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河南商丘市第一高级中学2025-2026学年高一第二学期3月份质量检测
数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设命题，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若，，，则大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数．对于，，都有成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，，则的最小值为7
B．当时，的最小值是4
C．设，，且，则的最小值是
D．当时，的最小值是3
10．设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ）
A．的取值范围是
B．的图象与直线在上的交点恰有2个
C．的图象与直线在上的交点恰有2个
D．在上不单调
11．已知函数，若方程的四个由小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．最大值为
三、填空题
12．定义平面斜坐标系，记，，分别是与轴，轴正方向相同的单位向量，，则记向量的斜坐标为.已知在斜坐标系中，向量，的斜坐标分别为，，且与的夹角为，则等于_____.
13．若时，取得最大值，则______．
14．已知函数，若不等式对任意均成立，则实数a的取值范围是______．
四、解答题
15．已知．
(1)若，求；
(2)若，的夹角为，求；
(3)若，求与的夹角为．
16．已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1．
(1)求函数解析式；
(2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值；
17．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放（，）个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.
(1)若只投放一次个单位的洗衣液，当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升，求的值；
(2)若只投放一次6个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
(3)若第一次投放3个单位的洗衣液，9分钟后再投放3个单位的洗衣液，问能否使接下来的6分钟内持续有效去污？说明理由.
18．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)当时，求的值域；
(3)已知为锐角，且，求的值．
19．已知定义在上的函数满足，．
(1)求值：；
(2)当时．
①证明：在上单调递增；
②设为锐角，求的最大值．
参考答案
1．B
2．D
3．A
4．B
5．C
6．A
7．A
8．D
9．BC
10．ACD
11．ABD
12．#
13．/
14．
15．（1）若，则与的夹角为0或．
所以或．
（2）因为
，
所以．
（3）若，则，即，
所以，
即，所以，
又，所以．
16．（1）当时，函数单调递增，
函数在区间上的最大值与最小值分别为，，
由题意可得：，
此时区间为；当时，此时，显然区间不成立，
综上所述：，即；
（2），
令，因为，所以，
所以，
所以，，
，，
所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0.
17．（1）由，
则当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升时，
可得，即，解得；
（2）由题意可得，则，
则当时，由，解得，即，
当时，由，解得，即，
综上所述，得，即有效去污时间可达12分钟；
（3）则当时，
，
当且仅当时，等号成立，
即9分钟后再投放3个单位的洗衣液能使接下来的6分钟内持续有效去污.
18．（1），
令，
所以的单调递增区间为，；
（2）当时，所以，
所以，所以的值域为；
（3）因为，设，
则，
由于，故，所以，
所以，，
故.
19（1）由已知，
所以，
有，故，
所以.
（2）（i）由已知，
设，则，
结合可知，
因为，所以，
所以，所以在上单调递增．
（ii）设，
由已知，
所以，
设，则，
．
由基本不等式，
取等，即或，所以，
由于单调递增，所以，故的最大值为，
由已知，
，
所以，
所以的最大值为．

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