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广东省广州市增城区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．）
1．2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，AD选项对应的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B选项对应的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形；C选项对应的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形。
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。本题结合轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行图形分析即可得出答案。
2．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为．
故答案为：B．
【分析】抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，其中顶点坐标为（h，k）。本题根据抛物线的顶点式，将h=3、k=7互换即可直接得到顶点坐标．
3． 在函数图象上的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A：当x=2时，，则不在函数图象上，不符合题意；
B：当x=-2时，，则不在函数图象上，不符合题意；
C：当x=1时，，则在函数图象上，符合题意；
D：当x=6时，，则不在函数图象上，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将各点坐标代入解析式逐项进行判断即可求出答案.
4．如图，的直径为，弦，垂足为，，则的长为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
则，
，，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】如图，连接，
则，根据垂径定理可得，在Rt△AOM中，由勾股定理得=3，则CM=2.
5． 小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下：
抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000
钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390
钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39
根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（　　）
A．540 B．555 C．570 D．585
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】 解：由表格信息可得：频率逐渐稳定在0.39左右.
∴当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为：1500×0.39=585
故答案为：D
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
6．关于x的方程根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴方程无实根
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式可得方程无实根.
7．设，，是反比例函数图象上的三点，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；有理数的大小比较-直接比较法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，是反比例函数图象上的三点，
∴，，，
∵1＞-1＞-2，
∴．
故答案为：．
【分析】本题结合条件“，，是反比例函数图象上的三点 ”，因此可以直接代入分别计算出y1、y2、y3的值，最后对比大小即可。
8．某数学兴趣小组学习了相似三角形的知识后，在同一时刻的太阳光线下，利用标杆测量树的高度．移动标杆向树靠近，让标杆的影子顶端与树的影子顶端重合于点，如图，已知标杆，测得，，则树高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：结合条件和图中信息可知，，，
，
，
，
，，
，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】本题结合条件和图中信息，首先可以得出，，此时即可得出推出，然后列出对应边成比例，接着计算出EB=14m，最后将EB=14m、、代入计算即可。
9．如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
由旋转可知：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据旋转可知：，求出即可求解.
10．如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（　　）
A．玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为
B．直线的解析式为
C．点到杯口的距离为
D．点到点的距离为
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为，
把、代入得
，解得：，
∴，故A说法正确；
∵，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为
把、代入得：
，解得：，
∴直线：，故B说法正确；
由，解得，（舍）
当，，
∴，
此时点P到杯口的距离为，故C说法不正确；
，故D说法正确；
故选：C．
【分析】A、，，，，则可利用待定系数法求得抛物线的解析式为；B、再利用待定系数法求出直线的解析式；C、联立直线与抛物线的解析式即可求出点坐标；D、利用两点距离公式可直接计算出PD的长度．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．已知，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：在中，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】在中，由三角形内角和定理得=70°，由，根据相似三角形对应角相等，得=70°．
12． 已知，是一元二次方程的两个根，则　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根
∴3
故答案为：3
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
13．如图，在中，点，分别在，上，，若，则　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】本题根据条件“在中，”，即可得出，然后根据相似三角形的性质，即“相似三角形面积比等于相似比的平方”计算即可。
14．若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：从二次函数图象可知，该二次函数的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，
1-=-1，
∴该二次函数与轴的另一个交点为，
∴关于的一元二次方程的另一个解，
故答案为：．
【分析】本题先结合图象得出该二次函数的对称轴为直线，并且发现该二次函数与轴的一个交点为，从而结合对称轴和交点，计算得出该二次函数与轴的另一个交点为，最后依据二次函数的性质即可得出另一个解。
15．在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵半径，圆心角的扇形纸板，
∴扇形的弧长为，
设圆锥的底面圆半径为r，
∴，
解得，
故圆锥的高为：，
故答案为：．
【分析】利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
16．如图，点A在双曲线上，点B在直线上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论：
①②当时，
③④
则所有正确结论的序号是　 　．
【答案】②③
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：直线，
当时，，
，
，
四边形是菱形，
，
A与B关于x轴对称，设AB交x轴于点D，
在中，，
，故①错误；
在双曲线上，
，
，
当时，，故②正确；
，
，
点B在直线上，
，
，
，故③正确；
，故④错误；
综上，正确结论的序号是②③，
故答案为：②③．
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，得，判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征得，当时，，判断②正确；将点代入直线，则，即判断③正确；，判断④错误．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．用求根公式解方程
【答案】解：原一元二次方程中，，，
，
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本题先确定原一元二次方程中，a、b、c的具体数值，然后代入计算确定该一元二次方程有两个不相等的实数根，最后利用求根公式代入计算即可。
18．如图，若，．求证： ．
【答案】证明：，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】等角相加同角，角相等，得，利用相似三角形的条件AA判定
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O对称的；
（2）写出，，三个点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由（1）得，，，．
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）先根据关于原点对称的特征，即关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数，分别找到A、B、C对应点，，的位置，然后顺次连接，，即可；
（2）根据（1）的作图结果以及“关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数”，即可写出，，三个点的坐标．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由（1）得，，，．
20．在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．左边固定的托盘中放置一个重物，右边可左右移动的托盘中放置若干数量的砝码．改变托盘与之间的距离（单位：），调整托盘中砝码的总质量（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到的数据如下表格：
托盘与点之间的距离/
托盘中砝码的总质量/
（1）根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似反映砝码总质量关于托盘与点之间的距离的函数关系，并求出这个函数的解析式；
（2）根据（1）中求出的函数解析式，当托盘与点之间的距离为时，求托盘中砝码的总质量．
【答案】（1）解：从表格发现，的值恒定为600，因此选择用反比例函数表示与的关系，
设反比例函数为，
将，代入，即，
解得，
∴反比例函数为．
（2）解：∵反比例函数为，
当时，，
∴当托盘与点之间的距离为时，托盘中砝码的总质量为．
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据表格发现，与的乘积为定值600，结合反比例函数定义可以判定其为反比例函数，因此假设出反比例函数关系式，任选一组数据代入即可求出值，从而确定函数解析式为；
（2）结合（1）的计算结果，将代入已求出的反比例函数解析式中，即可计算得出对应的砝码总质量=10g．
（1）解：根据表格，的值恒定，则选择反比例函数表示与的关系，
设反比例函数为，
将，代入，可得，
故反比例函数为．
（2）解：对于反比例函数为，
当时，，
故当托盘与点之间的距离为时，托盘中砝码的总质量为．
21． 第十五届全国运动会在粤港澳三地举行．甲和乙申请足球A、篮球B、排球C和乒乓球D四项赛事中的某一项做志愿者，他们被随机分配到这四项赛事中的任意一项的可能性相同．
（1）写出“甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的概率；
（2）求甲和乙恰好被分配到同一项赛事做志愿者的概率．
【答案】（1）解：由题意可得：
“甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的概率 “甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的概率
（2）解：表格如下图所示：
A B C D
A (A，A) (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (B，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (C，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) (D，D)
共有16种可能的结果，这些结果出现的可能性相等.
其中甲和乙被分配到同一项赛事做志愿者的有4种，分别是(A，A)，(B，B)，(C， C)， (D， D). P(甲和乙恰好被分配到同一项赛事做志愿者
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出甲和乙恰好被分配到同一项赛事做志愿者的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
（2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【答案】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意列式，解得，
∴A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元。
（2）解：由题意得，，
∵，，
∴当时，W最大，最大值为4500．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据“购进A款200个，B款300个，需花费14000元”，列式200x+300y=14000；再根据“购进A款100个，B款200个，需花费8000元”，列式100x+200y=8000，最后联立方程组求解即可；
（2）从条件中得出每个A款纪念品的利润为元，而销售量为个，结合公式“利润=单个利润×销量”列出W关于a的二次函数关系式，变形后利用二次函数的性质即可求出W的最大值．
（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：由题意得，
，
∵，，
∴当，即时，W最大，最大值为4500．
23．如图所示，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点．
（1）证明是的切线；
（2），为上一点，到弦的最大距离为8．
①尺规作图作出此时的点，保留作图痕迹；
②求的长．
【答案】（1）证明：连接，，
∵为的直径，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴是的中位线，
∴．
又∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线．
（2）解：①如图，做的垂直平分线与相交于点，点即为所求．
②如图，的垂直平分线与相交于点，连接，
∵，
∴．
设的半径为r，
在中，，
即
解得，
∴．
∵是的中位线，
∴．
∵为的直径，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接，，求出，可得，根据三角形的中位线得出，推出，根据切线的判定即可得证；
（2）①做的垂直平分线与相交于点，点即为所求；②的垂直平分线与相交于点，连接，根据勾股定理求出的半径为r，进而根据三角形的面积即可求得，解答即可．
（1）证明：连接，，
∵为的直径，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴是的中位线，
∴．
又∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线．
（2）解：①如图，做的垂直平分线与相交于点，点即为所求．
②如图，的垂直平分线与相交于点，连接，
∵，
∴．
设的半径为r，
在中，，
即
解得，
∴．
∵是的中位线，
∴．
∵为的直径，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在第一象限，当的面积最大时，求点P的坐标；
（3）过点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标．
【答案】（1）解：将代入，
得，解得，
∴函数的解析式为。
（2）解：过点P作x轴的垂线交直线于点M，如图，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大为8，此时点P的坐标为。
（3）或
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：由折叠可知，，
∵在y轴上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或．
【分析】（1）用待定系数法将代入，求出a和b之后，即可得出函数的解析式；
（2）做辅助线后，结合图中信息先求出C点坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的解析式为，因为P点在第一象限且在抛物线上，此时可以先假设，则，此时△PBC可以看成两个三角形，分别是△PCM和△PBM，而这两个三角形的底都是PM，高分别为C点到PM的垂直距离以及B点到PM的垂直距离，因此可以综合看成△PBC的底为PM、高为B点的横坐标，列式计算得出，最后结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）先依据折叠性质得出，再结合“两直线平行、内错角相等”得出，接着推导出，此时可以假设，，利用m和绝对值列式得出PM和CM，从而得到方程，最后求出m的值即可。
（1）解：将代入，
∴，
解得，
∴函数的解析式为；
（2）解：过点P作x轴的垂线交直线于点M，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大为8，此时点P的坐标为；
（3）解：由折叠可知，，
∵在y轴上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或．
25．如图1，正方形的边长为4，以B为圆心的与，分别交于点E，F，连接，．
（1）求的长；
（2）连接，把绕点B顺时针旋转，在旋转的过程中．
①求的取值范围；
②如图2，取的中点G，连接并延长交直线于点H，点P为正方形内一动点，求的最小值．
【答案】（1）解：四边形是正方形，
，
结合条件可知，，
∴在Rt△EBF中，，
．
（2）解：①如图，连接，
当分别为的切线时，最大或最小，
为正方形的对角线，
，，
当点E移动到位置时，最小，
，
，
，
，
当点E移动到位置时，最大，
，
，
，
，
．
②如图，延长到，使得，连接，
则是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
点分别为线段的中点，
，
，
，
，
取的中点O，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，
则，，，
，
，
，
则当点五点共线时，取最小值，且最小值为，
，，
，
，
故的最小值为．
【知识点】勾股定理；切线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）结合正方形的性质以及条件“ B为圆心的与，分别交于点E，F ”，得出是等腰直角三角形，然后利用勾股定理列式计算即可；
（2）①结合图中信息可知，当分别为的切线时，最大或最小，即点E移动到位置时，最小，点E移动到位置时，最大，然后利用三角函数分别进行计算即可；
②做辅助线后，结合等腰直角三角形的性质，并利用SAS证明，从而得到；然后由角度转换得到；做辅助线，并结合旋转性质分析出，当点五点共线时，取最小值，且最小值为，分别求出的长度，即可求解．
（1）解：四边形是正方形，
，
，
．
（2）解：①如图，连接，
当分别为的切线时，最大或最小，
为正方形的对角线，
，，
当点E移动到位置时，最小，
，
，
，
，
当点E移动到位置时，最大，
，
，
，
，
．
②如图，延长到，使得，连接，
则是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
点分别为线段的中点，
，
，
，
，
取的中点O，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，
则，，，
，
，
，
则当点五点共线时，取最小值，且最小值为，
，，
，
，
故的最小值为．
1 / 1广东省广州市增城区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．）
1．2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3． 在函数图象上的点是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，的直径为，弦，垂足为，，则的长为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
5． 小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下：
抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000
钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390
钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39
根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（　　）
A．540 B．555 C．570 D．585
6．关于x的方程根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
7．设，，是反比例函数图象上的三点，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．某数学兴趣小组学习了相似三角形的知识后，在同一时刻的太阳光线下，利用标杆测量树的高度．移动标杆向树靠近，让标杆的影子顶端与树的影子顶端重合于点，如图，已知标杆，测得，，则树高为（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（　　）
A．玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为
B．直线的解析式为
C．点到杯口的距离为
D．点到点的距离为
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．已知，，，则的度数为　 　．
12． 已知，是一元二次方程的两个根，则　 　．
13．如图，在中，点，分别在，上，，若，则　 　．
14．若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解　 　．
15．在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是　 　．
16．如图，点A在双曲线上，点B在直线上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论：
①②当时，
③④
则所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．用求根公式解方程
18．如图，若，．求证： ．
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O对称的；
（2）写出，，三个点的坐标．
20．在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．左边固定的托盘中放置一个重物，右边可左右移动的托盘中放置若干数量的砝码．改变托盘与之间的距离（单位：），调整托盘中砝码的总质量（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到的数据如下表格：
托盘与点之间的距离/
托盘中砝码的总质量/
（1）根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似反映砝码总质量关于托盘与点之间的距离的函数关系，并求出这个函数的解析式；
（2）根据（1）中求出的函数解析式，当托盘与点之间的距离为时，求托盘中砝码的总质量．
21． 第十五届全国运动会在粤港澳三地举行．甲和乙申请足球A、篮球B、排球C和乒乓球D四项赛事中的某一项做志愿者，他们被随机分配到这四项赛事中的任意一项的可能性相同．
（1）写出“甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的概率；
（2）求甲和乙恰好被分配到同一项赛事做志愿者的概率．
22．2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
（2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
23．如图所示，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点．
（1）证明是的切线；
（2），为上一点，到弦的最大距离为8．
①尺规作图作出此时的点，保留作图痕迹；
②求的长．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在第一象限，当的面积最大时，求点P的坐标；
（3）过点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标．
25．如图1，正方形的边长为4，以B为圆心的与，分别交于点E，F，连接，．
（1）求的长；
（2）连接，把绕点B顺时针旋转，在旋转的过程中．
①求的取值范围；
②如图2，取的中点G，连接并延长交直线于点H，点P为正方形内一动点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，AD选项对应的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B选项对应的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形；C选项对应的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形。
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。本题结合轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行图形分析即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为．
故答案为：B．
【分析】抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，其中顶点坐标为（h，k）。本题根据抛物线的顶点式，将h=3、k=7互换即可直接得到顶点坐标．
3．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A：当x=2时，，则不在函数图象上，不符合题意；
B：当x=-2时，，则不在函数图象上，不符合题意；
C：当x=1时，，则在函数图象上，符合题意；
D：当x=6时，，则不在函数图象上，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将各点坐标代入解析式逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
则，
，，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】如图，连接，
则，根据垂径定理可得，在Rt△AOM中，由勾股定理得=3，则CM=2.
5．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】 解：由表格信息可得：频率逐渐稳定在0.39左右.
∴当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为：1500×0.39=585
故答案为：D
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴方程无实根
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式可得方程无实根.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；有理数的大小比较-直接比较法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，是反比例函数图象上的三点，
∴，，，
∵1＞-1＞-2，
∴．
故答案为：．
【分析】本题结合条件“，，是反比例函数图象上的三点 ”，因此可以直接代入分别计算出y1、y2、y3的值，最后对比大小即可。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：结合条件和图中信息可知，，，
，
，
，
，，
，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】本题结合条件和图中信息，首先可以得出，，此时即可得出推出，然后列出对应边成比例，接着计算出EB=14m，最后将EB=14m、、代入计算即可。
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
由旋转可知：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据旋转可知：，求出即可求解.
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为，
把、代入得
，解得：，
∴，故A说法正确；
∵，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为
把、代入得：
，解得：，
∴直线：，故B说法正确；
由，解得，（舍）
当，，
∴，
此时点P到杯口的距离为，故C说法不正确；
，故D说法正确；
故选：C．
【分析】A、，，，，则可利用待定系数法求得抛物线的解析式为；B、再利用待定系数法求出直线的解析式；C、联立直线与抛物线的解析式即可求出点坐标；D、利用两点距离公式可直接计算出PD的长度．
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：在中，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】在中，由三角形内角和定理得=70°，由，根据相似三角形对应角相等，得=70°．
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根
∴3
故答案为：3
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】本题根据条件“在中，”，即可得出，然后根据相似三角形的性质，即“相似三角形面积比等于相似比的平方”计算即可。
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：从二次函数图象可知，该二次函数的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，
1-=-1，
∴该二次函数与轴的另一个交点为，
∴关于的一元二次方程的另一个解，
故答案为：．
【分析】本题先结合图象得出该二次函数的对称轴为直线，并且发现该二次函数与轴的一个交点为，从而结合对称轴和交点，计算得出该二次函数与轴的另一个交点为，最后依据二次函数的性质即可得出另一个解。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵半径，圆心角的扇形纸板，
∴扇形的弧长为，
设圆锥的底面圆半径为r，
∴，
解得，
故圆锥的高为：，
故答案为：．
【分析】利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
16．【答案】②③
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：直线，
当时，，
，
，
四边形是菱形，
，
A与B关于x轴对称，设AB交x轴于点D，
在中，，
，故①错误；
在双曲线上，
，
，
当时，，故②正确；
，
，
点B在直线上，
，
，
，故③正确；
，故④错误；
综上，正确结论的序号是②③，
故答案为：②③．
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，得，判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征得，当时，，判断②正确；将点代入直线，则，即判断③正确；，判断④错误．
17．【答案】解：原一元二次方程中，，，
，
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本题先确定原一元二次方程中，a、b、c的具体数值，然后代入计算确定该一元二次方程有两个不相等的实数根，最后利用求根公式代入计算即可。
18．【答案】证明：，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】等角相加同角，角相等，得，利用相似三角形的条件AA判定
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由（1）得，，，．
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）先根据关于原点对称的特征，即关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数，分别找到A、B、C对应点，，的位置，然后顺次连接，，即可；
（2）根据（1）的作图结果以及“关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数”，即可写出，，三个点的坐标．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由（1）得，，，．
20．【答案】（1）解：从表格发现，的值恒定为600，因此选择用反比例函数表示与的关系，
设反比例函数为，
将，代入，即，
解得，
∴反比例函数为．
（2）解：∵反比例函数为，
当时，，
∴当托盘与点之间的距离为时，托盘中砝码的总质量为．
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据表格发现，与的乘积为定值600，结合反比例函数定义可以判定其为反比例函数，因此假设出反比例函数关系式，任选一组数据代入即可求出值，从而确定函数解析式为；
（2）结合（1）的计算结果，将代入已求出的反比例函数解析式中，即可计算得出对应的砝码总质量=10g．
（1）解：根据表格，的值恒定，则选择反比例函数表示与的关系，
设反比例函数为，
将，代入，可得，
故反比例函数为．
（2）解：对于反比例函数为，
当时，，
故当托盘与点之间的距离为时，托盘中砝码的总质量为．
21．【答案】（1）解：由题意可得：
“甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的概率 “甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的概率
（2）解：表格如下图所示：
A B C D
A (A，A) (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (B，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (C，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) (D，D)
共有16种可能的结果，这些结果出现的可能性相等.
其中甲和乙被分配到同一项赛事做志愿者的有4种，分别是(A，A)，(B，B)，(C， C)， (D， D). P(甲和乙恰好被分配到同一项赛事做志愿者
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出甲和乙恰好被分配到同一项赛事做志愿者的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意列式，解得，
∴A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元。
（2）解：由题意得，，
∵，，
∴当时，W最大，最大值为4500．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据“购进A款200个，B款300个，需花费14000元”，列式200x+300y=14000；再根据“购进A款100个，B款200个，需花费8000元”，列式100x+200y=8000，最后联立方程组求解即可；
（2）从条件中得出每个A款纪念品的利润为元，而销售量为个，结合公式“利润=单个利润×销量”列出W关于a的二次函数关系式，变形后利用二次函数的性质即可求出W的最大值．
（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：由题意得，
，
∵，，
∴当，即时，W最大，最大值为4500．
23．【答案】（1）证明：连接，，
∵为的直径，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴是的中位线，
∴．
又∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线．
（2）解：①如图，做的垂直平分线与相交于点，点即为所求．
②如图，的垂直平分线与相交于点，连接，
∵，
∴．
设的半径为r，
在中，，
即
解得，
∴．
∵是的中位线，
∴．
∵为的直径，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接，，求出，可得，根据三角形的中位线得出，推出，根据切线的判定即可得证；
（2）①做的垂直平分线与相交于点，点即为所求；②的垂直平分线与相交于点，连接，根据勾股定理求出的半径为r，进而根据三角形的面积即可求得，解答即可．
（1）证明：连接，，
∵为的直径，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴是的中位线，
∴．
又∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线．
（2）解：①如图，做的垂直平分线与相交于点，点即为所求．
②如图，的垂直平分线与相交于点，连接，
∵，
∴．
设的半径为r，
在中，，
即
解得，
∴．
∵是的中位线，
∴．
∵为的直径，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴．
24．【答案】（1）解：将代入，
得，解得，
∴函数的解析式为。
（2）解：过点P作x轴的垂线交直线于点M，如图，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大为8，此时点P的坐标为。
（3）或
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：由折叠可知，，
∵在y轴上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或．
【分析】（1）用待定系数法将代入，求出a和b之后，即可得出函数的解析式；
（2）做辅助线后，结合图中信息先求出C点坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的解析式为，因为P点在第一象限且在抛物线上，此时可以先假设，则，此时△PBC可以看成两个三角形，分别是△PCM和△PBM，而这两个三角形的底都是PM，高分别为C点到PM的垂直距离以及B点到PM的垂直距离，因此可以综合看成△PBC的底为PM、高为B点的横坐标，列式计算得出，最后结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）先依据折叠性质得出，再结合“两直线平行、内错角相等”得出，接着推导出，此时可以假设，，利用m和绝对值列式得出PM和CM，从而得到方程，最后求出m的值即可。
（1）解：将代入，
∴，
解得，
∴函数的解析式为；
（2）解：过点P作x轴的垂线交直线于点M，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大为8，此时点P的坐标为；
（3）解：由折叠可知，，
∵在y轴上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或．
25．【答案】（1）解：四边形是正方形，
，
结合条件可知，，
∴在Rt△EBF中，，
．
（2）解：①如图，连接，
当分别为的切线时，最大或最小，
为正方形的对角线，
，，
当点E移动到位置时，最小，
，
，
，
，
当点E移动到位置时，最大，
，
，
，
，
．
②如图，延长到，使得，连接，
则是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
点分别为线段的中点，
，
，
，
，
取的中点O，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，
则，，，
，
，
，
则当点五点共线时，取最小值，且最小值为，
，，
，
，
故的最小值为．
【知识点】勾股定理；切线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）结合正方形的性质以及条件“ B为圆心的与，分别交于点E，F ”，得出是等腰直角三角形，然后利用勾股定理列式计算即可；
（2）①结合图中信息可知，当分别为的切线时，最大或最小，即点E移动到位置时，最小，点E移动到位置时，最大，然后利用三角函数分别进行计算即可；
②做辅助线后，结合等腰直角三角形的性质，并利用SAS证明，从而得到；然后由角度转换得到；做辅助线，并结合旋转性质分析出，当点五点共线时，取最小值，且最小值为，分别求出的长度，即可求解．
（1）解：四边形是正方形，
，
，
．
（2）解：①如图，连接，
当分别为的切线时，最大或最小，
为正方形的对角线，
，，
当点E移动到位置时，最小，
，
，
，
，
当点E移动到位置时，最大，
，
，
，
，
．
②如图，延长到，使得，连接，
则是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
点分别为线段的中点，
，
，
，
，
取的中点O，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，
则，，，
，
，
，
则当点五点共线时，取最小值，且最小值为，
，，
，
，
故的最小值为．
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