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第十三届（2024年5月）海峡两岸青少年（数学）文化交流活动（地区选拔）七年级数学试题
一、填空题。（每题6分，共计60分）
1．月球这一明亮而神秘天体，对人类探索历史产生了深远影响。2024年5月3日嫦娥六号正式开启“月背征途”和“挖宝之旅”。去年的嫦娥五号返回器携带回来了1731克珍贵的月球样品，通过分析月球样品，科学家确定了月球的年龄约为45亿年，数据45亿用科学记数法可表示为　 　.
【答案】4.5×109
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 亿
故答案为：4.5×109.
【分析】根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为所有整数位的个数减1，据此解答即可.
2．某健身达人今年2月份在网上开通直播分享健身经验和健康饮食，吸引了大批粉丝。3月份新增关注人数为12万人，4月份新增关注人数为14.4万人。按这样的增长速度，则接下来　 　月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人。
【答案】6
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设新增关注人数的月平均增长率为x.
由题意，得
解得 .
∴3月到4月该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率为20%.
5月新增关注人数为 17.28(万)，
6月新增关注人数为 (万)，
∴6月开始该健身达人直播的新增关注人数能达到20万.
故答案为：6.
【分析】设新增关注人数的月平均增长率为x，根据“ 3月份新增关注人数为12万人，4月份新增关注人数为14.4万人 ”列方程求出增长率，然后分别根据增长率计算以后几个月的关注人数解答即可.
3．如图，数轴上点A，B，C所对应的数分别为a，b，C且都不为0，BC=2AC。若|2a+b=|2a-3c|-|b-3c|，则|2a+3b+3c|=　 　（用含a，b的式子表示）。
【答案】4a+4b
【知识点】整式的加减运算；数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数；整式条件求值
【解析】【解答】解：∵BC=2AC，
∴b-c=2(c-a)，
∴3c=b+2a，
∴|2a+b|=|2a-3c|-|b-3c|
=|2a-b-2a|-|b-b-2a|
=|-b|-|-2a|=|b|-|2a|，
∴2a < 0， b>0， 2a+b>0，
∴a < 0， b>0， a+b>0，
∴4a+4b>0，
∴|2a+3b+3c|=|2a+3b+b+2a|=|4a+4b|=4a+4b.
故答案为： 4a+4b.
【分析】由BC=2AC可得3c=b+2a，结合|2a+b|=|2a-3c|-|b-3c|可得a < 0， b>0， a+b>0，再进一步解答即可.
4．已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为　 　。
【答案】y=2026
【知识点】解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：
∵关于x的方程 的解为x=2023，
即关于y的方程 -b的解为y=2026.
故答案为：y=2026.
【分析】关于y的方程 可变形为 结合题意可得出y-3=2023，解出y的值即可.
5．如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米：现因施工改造，将广场的长和宽各增大×米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃。计算出花圃的总面积为　 　。（π取3）
【答案】348
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意，得扩大后的广场的长为a=(18+x)m，宽b=(10+x)m，
则ab=18×10+20=200，a-b=(18+x)-
，
∴花圃的总面积
故答案为：348.
【分析】利用x表示扩大后的广场的长a和宽b，根据题意即可得到ab和a-b的值，然后根据完全平方公式的变形求出a2+b2的值解答即可.
6．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为　 　．
【答案】或
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念；解二元二次方程组；分类讨论
【解析】【解答】解：设，
，
，
解得，或
或．
故答案为：或．
【分析】由已知条件设出这两个一次因式分别是与，根据多项式相乘，表示同类项的系数相等，得可求则=-2，b=9或a=9，=-2，则m为43或-78。
7．如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为∠AOB（0°<∠AOB<90°），现从点O引一条射线OC，使∠AOC=m∠AOB，再沿OC把角剪开。若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则m的值为　 　.
【答案】或
【知识点】角的运算；分类讨论
【解析】【解答】解：设 则
所以
①若沿OA折叠，则最大角的度数为2mα，最小角的度数为(
所以
解得
②若沿OB折叠，则最大角的度数为 最小角的度数为，
所以
解得
综上，m的值为或，
故答案为：或.
【分析】设 则 即可得到 然后分为沿沿OA折叠或OB折叠，得到最大角和最小角的值，利用题意列方程解答即可.
8．已知点，其中，，，且x、y、m、n均为整数，那么在平面直角坐标系中点P的可能位置共有　 　个。
【答案】95
【知识点】无理数的估值；点的坐标；解含绝对值的一元一次不等式；平面解析几何
【解析】【解答】解：解： x、y、m、n均为整数，
或 或 或 或
当x+m=-4时， 9个，
当x+m=-3或-2或-1或0或1或2或3时， 11×7=77(个)，
当x+m=4时， 9个，
∴共有9+77+9=95(个)，
故答案为：95.
【分析】先根据 x、y、m、n均为整数，得x=-3，-2，-1，0，1，2，3，y=-4， - 3， - 2， - 1， 0， 1， 2， 3， 4， 再根据x+m= - 4， - 3， - 2， - 1， 0， 1， 2， 3， 4， 分类讨论即可.
9．矩形ABCD内放入两张边长分别为和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，，设，则　 　。
【答案】7
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；整式条件求值
【解析】【解答】解：由
可得：
由图①得：
由图②得：
，
故答案为：7.
【分析】利用面积的和差表示出 根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到b(AD-AB)=7，从而求解.
10．如图，点E、F为长方形ABCD边AD、AB上的一点，连接EB、FC，EB与DF、CF分别交于点P和点M，四边形AEPF的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是　 　（用含、、的式子表示）。
【答案】++
【知识点】整式的加减运算；矩形的性质；用代数式表示几何图形的数量关系；平面解析几何
【解析】【解答】解：设 阴影部分的面积为S，
∵四边形ABCD为矩形，
，
即
即
故答案为：++.
【分析】根据 的面积 的面积=矩形ABCD面积的一半， 的面积矩形ABCD面积的一半即可得出答案.
二、计算题。（每题12分，共计24分）
11．解方程组
【答案】解：原方程组变形为：，
设 ，，
则，
解得：
【知识点】有理数的乘方法则；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】设 ，，把原方程组化为，求出m和n的值，然后根据乘方的定义解出x的值即可.
12．
【答案】解：设，
原式=。
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣换元法
【解析】【分析】设，原式化为，然后去括号，合并同类项解答即可.
三、解答题。（第13题~第16题每题10分，第17题12分，第18题14分，共计66分）
13．已知，关于x的分式方程。当时，求b为何值时，分式方程无解。
【答案】解：把代入分式方程，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
①当时，即，方程无解，
②当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，，
综上所述，或时，分式方程无解；
【知识点】分式方程的无解问题；分类讨论
【解析】【分析】先把分式方程去分母化为整式方程，分两种情况：当11-2b=0时；当11-2b≠0时，进行计算即可解答.
14．实验中学七（1）和七（2）两个班级的学生在劳动实践基地劳动，下图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n（m>n）的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2，分别表示七（1）和七（2）两个班级的基地面积。若m+n=13，mn=40，求S1-S2，的值。
【答案】解：由题意可得，，，
∴，
∵，。
∴。
∴
∴
∵
∴
又 ∵.
∴。
答：的值为39。
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】根据题意得到 再求出m-n=3，再根据因式分解得到 m+n)(m-n)即可得到答案.
15．在数轴上，点A在原点右边，距原点5个单位长度，点B在点A的左边，与点A相距25个单位长度，点M从点A出发，以每秒4个单位的速度在A，B之间往返运动，点N从点B出发，以一定的速度向右运动。
（1）当点N从点B处出发2秒后，点M才开始运动，点M运动4秒后，M，N第一次相遇，求点N的运动速度。
（2）在(1)的情况下，点M，N继续运动t秒，当其中一个点运动到点A时，点M，N均停止运动，当点M，N之间的距离为4个单位长度时，求t的值。
【答案】（1）解： 点A在原点右边，距原点5个单位长度，
点A表示的数为5，
点B在点A的左边，与点A相距25个单位长度，
点B表示的数为；
设点N的运动速度为每秒x个单位，由题意，得：
，
解得：；
答：点N的运动速度为每秒个单位；
（2）解：当 M，N 相遇时，此时点 M 表示的数为：，
∴ 点 M 到达 B 点需要 秒，当点 M 返回到达 A 点时，需要 秒，点 N 到达 A 点需要的时间为 秒，
∴ 当 M 到达 B 点之前，由题意，得：， 解得：；
当 M 从 B 点返回，追上点 N 之前，由题意，得：，
解得：；
当 M 追上点 N 之后，由题意得：，
解得：，
，不符合题意；
综上：或 。
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）根据数轴上点的位置得到点A和B表示的数，根据相遇问题列方程解答即可；
（2）先求出点M，N相遇时点M表示的数，然后求出点M与N到达A的时间，即可得到两点停止运动的时间，然后分为 M 到达 B 点之前； M 从 B 点返回，追上点N之前； M 追上点N之后三种情况列方程求出时间t的值解答即可.
16．规定：若P（xy）是以xy为未知数的二元一次方程ax+b=c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by=c的“理想点”。请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题。
（1）已知A（-2，2），B（2，-1），C（3，-2），请问哪些点是方程的“理想点” 哪些点不是方程的“理想点” 并说明理由；
（2）已知m，n为非负整数，且，若P（）是方程的“理想点”，求的平方根；
（3）已知k是正整数，且P（x，y）是方程和的“理想点”，求点P的坐标。
【答案】（1）解：点B是方程3x+y=5的“理想点”，点A，点C不是方程3x+y=5的“理想点”，理由如下：
∵x=-2，y=2时，3x+y=3x(-2)+2=-6+2=-4≠5；
x=2，y=-1时，3x+y=3x2+(-1)=6-1=5；
×=3，y=-2时，3x+y=3×3-2=9-2=7≠5：
∴点B是方程3x+y=5的“理想点”，点A，点C不是方程3x+y=5的“理想点”；
（2）解：把代入方程，得，又∵，解得，∴ m，n为非负整数，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：根据题意，得，
解得，
是整数，
或
是整数，
或或
或
当时，
，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
综上，P点坐标为(2，-2)或(-2，6)或(1，0)或(-1，4).
【知识点】二元一次方程的解；算术平方根的性质（双重非负性）；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数；二元一次不定方程
【解析】【分析】（1）直接代入点坐标验证是否满足方程，并确认坐标是否为整数；
（2）通过非负整数条件和“理想点”定义，将问题转化为整数方程组求解，再计算平方根；
（3）联立两个方程，通过消元法分析整数解的可能情况，结合k为正整数的条件确定所有可能解.
17．图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成。经测量，该款学生椅的靠背尺寸为50cm×15cm，座垫尺寸为50cm×40cm.图2是靠背与座垫的尺寸示意图。因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅。经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫。已知该板材长为240cm.宽为50cm.（裁切时不计损耗）
（1）若要不造成板材浪费：请你设计出一张该板材的所有裁切方法。
（2）若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
（3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案。
【答案】（1）解：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，根据题意得：
，
∴，
∵m，n为非负整数，
∴，或，或，
∴ 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张；
方法二：裁切靠背8张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背0张和坐垫6张；
故答案为：16，0； 8，3； 0，6；
（2）解：∵ (张)，
∴ 该工厂购进110张该型号板材，能制作成480张学生椅
（3）解：设用其中x张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张，
根据题意得，，
解得，
∵ (张)，
∴ 需要购买该型号板材159张，用其中86张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张（方法不唯一）。
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设一张该板材裁切靠背m张和坐垫n张，由已知“板材的宽度与靠背、座垫的长度相同”可得15m+40n=240，求出m、n的自然数解，即可得出结论；
（2）由题意，求出110张该型号板材的总长度是靠背、座垫的宽度和的倍数，即可得出结论；
（3）由题意选择裁切方法二与裁切方法三搭配 (也可以选择裁切方法一与裁切方法三搭配)，设用x张该板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张该板材裁切靠背0张和坐垫6张，根据“裁切的靠背数量为(700-12)张、裁切的座垫的数量为(700-4)张”得关于x、y的方程组，解方程组即可得出结论.
18．已知，AE//BD∠A=∠D.
（1）如图1.求证：AB//CD：
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H.求证：∠ECF+2∠AFH=∠E+2∠BHF：
（3）如图3.在（2）的条件下，连接AC.若∠ACE=∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M.且2∠E-3∠AFH=20°求∠EAF+∠GMH的度数。
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，过点E作，
∵，
∴，
∴∠PEA=∠EAB，∠PEC= ∠ECF
∵∠AEC=∠PEC-∠PEA，
∴∠AEC=∠ECF-∠EAB，
即∠ECF =∠AEC+∠EAB，
∵AF是∠BAE的平分线，
∴∠EAF=∠FAB=∠EAB
∵FH是∠CFG的平分线，
∠CFH=∠HFG=∠CFG
∵CD∥AB，
∴∠BHF=∠CFH，∠CFA=∠FAB，
设∠FAB=α，∠CFH=β，
∵∠AFH=∠CFH- ∠CFA=∠CFH-∠FAB，
∴∠AFH=β-α，∠BHF=∠CFH=β，
∴∠ECF +2∠AFH=∠AEC+∠EAB+2∠AFH=∠AEC+2β，
∴∠ECF +2∠AFH=∠E+2∠BHF，
（3）解：如图，延长DC至点Q，
∵AB // CD，
∴∠QCA=∠CAB，∠BGM=∠DFG，∠CFH=∠BHF，∠CFA=∠FAG
∵∠ACE=∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ+∠QCA= ∠BAC+∠BGM
∴∠ECQ=∠BGM=∠DFG
∴∠ECQ+∠ECD=180°，∠DFG+∠CFG =180°
∴∠ECF=∠CFG，
由(2)问知：∠ECF+2∠AFH=∠AEC+2∠BHF，∠CFG=2∠CFH=2∠BHF
∴∠AEC=2∠AFH，
∵2∠AEC-3∠AFH=20°，
∴∠AFH =20°，
由（2）问知：∠CFM=2β，∠FHG=β，
∵FH⊥HM，
∴∠FHM =90°，
∴∠GHM=90°-β，
过点M作MN // AB，
∴MN∥CD，
∴∠CFM +∠NMF =180°，∠GHM=∠HMN=90°-β，
∴∠HMB=∠HMN=90°-β，
由（2）问知：∠EAF=∠FAB，
∴∠EAF=∠CFA=∠CFH-∠AFH=β-20°
∴∠EAF+∠GMH=β-20°+90°-β=70°，
∴∠EAF+∠GMH=70°。
【知识点】角平分线的概念；乌鸦嘴模型；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【分析】(1)根据平行线的判定与性质即可证明结论；
(2) 过点E作EP∥CD， 根据AB∥CD， 可得 设 ，根据平行线的判定与性质和角平分线定义，可得结论；
(3) 延长DC至点Q， 过点M作I 结合(2)问可得 的度数.
1 / 1第十三届（2024年5月）海峡两岸青少年（数学）文化交流活动（地区选拔）七年级数学试题
一、填空题。（每题6分，共计60分）
1．月球这一明亮而神秘天体，对人类探索历史产生了深远影响。2024年5月3日嫦娥六号正式开启“月背征途”和“挖宝之旅”。去年的嫦娥五号返回器携带回来了1731克珍贵的月球样品，通过分析月球样品，科学家确定了月球的年龄约为45亿年，数据45亿用科学记数法可表示为　 　.
2．某健身达人今年2月份在网上开通直播分享健身经验和健康饮食，吸引了大批粉丝。3月份新增关注人数为12万人，4月份新增关注人数为14.4万人。按这样的增长速度，则接下来　 　月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人。
3．如图，数轴上点A，B，C所对应的数分别为a，b，C且都不为0，BC=2AC。若|2a+b=|2a-3c|-|b-3c|，则|2a+3b+3c|=　 　（用含a，b的式子表示）。
4．已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为　 　。
5．如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米：现因施工改造，将广场的长和宽各增大×米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃。计算出花圃的总面积为　 　。（π取3）
6．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为　 　．
7．如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为∠AOB（0°<∠AOB<90°），现从点O引一条射线OC，使∠AOC=m∠AOB，再沿OC把角剪开。若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则m的值为　 　.
8．已知点，其中，，，且x、y、m、n均为整数，那么在平面直角坐标系中点P的可能位置共有　 　个。
9．矩形ABCD内放入两张边长分别为和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，，设，则　 　。
10．如图，点E、F为长方形ABCD边AD、AB上的一点，连接EB、FC，EB与DF、CF分别交于点P和点M，四边形AEPF的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是　 　（用含、、的式子表示）。
二、计算题。（每题12分，共计24分）
11．解方程组
12．
三、解答题。（第13题~第16题每题10分，第17题12分，第18题14分，共计66分）
13．已知，关于x的分式方程。当时，求b为何值时，分式方程无解。
14．实验中学七（1）和七（2）两个班级的学生在劳动实践基地劳动，下图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n（m>n）的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2，分别表示七（1）和七（2）两个班级的基地面积。若m+n=13，mn=40，求S1-S2，的值。
15．在数轴上，点A在原点右边，距原点5个单位长度，点B在点A的左边，与点A相距25个单位长度，点M从点A出发，以每秒4个单位的速度在A，B之间往返运动，点N从点B出发，以一定的速度向右运动。
（1）当点N从点B处出发2秒后，点M才开始运动，点M运动4秒后，M，N第一次相遇，求点N的运动速度。
（2）在(1)的情况下，点M，N继续运动t秒，当其中一个点运动到点A时，点M，N均停止运动，当点M，N之间的距离为4个单位长度时，求t的值。
16．规定：若P（xy）是以xy为未知数的二元一次方程ax+b=c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by=c的“理想点”。请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题。
（1）已知A（-2，2），B（2，-1），C（3，-2），请问哪些点是方程的“理想点” 哪些点不是方程的“理想点” 并说明理由；
（2）已知m，n为非负整数，且，若P（）是方程的“理想点”，求的平方根；
（3）已知k是正整数，且P（x，y）是方程和的“理想点”，求点P的坐标。
17．图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成。经测量，该款学生椅的靠背尺寸为50cm×15cm，座垫尺寸为50cm×40cm.图2是靠背与座垫的尺寸示意图。因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅。经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫。已知该板材长为240cm.宽为50cm.（裁切时不计损耗）
（1）若要不造成板材浪费：请你设计出一张该板材的所有裁切方法。
（2）若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
（3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案。
18．已知，AE//BD∠A=∠D.
（1）如图1.求证：AB//CD：
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H.求证：∠ECF+2∠AFH=∠E+2∠BHF：
（3）如图3.在（2）的条件下，连接AC.若∠ACE=∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M.且2∠E-3∠AFH=20°求∠EAF+∠GMH的度数。
答案解析部分
1．【答案】4.5×109
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 亿
故答案为：4.5×109.
【分析】根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为所有整数位的个数减1，据此解答即可.
2．【答案】6
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设新增关注人数的月平均增长率为x.
由题意，得
解得 .
∴3月到4月该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率为20%.
5月新增关注人数为 17.28(万)，
6月新增关注人数为 (万)，
∴6月开始该健身达人直播的新增关注人数能达到20万.
故答案为：6.
【分析】设新增关注人数的月平均增长率为x，根据“ 3月份新增关注人数为12万人，4月份新增关注人数为14.4万人 ”列方程求出增长率，然后分别根据增长率计算以后几个月的关注人数解答即可.
3．【答案】4a+4b
【知识点】整式的加减运算；数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数；整式条件求值
【解析】【解答】解：∵BC=2AC，
∴b-c=2(c-a)，
∴3c=b+2a，
∴|2a+b|=|2a-3c|-|b-3c|
=|2a-b-2a|-|b-b-2a|
=|-b|-|-2a|=|b|-|2a|，
∴2a < 0， b>0， 2a+b>0，
∴a < 0， b>0， a+b>0，
∴4a+4b>0，
∴|2a+3b+3c|=|2a+3b+b+2a|=|4a+4b|=4a+4b.
故答案为： 4a+4b.
【分析】由BC=2AC可得3c=b+2a，结合|2a+b|=|2a-3c|-|b-3c|可得a < 0， b>0， a+b>0，再进一步解答即可.
4．【答案】y=2026
【知识点】解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：
∵关于x的方程 的解为x=2023，
即关于y的方程 -b的解为y=2026.
故答案为：y=2026.
【分析】关于y的方程 可变形为 结合题意可得出y-3=2023，解出y的值即可.
5．【答案】348
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意，得扩大后的广场的长为a=(18+x)m，宽b=(10+x)m，
则ab=18×10+20=200，a-b=(18+x)-
，
∴花圃的总面积
故答案为：348.
【分析】利用x表示扩大后的广场的长a和宽b，根据题意即可得到ab和a-b的值，然后根据完全平方公式的变形求出a2+b2的值解答即可.
6．【答案】或
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念；解二元二次方程组；分类讨论
【解析】【解答】解：设，
，
，
解得，或
或．
故答案为：或．
【分析】由已知条件设出这两个一次因式分别是与，根据多项式相乘，表示同类项的系数相等，得可求则=-2，b=9或a=9，=-2，则m为43或-78。
7．【答案】或
【知识点】角的运算；分类讨论
【解析】【解答】解：设 则
所以
①若沿OA折叠，则最大角的度数为2mα，最小角的度数为(
所以
解得
②若沿OB折叠，则最大角的度数为 最小角的度数为，
所以
解得
综上，m的值为或，
故答案为：或.
【分析】设 则 即可得到 然后分为沿沿OA折叠或OB折叠，得到最大角和最小角的值，利用题意列方程解答即可.
8．【答案】95
【知识点】无理数的估值；点的坐标；解含绝对值的一元一次不等式；平面解析几何
【解析】【解答】解：解： x、y、m、n均为整数，
或 或 或 或
当x+m=-4时， 9个，
当x+m=-3或-2或-1或0或1或2或3时， 11×7=77(个)，
当x+m=4时， 9个，
∴共有9+77+9=95(个)，
故答案为：95.
【分析】先根据 x、y、m、n均为整数，得x=-3，-2，-1，0，1，2，3，y=-4， - 3， - 2， - 1， 0， 1， 2， 3， 4， 再根据x+m= - 4， - 3， - 2， - 1， 0， 1， 2， 3， 4， 分类讨论即可.
9．【答案】7
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；整式条件求值
【解析】【解答】解：由
可得：
由图①得：
由图②得：
，
故答案为：7.
【分析】利用面积的和差表示出 根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到b(AD-AB)=7，从而求解.
10．【答案】++
【知识点】整式的加减运算；矩形的性质；用代数式表示几何图形的数量关系；平面解析几何
【解析】【解答】解：设 阴影部分的面积为S，
∵四边形ABCD为矩形，
，
即
即
故答案为：++.
【分析】根据 的面积 的面积=矩形ABCD面积的一半， 的面积矩形ABCD面积的一半即可得出答案.
11．【答案】解：原方程组变形为：，
设 ，，
则，
解得：
【知识点】有理数的乘方法则；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】设 ，，把原方程组化为，求出m和n的值，然后根据乘方的定义解出x的值即可.
12．【答案】解：设，
原式=。
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣换元法
【解析】【分析】设，原式化为，然后去括号，合并同类项解答即可.
13．【答案】解：把代入分式方程，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
①当时，即，方程无解，
②当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，，
综上所述，或时，分式方程无解；
【知识点】分式方程的无解问题；分类讨论
【解析】【分析】先把分式方程去分母化为整式方程，分两种情况：当11-2b=0时；当11-2b≠0时，进行计算即可解答.
14．【答案】解：由题意可得，，，
∴，
∵，。
∴。
∴
∴
∵
∴
又 ∵.
∴。
答：的值为39。
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】根据题意得到 再求出m-n=3，再根据因式分解得到 m+n)(m-n)即可得到答案.
15．【答案】（1）解： 点A在原点右边，距原点5个单位长度，
点A表示的数为5，
点B在点A的左边，与点A相距25个单位长度，
点B表示的数为；
设点N的运动速度为每秒x个单位，由题意，得：
，
解得：；
答：点N的运动速度为每秒个单位；
（2）解：当 M，N 相遇时，此时点 M 表示的数为：，
∴ 点 M 到达 B 点需要 秒，当点 M 返回到达 A 点时，需要 秒，点 N 到达 A 点需要的时间为 秒，
∴ 当 M 到达 B 点之前，由题意，得：， 解得：；
当 M 从 B 点返回，追上点 N 之前，由题意，得：，
解得：；
当 M 追上点 N 之后，由题意得：，
解得：，
，不符合题意；
综上：或 。
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）根据数轴上点的位置得到点A和B表示的数，根据相遇问题列方程解答即可；
（2）先求出点M，N相遇时点M表示的数，然后求出点M与N到达A的时间，即可得到两点停止运动的时间，然后分为 M 到达 B 点之前； M 从 B 点返回，追上点N之前； M 追上点N之后三种情况列方程求出时间t的值解答即可.
16．【答案】（1）解：点B是方程3x+y=5的“理想点”，点A，点C不是方程3x+y=5的“理想点”，理由如下：
∵x=-2，y=2时，3x+y=3x(-2)+2=-6+2=-4≠5；
x=2，y=-1时，3x+y=3x2+(-1)=6-1=5；
×=3，y=-2时，3x+y=3×3-2=9-2=7≠5：
∴点B是方程3x+y=5的“理想点”，点A，点C不是方程3x+y=5的“理想点”；
（2）解：把代入方程，得，又∵，解得，∴ m，n为非负整数，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：根据题意，得，
解得，
是整数，
或
是整数，
或或
或
当时，
，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
综上，P点坐标为(2，-2)或(-2，6)或(1，0)或(-1，4).
【知识点】二元一次方程的解；算术平方根的性质（双重非负性）；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数；二元一次不定方程
【解析】【分析】（1）直接代入点坐标验证是否满足方程，并确认坐标是否为整数；
（2）通过非负整数条件和“理想点”定义，将问题转化为整数方程组求解，再计算平方根；
（3）联立两个方程，通过消元法分析整数解的可能情况，结合k为正整数的条件确定所有可能解.
17．【答案】（1）解：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，根据题意得：
，
∴，
∵m，n为非负整数，
∴，或，或，
∴ 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张；
方法二：裁切靠背8张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背0张和坐垫6张；
故答案为：16，0； 8，3； 0，6；
（2）解：∵ (张)，
∴ 该工厂购进110张该型号板材，能制作成480张学生椅
（3）解：设用其中x张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张，
根据题意得，，
解得，
∵ (张)，
∴ 需要购买该型号板材159张，用其中86张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张（方法不唯一）。
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设一张该板材裁切靠背m张和坐垫n张，由已知“板材的宽度与靠背、座垫的长度相同”可得15m+40n=240，求出m、n的自然数解，即可得出结论；
（2）由题意，求出110张该型号板材的总长度是靠背、座垫的宽度和的倍数，即可得出结论；
（3）由题意选择裁切方法二与裁切方法三搭配 (也可以选择裁切方法一与裁切方法三搭配)，设用x张该板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张该板材裁切靠背0张和坐垫6张，根据“裁切的靠背数量为(700-12)张、裁切的座垫的数量为(700-4)张”得关于x、y的方程组，解方程组即可得出结论.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，过点E作，
∵，
∴，
∴∠PEA=∠EAB，∠PEC= ∠ECF
∵∠AEC=∠PEC-∠PEA，
∴∠AEC=∠ECF-∠EAB，
即∠ECF =∠AEC+∠EAB，
∵AF是∠BAE的平分线，
∴∠EAF=∠FAB=∠EAB
∵FH是∠CFG的平分线，
∠CFH=∠HFG=∠CFG
∵CD∥AB，
∴∠BHF=∠CFH，∠CFA=∠FAB，
设∠FAB=α，∠CFH=β，
∵∠AFH=∠CFH- ∠CFA=∠CFH-∠FAB，
∴∠AFH=β-α，∠BHF=∠CFH=β，
∴∠ECF +2∠AFH=∠AEC+∠EAB+2∠AFH=∠AEC+2β，
∴∠ECF +2∠AFH=∠E+2∠BHF，
（3）解：如图，延长DC至点Q，
∵AB // CD，
∴∠QCA=∠CAB，∠BGM=∠DFG，∠CFH=∠BHF，∠CFA=∠FAG
∵∠ACE=∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ+∠QCA= ∠BAC+∠BGM
∴∠ECQ=∠BGM=∠DFG
∴∠ECQ+∠ECD=180°，∠DFG+∠CFG =180°
∴∠ECF=∠CFG，
由(2)问知：∠ECF+2∠AFH=∠AEC+2∠BHF，∠CFG=2∠CFH=2∠BHF
∴∠AEC=2∠AFH，
∵2∠AEC-3∠AFH=20°，
∴∠AFH =20°，
由（2）问知：∠CFM=2β，∠FHG=β，
∵FH⊥HM，
∴∠FHM =90°，
∴∠GHM=90°-β，
过点M作MN // AB，
∴MN∥CD，
∴∠CFM +∠NMF =180°，∠GHM=∠HMN=90°-β，
∴∠HMB=∠HMN=90°-β，
由（2）问知：∠EAF=∠FAB，
∴∠EAF=∠CFA=∠CFH-∠AFH=β-20°
∴∠EAF+∠GMH=β-20°+90°-β=70°，
∴∠EAF+∠GMH=70°。
【知识点】角平分线的概念；乌鸦嘴模型；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【分析】(1)根据平行线的判定与性质即可证明结论；
(2) 过点E作EP∥CD， 根据AB∥CD， 可得 设 ，根据平行线的判定与性质和角平分线定义，可得结论；
(3) 延长DC至点Q， 过点M作I 结合(2)问可得 的度数.
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