12，
解得：，
故答案为：B
【分析】本题先由反比例函数的几何意义得，结合以及图中信息推出接着计算出，这样，阴影部分的面积就转化为，此时代入计算即可求出k的值。
12．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；整体思想
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
，
，
，
，
故答案为： C.
【分析】如图，连接，
由矩形的性质：对边相等，对角线互相平分且相等，得，在Rt△ABC中，根据勾股定理得则，则，
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分）
13． 要使分式有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义，
∴x-2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，解题即可.
14．请写出一个比小的整数　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据估算无理数的大小结合算术平方根即可求解。
15．若一次函数y＝mx+3的图象经过点（2，9），则m的值是 　 　．
【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵y＝mx+3的图象经过点（2，9） 把x=2，y=9代入y＝mx+3 ，解得m=3
故答案为：3
【分析】用待定系数法将点点（2，9）代入y＝mx+3 ，解得m=3.
16．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意得，白色方格地砖一共有7块，整个区域一共有方格地砖9块，
∴该小球停留在白色区域的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出白色区域在整个地面中所占的块数，则几何图形概率相应的面积与总面积之比．
17．如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的B处，然后沿着射线退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量米，若小宇的眼睛到地面的距离为米，则假山高度为　 　米．
【答案】14
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意知，，，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：．
【分析】
先利用AA证明，再根据相似三角形的性质得到，即，计算求解即可解答．
18．大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径，最顶端点到保温墙的水平距离为4m，到地面的距离为3.6m．现要使得高度为1.1m的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为　 　m．
【答案】9
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：如图，建立坐标系如下：
由题意可得，顶点，
∴设抛物线为：，
∴，
解得：，
∴抛物线为；
当时，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
而，
∴农具活动范围的宽度为；
故答案为：
【分析】如图，以点A为原点，分别以AD与AB为y轴，x轴建立坐标系，顶点为C（4，3.6）
设二次函数的解析式为顶点式： 将点B（10，0）代入，解得a=，则二次函数的解析式为 ，当时，代入，解得 ， ，根据实际意义x=9， 则农具活动范围的宽度为 9.
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】本题根据有理数的运算法则，先分别计算出4×（-2）=-8、32=9、（-8）÷2=-4，然后再进行加减计算即可。
20． 解方程组：
【答案】解：，
把①代入②得：
2（4y+1）-5y=8，
解得：y=2，
把y=2代入方程①得：
x=4×2+1=9，
∴原方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由题意，把方程①代入方程②可得关于y的方程，解方程求出y的值，把求出的y的值代入方程①可得关于x的方程，解方程求出x的值，最后写出结论即可.
21．如图，是菱形的对角线．
（1）作边的垂直平分线，分别与交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图：直线 EF 为所求的图形
（2）解：如图，连接，
四边形是菱形，
，
垂直平分，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）按照尺规作图的要求，作边的垂直平分线；
（2）由菱形的性质，得，，EF垂直平分，由垂直平分线的性质，得，则．
（1）解：见图：直线 EF 为所求的图形
（2）解：如上图，连接，
四边形是菱形，
，
垂直平分，
，
，
．
22．共享单车是人们喜爱的“绿色出行”方式之一．为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机调查了该小区位居民一周内使用共享单车的次数，并整理成如下统计表．
使用次数
人数
（1）求这位居民一周内使用共享单车次数的中位数、众数和平均数；
（2）若该小区有位居民，请你估计一周内使用共享单车的次数在及以上的居民有多少人．
【答案】（1）解：∵共有个数据，
∴数据由小到大排列，中位数为第和第个数据的平均数，
20+20+60=100，20+20+61=101，
∴中位数为，
∵出现的次数最多，
∴众数为，
平均数。
（2）解：，
∴估计一周内使用共享单车的次数在及以上的居民有人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）中位数，即一组数据从小到大或者从大到小排列，中间的数就是中位数，如果中间有两个数，则这两个数的平均数就是中位数；众数，即一组数据中出现次数最多的数；平均数，即将一组数据求和后再除以总个数。本题结合中位数、众数以及平均数的定义，结合统计表信息分析计算即可；
（2）结合统计表，200为居民中，使用次数在及以上的居民有60+20=80人，因此用乘以使用共享单车的次数在及以上的居民人数占比即可求解。
（1）解：∵共有个数据，
∴数据由小到大排列，中位数为第和第个数据的平均数，
∴中位数为，
∵出现的次数最多，
∴众数为，
平均数；
（2）解：，
答：估计一周内使用共享单车的次数在及以上的居民有人．
23．随着城市基础建设的完善，长春市新修了很多绿道，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从伊通河绿道某地出发同向骑行，乙中途停车整理装备用了6分钟，然后继续骑行，追上甲后又骑行了2分钟一起到达终点．甲、乙骑行的路程（千米）与骑行时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲的骑行速度．
（2）求乙整理完装备后到追上甲时与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）两人相距不超过千米时，可以互相联系，直接写出乙整理完装备后至少再骑行多少分钟可以联系到甲．
【答案】（1）解：甲的骑行速度（千米/分钟）；
（2）解：由题意可知：乙整理完装备是第分钟，此时行程是3千米，到追上甲时是第分钟；路程是千米；乙整理完装备后到追上甲时与的函数关系式为，可得：
，
解得：，
∴（）
（3）乙整理完装备后至少再骑行分钟可以互相联系.
【知识点】一元一次不等式的应用；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【解答】（3）解：依题意可得：，
解得：，
乙整理完装备后至少再骑行时间为：（分钟）
答：乙整理完装备后至少再骑行分钟可以互相联系.
【分析】（1）根据图象可知甲10分钟骑行了3千米，则甲的骑行速度0.3千米/分钟；
（2）由题意可知在第16分钟乙整理完装备后到追上甲，此时甲的行程是8.4千米，设与的函数关系式为，用待定系数法得解析式为；自变量的取值范围；
（3）根据两人相距不超过千米时，利用速度乘时间等于路程，列出不等式，解得：，当t取最小值27.6分时，乙为分钟。
（1）解：甲的骑行速度（千米/分钟）；
（2）由题意可知：乙整理完装备是第分钟，此时行程是3千米，到追上甲时是第分钟；路程是千米；
乙整理完装备后到追上甲时与的函数关系式为，可得：
，
解得：，
∴（）
（3）依题意可得：，
解得：，
乙整理完装备后至少再骑行时间为：（分钟）
答：乙整理完装备后至少再骑行分钟可以互相联系.
24．如图，在中，以为直径作分别交于点，且是的中点，过点作于点，的延长线与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：直线是的切线；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即。
（2）证明：如图
∵，即，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线。
（3）解：如图
∵ ，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；三角形的中位线定理；已知余弦值求边长；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（）做辅助线后，利用三角形中位线定理可得，，根据“两直线平行、同位角相等”得出，结合等腰三角形的性质得出，从而求证；
（）根据“两直线平行、同位角相等”得出，然后结合切线的判定即可求证；
（）根据“两直线平行、同位角相等”得出，此时利用三角函数得出，然后结合图形利用线段计算出，解得，进而得到，，，再由可得，最后根据线段的和差关系即可求解．
（1）证明：连接，
∵为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（3）解：∵ ，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在，，
∴，
∴．
25．综合与实践
莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心．
教材重现：
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（）如图，是的边上的中线．
（1）初步观察：
连接，则与的数量关系是：________；
（2）初步探究：
莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由；
（3）拓展探究：
①请帮助莹莹求出的面积；
②连接，求线段的长度．
【答案】（1）
（2）解：正确，
理由如下：如图，连接，
∵点D、E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由折叠可得，，
∵，
∴，
连接，
∵点D、E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，理由如下，
由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由折叠性质得边相等，角相等，即，公共边DF=DF，则(）；
（2）如图，连接，
由三角形的中位线的性质得，两角法证，利用相似三角形的性质，得， 即；
（3）①先根据折叠的性质和勾股定理，得=4，如图，连接，
由三角形的中位线的性质 得，两角法证，利用相似三角形的性质，得，则， ；
②如图，连接，
=，在Rt△BOE中，由勾股定理得 ．
26．【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．
例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点．
【经验运用】
请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．
（1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．
求证：①是的中点；
②CG与BE之间的数量关系是：____________________________；
【拓展延伸】
（2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________；
【答案】（1）①见解析②
（2）
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：证明：①过点作交于点，如图1所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
是的中点；
②∵在中，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
（2）解：和之间的数量关系为：；理由如下：
过点作 交于点，如图2所示：
四边形是矩形，
，，，
在和中，，，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
设，则，
在中，，
由勾股定理可得：，，
∴，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）①过点作交于点，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质得出即可；
②根据等腰直角三角形的性质得出，再由平行线得出，证出，最后由全等三角形的性质得出，即可得出结论；
（2）作 交于点，由三角函数证出，得出，利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质得出，，设，则，求出，则，得出，即可得出结果．
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