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广东省广州市南沙区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．明天不会下雨
B．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是2
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．圆中最长的弦是直径
4．如图，是的直径，是的弦，，则为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，把绕点O逆时针旋转一定角度，得到，则下列结论不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个根为1
7．已知点，，都在反比例函数图象上，则（　　）
A． B． C． D．
8．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的半径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约（　　）
A． B． C． D．
9．已知一次函数，k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．二次函数y=x2-4x+3的顶点坐标是　 　.
12．已知一元二次方程的两个实数根分别为，则　 　．
13．中国传统折扇展开形状近似扇形，如图一扇子完全打开后，扇骨，扇形的面积是，则这把扇子外边缘的长是　 　．（结果保留）
14．列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到　 　．
15．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为　 　．
16．如图，的半径为2，四边形内接于，圆心O到的距离等于．下列说法中：①的长为2；②；③ 若劣弧被点D分为两部分，，则；④若点E是线段上一动点，连接，过点C作于点F，则的最小值是．所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．解方程：x2-2x-3=0
18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．画出将绕点B按顺时针方向旋转所得到的．
19．电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________；
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率．
20．为更好优化交通与城市治理，某街道推进停车场建设，计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为16米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为221平方米．
（1）设车道的宽度是x米，则停车位的横向长度长是　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）求车道的宽．
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若抛物线过点，求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，求a的值．
22．如图1，是的直径，是的一条弦，于H，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，延长至点F，使得，求证：为的切线．
23．如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4．
（1）请写出：点坐标为　 　，点坐标为　 　，点的坐标为　 　；
（2）观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围；
（3）连接，求面积．
24．中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标志．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案．
【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】
问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度，杯口宽，，杯体近似看成抛物线状（杯体厚度不计），当杯中盛满水时的最大深度．
任务一 如图2，以杯底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．求杯体的抛物线解析式．
任务二 如图3，把瓷杯绕点B缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面CH与杯口的夹角为45°时停止倾斜（水面CH与y轴相交于点S，与杯体相交于点H）． ①求此时杯里水面的宽度CH； ②求此时杯里水的最大深度．
25．如图，正方形的边长为，是正方形内一动点，连接，．
（1）如图1，连接，若，，
①的度数为______；
②如图2，射线与的平分线相交于，求的长；
（2）如图3，为上一点，，连接，，．若，求面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、不是整式方程，因此不是一元二次方程；
B、是一元一次方程，不是一元二次方程；
C、是二元一次方程，不是一元二次方程；
D、只含有一个未知数，未知数的最高次项的次数是2，左右两边都是整式的方程，因此是一元二次方程；
故答案为：D．
【分析】只含有一个未知数，含未知数的最高次项的次数是2，左右两边都是整式的方程是一元二次方程。本题根据一元二次方程的定义逐项进行分析判断即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．【答案】D
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、明天不会下雨，是随机事件，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是2，是随机事件，不符合题意；
C、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D、圆中最长的弦是直径，是必然事件，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用必然事件的定义及特征（必然事件是指在一定的条件下，某些事件在每次试验中必然会发生）逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：是的直径，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】由直径可得，由同弧所对的圆周角相等，得，再利用三角形内角和定理得．
5．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵把绕点O逆时针旋转一定角度得到，
∴，，，
而无法得到，
故答案为：B．
【分析】本题根据旋转的性质，即旋转前后的图形对应边、对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，因此得出，，，然后结合选项进行判断即可．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ＝（ 2）2 4×3×1＝ 8＜0，
∴方程3x2 2x＋1＝0没有实数根．
故答案为：C．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝ 8＜0，进而可得出方程3x2 2x＋1＝0没有实数根，此题得解．
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，，都在反比例函数图象上，
将，，分别代入反比例函数中，
，，．
∵-3＜-2＜3，
，
故答案为：C．
【分析】本题结合条件，先将点、、的坐标分别代入函数解析式，从而求出、、的值，最后比较这三个值的大小即可．
8．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
S阴影部分=，
∴在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约．
故答案为：A．
【分析】本题先根据“两直线平行、同旁内角互补”计算得出，然后再根据扇形面积公式代入计算即可．
9．【答案】A
【知识点】概率公式；一次函数图象、性质与系数的关系；用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
即k=2，b=-1或k=2，b=-2，有2种情况，
而k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，有，即6种等可能的结果，
∴；
故答案为：A．
【分析】本题先根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，判断出，此时即可得出有2种情况；然后再列出k和b的所有可能性有6种情况，最后利用概率公式列式计算即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：从图上看出，抛物线开口向下，
∴；
∵抛物线对称轴x=，即；
根据图象，当，时，而对称轴为，
∴时，．
①∵，，，∴，①错误；
②当时，该函数取最大值4a-2b+c，因此对任意实数，有，化简得，②正确；
③当时，，根据对称性，当时，，代入，得，即，③正确；
④∵和为图象上两点，且，
∴，．
即，
整理化简得，
∵，
∴，
解得，④正确；
综上，②③④正确，共个．
故答案为：C．
【分析】本题依据二次函数的开口情况确定a＜0，依据对称轴变形，结合图象中抛物线与x轴的交点情况和对称轴，计算分析出c＜0，此时即可判断①；依据当时，该函数取最大值4a-2b+c，可以列出不等式，变形即可判断②；利用对称性和函数图象情况，计算即可判断③；结合不等式的形式列式化简即可判断④。
11．【答案】（2，-1）
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2 4x＋3＝（x 2）2 1，
∴其顶点为（2， 1）．
故答案为：（2， 1）．
【分析】依据题意，由二次函数y＝x2 4x＋3＝（x 2）2 1，进而可以判断得解．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴．
故答案为：．
【分析】当一元二次方程（a≠0）的两个不相同的实数根分别为，则。本题中a=1，b=2，c=-1，依据公式，代入即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设，
∵扇形的面积是，
∴，解得，
∴这把扇子外边缘=，
故答案为：．
【分析】本题先根据扇形的面积公式，将r=24cm、扇形的面积是，代入列式计算求出n=120，然后依据弧长公式代入计算即可。
14．【答案】240
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设该反比例函数关系式为
将代入反比例函数中，得解得
∴该反比例函数关系式为
当h时，，
∴列车要在内到达，则速度至少需要提高到，
故答案为：.
【分析】本题先假设反比例函数关系式然后结合图中信息，利用待定系数法将代入，即可求出反比例函数解析式，最后将h代入函数解析式求解的值，即可得出答案。
15．【答案】7
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从图②可以得出概率为，
长为，宽为的长方形的面积=5×4=，
设不规则图案的面积为，则，
解得，
∴不规则图案的面积大约为，
故答案为： ．
【分析】本题首先观察图②，可以发现图②中的频率随着实验次数的增加，基本稳定在0.35，由此得到相应的概率。然后计算出长方形的面积，由不规则图形的面积除以长方形的面积等于，由此计算即可。
16．【答案】①③④．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：①∵圆心O到的距离等于，
∴，
∴，
∵的半径为2，
∴，
在中，，
∴；①正确；
②∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴；②不正确；
③连接，
∵，
∴，
∵，
∴；③正确；
④取的中点T，连接，
∵，
∴，
∵点T是的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的值，
∵是等边三角形，点T是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，故④正确；
综上所述：正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【分析】先根据垂径定理得到，在中利用勾股定理计算出，计算即可判断①；先证明出是等边三角形，结合等边三角形的性质得出，从而推出，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，计算出的度数，即可判断②；利用“弧长比等于圆周角比”得出 ，然后可计算出 ，即可判断③；做辅助线后，依据，可推出当三点共线时，有最小值，最小值为的值，利用等面积法可求出的长，据此可判断④．
17．【答案】解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解方程的步骤进行计算得到答案。
18．【答案】解：如图所示，即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】先以B为中心，将AB顺时针旋转90°，得到对应点A1，然后以B为中心，将BC顺时针旋转90°，得到对应点B1，最后顺次连接即可．
19．【答案】（1）
（2）解：如图：
　 A B C D
A 　 AB AC AD
B BA 　 BC BD
C CA CB 　 CD
D DA DB DC 　
从表中可以看出，取出的2张卡片一共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果分别是AC和CA，有2种，
∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率P=．
故答案为：（1）；
【分析】（1）从条件可以看出，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，利用概率公式列式计算即可得答案．
（2）先列表，从表中发现一共有12种可能，而取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果只有2种，再利用概率公式列式计算即得出答案．
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，
∴第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为．
故答案为：；
（2）解：如图：
共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有2种，
∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为．
20．【答案】（1）
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
∴车道的宽为3米．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵车道的宽度是x米，
∴x+AB=20，
即米，
故答案为：（1）；
【分析】（1）结合图形可知，车道宽度+AB=20米，而车道的宽度是x米，即x+AB=20，移项即用x来表示AB；
（2）从图上可以看出，一个停车位的长AB=米，一个停车位的宽=米，而停车位是长方形，因此两个停车位的面积为2×=，然后变形计算即可得出答案。
（1）解：由题意得，米，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：车道的宽为3米．
21．【答案】（1）解：将代入，得，
解得，
∴；
（2）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，
∴，
解得或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；点到直线的距离；绝对值的概念与意义；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将代入抛物线中，求出a即可得出函数解析式；
（2）先将抛物线变形为顶点式，即可得出顶点坐标，然后根据抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，利用绝对值列出方程，求解即可．
（1）解：把代入，得，
解得，
∴；
（2）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，
∴，解得或．
22．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，是的一条弦，，
∴，
∴，
∵，
∴。
（2）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，是的一条弦，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）结合条件和图中信息，利用垂径定理得到，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得出，最后再由圆周角定理“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可得到；
（2）连接后，利用垂径定理和圆周角定理可以推出，结合条件即可综合推出，再根据等边对等角推出；依据圆周角定理可以得出，此时可以利用直角三角形两个锐角互余列式，从而变形推出，最后根据切线的判定即可证明结论．
（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，是的一条弦，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，是的一条弦，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
23．【答案】（1）；；
（2）
（3）解：如图，取中点，连接D．
∴是的中位线，
∴．，
∵轴，
∴轴.
对于，到的垂直距离为，对于，到的垂直距离为，
∴，，
∴．
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：∵点是函数图象上一点，且横坐标为，
将x=4代入，得，
∴点的坐标为．
∵，即点是线段的中点，
设点的坐标为，由中点坐标公式得，，
解得，，
∴点的坐标为．
∵轴，
∴点的纵坐标为，
将y=2代入中，即，解得，
∴点的坐标为；
故答案为：；；；
（2）解：对于函数，当时，随的增大而减小，
当时，，
∴；
【分析】（1）先将点的横坐标代入反比例函数中即可求出其纵坐标；再由，此时可以利用中点坐标公式列式求点的坐标；最后根据轴确定点B的纵坐标与C点的纵坐标相同都是2，代入反比例函数解析式中即可求出点的坐标；
（2）根据反比例函数的单调性得出，当时，函数值随增大而减小，然后将代入函数中求出y=1，最后根据条件和反比例函数图象以及性质。即可确定的取值范围；
（3）取的中点，确定是的中位线，利用中位线定理即可得出轴；此时可以将拆分为与，分别确定两个三角形的底和高之后列式计算出面积，最后求和即可．
（1）解：∵点在函数的图象上，且横坐标为，代入得，
∴点的坐标为．
∵，
∴点是线段的中点，
设点的坐标为，由中点坐标公式得，，
解得，，
∴点的坐标为．
∵轴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为，代入得，解得，
∴点的坐标为；
故答案为：；；．
（2）解：对于函数，当时，随的增大而减小，且时，且，
∴；
（3）解：如图，取中点，连接D．
∴是的中位线，
∴．，
∵轴，
∴轴.
对于，到的垂直距离为，对于，到的垂直距离为，
∴，，
∴．
24．【答案】解：任务一：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得，
∴杯体的抛物线解析式为．
任务二：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴，
∴，
∴杯里水面的宽度为．
②将直线：向下平移得到直线：，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为杯里水的最大深度，设直线与轴交于点，过点作于，
联立，
得：，
∵只有一个交点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴杯里水的最大深度为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；平行线之间的距离；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】任务一：结合条件可以先求出C点坐标和E点坐标，然后结合图中信息假设出抛物线解析式，最后利用待定系数法将C点坐标代入求解即可；
任务二：①通过等腰三角形的性质，计算先求出点的坐标，再利用待定系数法将S点和C点坐标代入求出直线的解析式，通过直线和抛物线的解析式联立方程组求得交点，最后利用勾股定理列式计算即可求两点间距离；
②分析得出，将直线向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为杯里水的最大深度；此时可以做辅助线，并联立直线与抛物线的解析式得到一个一元二次方程，根据直线与抛物线只有一个交点计算求出，此时即可得直线的解析式以及，进而求出，再放到中，利用勾股定理求出即可得结论．
25．【答案】（1）①；
②解：∵，
∴，
∵，是的平分线，
∴垂直平分，
∴，
∴，
如图，连接，
在中，，
∵是等边三角形，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴。
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵
∴
∴是直角三角形，
∴
∴
如图，以为斜边作等腰直角，则，以为圆心为半径作圆，
∴
∴
∴，即在以为圆心为半径的上运动，
过点作于点，则在上时，取得最小值，面积取得最小值
如图，过点作的平行线，分别交的延长线于点，连接，
∴
∴是等腰直角三角形
∵正方形的边长为，，
∴，
在中，，
∵，则，
∴，
∴
∴，
同理可得
∴
设，则
在中，
∴
解得：
∴
∴面积的最小值为．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（1）解：①，四边形是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
，
，
∴∠BPC=∠BCP，，
，
是等边三角形，
，
；
故答案为：（1）①135°；
【分析】（1）①先利用正方形的性质得出AB=BC，并计算求出，再结合条件 ，可以推出∠BPC=∠BCP，，此时利用三角形内角和计算出，并得出是等边三角形，利用等边三角形的性质得出，最后求和即可得出答案；
②先依据平角定义计算出，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出垂直平分，从而利用垂直平分线的性质得出，等边对等角推出，做辅助线后，结合等腰直角三角形的性质得出，接着放到中，利用勾股定理列式计算即可得出答案；
（2）将绕点顺时针旋转得到，结合旋转的性质推出，，依据条件，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，则，比进一步计算出，结合图中信息从而得出在以为圆心为半径的上运动；过点作于点，则在上时，取得最小值，面积取得最小值，再勾股定理求得的长，根据三角形面积公式，即可求解．
（1）解：①四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
；
②∵
∴
∵，是的平分线
∴垂直平分
∴
∴
如图，连接，
在中，
∵是等边三角形，
∴
设，则，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
∴
方法二，如图，过点作于点，
同理可得，
∵是等边三角形，
∴
∴，
∴
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到
∴，，
∴，
∵
∴
∴是直角三角形，
∴
∴
如图，以为斜边作等腰直角，则，以为圆心为半径作圆，
∴
∴
∴，即在以为圆心为半径的上运动，
过点作于点，则在上时，取得最小值，面积取得最小值
如图，过点作的平行线，分别交的延长线于点，连接，
∴
∴是等腰直角三角形
∵正方形的边长为，，
∴，
在中，，
∵，则，
∴，
∴
∴，
同理可得
∴
设，则
在中，
∴
解得：
∴
∴面积的最小值为
．
1 / 1广东省广州市南沙区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、不是整式方程，因此不是一元二次方程；
B、是一元一次方程，不是一元二次方程；
C、是二元一次方程，不是一元二次方程；
D、只含有一个未知数，未知数的最高次项的次数是2，左右两边都是整式的方程，因此是一元二次方程；
故答案为：D．
【分析】只含有一个未知数，含未知数的最高次项的次数是2，左右两边都是整式的方程是一元二次方程。本题根据一元二次方程的定义逐项进行分析判断即可得出答案。
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．明天不会下雨
B．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是2
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．圆中最长的弦是直径
【答案】D
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、明天不会下雨，是随机事件，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是2，是随机事件，不符合题意；
C、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D、圆中最长的弦是直径，是必然事件，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用必然事件的定义及特征（必然事件是指在一定的条件下，某些事件在每次试验中必然会发生）逐项分析判断即可.
4．如图，是的直径，是的弦，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：是的直径，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】由直径可得，由同弧所对的圆周角相等，得，再利用三角形内角和定理得．
5．如图，把绕点O逆时针旋转一定角度，得到，则下列结论不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵把绕点O逆时针旋转一定角度得到，
∴，，，
而无法得到，
故答案为：B．
【分析】本题根据旋转的性质，即旋转前后的图形对应边、对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，因此得出，，，然后结合选项进行判断即可．
6．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个根为1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ＝（ 2）2 4×3×1＝ 8＜0，
∴方程3x2 2x＋1＝0没有实数根．
故答案为：C．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝ 8＜0，进而可得出方程3x2 2x＋1＝0没有实数根，此题得解．
7．已知点，，都在反比例函数图象上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，，都在反比例函数图象上，
将，，分别代入反比例函数中，
，，．
∵-3＜-2＜3，
，
故答案为：C．
【分析】本题结合条件，先将点、、的坐标分别代入函数解析式，从而求出、、的值，最后比较这三个值的大小即可．
8．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的半径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
S阴影部分=，
∴在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约．
故答案为：A．
【分析】本题先根据“两直线平行、同旁内角互补”计算得出，然后再根据扇形面积公式代入计算即可．
9．已知一次函数，k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；一次函数图象、性质与系数的关系；用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
即k=2，b=-1或k=2，b=-2，有2种情况，
而k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，有，即6种等可能的结果，
∴；
故答案为：A．
【分析】本题先根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，判断出，此时即可得出有2种情况；然后再列出k和b的所有可能性有6种情况，最后利用概率公式列式计算即可．
10．抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：从图上看出，抛物线开口向下，
∴；
∵抛物线对称轴x=，即；
根据图象，当，时，而对称轴为，
∴时，．
①∵，，，∴，①错误；
②当时，该函数取最大值4a-2b+c，因此对任意实数，有，化简得，②正确；
③当时，，根据对称性，当时，，代入，得，即，③正确；
④∵和为图象上两点，且，
∴，．
即，
整理化简得，
∵，
∴，
解得，④正确；
综上，②③④正确，共个．
故答案为：C．
【分析】本题依据二次函数的开口情况确定a＜0，依据对称轴变形，结合图象中抛物线与x轴的交点情况和对称轴，计算分析出c＜0，此时即可判断①；依据当时，该函数取最大值4a-2b+c，可以列出不等式，变形即可判断②；利用对称性和函数图象情况，计算即可判断③；结合不等式的形式列式化简即可判断④。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．二次函数y=x2-4x+3的顶点坐标是　 　.
【答案】（2，-1）
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2 4x＋3＝（x 2）2 1，
∴其顶点为（2， 1）．
故答案为：（2， 1）．
【分析】依据题意，由二次函数y＝x2 4x＋3＝（x 2）2 1，进而可以判断得解．
12．已知一元二次方程的两个实数根分别为，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴．
故答案为：．
【分析】当一元二次方程（a≠0）的两个不相同的实数根分别为，则。本题中a=1，b=2，c=-1，依据公式，代入即可得出答案。
13．中国传统折扇展开形状近似扇形，如图一扇子完全打开后，扇骨，扇形的面积是，则这把扇子外边缘的长是　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设，
∵扇形的面积是，
∴，解得，
∴这把扇子外边缘=，
故答案为：．
【分析】本题先根据扇形的面积公式，将r=24cm、扇形的面积是，代入列式计算求出n=120，然后依据弧长公式代入计算即可。
14．列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到　 　．
【答案】240
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设该反比例函数关系式为
将代入反比例函数中，得解得
∴该反比例函数关系式为
当h时，，
∴列车要在内到达，则速度至少需要提高到，
故答案为：.
【分析】本题先假设反比例函数关系式然后结合图中信息，利用待定系数法将代入，即可求出反比例函数解析式，最后将h代入函数解析式求解的值，即可得出答案。
15．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为　 　．
【答案】7
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从图②可以得出概率为，
长为，宽为的长方形的面积=5×4=，
设不规则图案的面积为，则，
解得，
∴不规则图案的面积大约为，
故答案为： ．
【分析】本题首先观察图②，可以发现图②中的频率随着实验次数的增加，基本稳定在0.35，由此得到相应的概率。然后计算出长方形的面积，由不规则图形的面积除以长方形的面积等于，由此计算即可。
16．如图，的半径为2，四边形内接于，圆心O到的距离等于．下列说法中：①的长为2；②；③ 若劣弧被点D分为两部分，，则；④若点E是线段上一动点，连接，过点C作于点F，则的最小值是．所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①③④．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：①∵圆心O到的距离等于，
∴，
∴，
∵的半径为2，
∴，
在中，，
∴；①正确；
②∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴；②不正确；
③连接，
∵，
∴，
∵，
∴；③正确；
④取的中点T，连接，
∵，
∴，
∵点T是的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的值，
∵是等边三角形，点T是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，故④正确；
综上所述：正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【分析】先根据垂径定理得到，在中利用勾股定理计算出，计算即可判断①；先证明出是等边三角形，结合等边三角形的性质得出，从而推出，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，计算出的度数，即可判断②；利用“弧长比等于圆周角比”得出 ，然后可计算出 ，即可判断③；做辅助线后，依据，可推出当三点共线时，有最小值，最小值为的值，利用等面积法可求出的长，据此可判断④．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．解方程：x2-2x-3=0
【答案】解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解方程的步骤进行计算得到答案。
18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．画出将绕点B按顺时针方向旋转所得到的．
【答案】解：如图所示，即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】先以B为中心，将AB顺时针旋转90°，得到对应点A1，然后以B为中心，将BC顺时针旋转90°，得到对应点B1，最后顺次连接即可．
19．电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________；
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率．
【答案】（1）
（2）解：如图：
　 A B C D
A 　 AB AC AD
B BA 　 BC BD
C CA CB 　 CD
D DA DB DC 　
从表中可以看出，取出的2张卡片一共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果分别是AC和CA，有2种，
∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率P=．
故答案为：（1）；
【分析】（1）从条件可以看出，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，利用概率公式列式计算即可得答案．
（2）先列表，从表中发现一共有12种可能，而取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果只有2种，再利用概率公式列式计算即得出答案．
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，
∴第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为．
故答案为：；
（2）解：如图：
共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有2种，
∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为．
20．为更好优化交通与城市治理，某街道推进停车场建设，计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为16米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为221平方米．
（1）设车道的宽度是x米，则停车位的横向长度长是　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）求车道的宽．
【答案】（1）
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
∴车道的宽为3米．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵车道的宽度是x米，
∴x+AB=20，
即米，
故答案为：（1）；
【分析】（1）结合图形可知，车道宽度+AB=20米，而车道的宽度是x米，即x+AB=20，移项即用x来表示AB；
（2）从图上可以看出，一个停车位的长AB=米，一个停车位的宽=米，而停车位是长方形，因此两个停车位的面积为2×=，然后变形计算即可得出答案。
（1）解：由题意得，米，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：车道的宽为3米．
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若抛物线过点，求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，求a的值．
【答案】（1）解：将代入，得，
解得，
∴；
（2）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，
∴，
解得或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；点到直线的距离；绝对值的概念与意义；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将代入抛物线中，求出a即可得出函数解析式；
（2）先将抛物线变形为顶点式，即可得出顶点坐标，然后根据抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，利用绝对值列出方程，求解即可．
（1）解：把代入，得，
解得，
∴；
（2）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，
∴，解得或．
22．如图1，是的直径，是的一条弦，于H，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，延长至点F，使得，求证：为的切线．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，是的一条弦，，
∴，
∴，
∵，
∴。
（2）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，是的一条弦，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）结合条件和图中信息，利用垂径定理得到，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得出，最后再由圆周角定理“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可得到；
（2）连接后，利用垂径定理和圆周角定理可以推出，结合条件即可综合推出，再根据等边对等角推出；依据圆周角定理可以得出，此时可以利用直角三角形两个锐角互余列式，从而变形推出，最后根据切线的判定即可证明结论．
（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，是的一条弦，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，是的一条弦，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
23．如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4．
（1）请写出：点坐标为　 　，点坐标为　 　，点的坐标为　 　；
（2）观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围；
（3）连接，求面积．
【答案】（1）；；
（2）
（3）解：如图，取中点，连接D．
∴是的中位线，
∴．，
∵轴，
∴轴.
对于，到的垂直距离为，对于，到的垂直距离为，
∴，，
∴．
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：∵点是函数图象上一点，且横坐标为，
将x=4代入，得，
∴点的坐标为．
∵，即点是线段的中点，
设点的坐标为，由中点坐标公式得，，
解得，，
∴点的坐标为．
∵轴，
∴点的纵坐标为，
将y=2代入中，即，解得，
∴点的坐标为；
故答案为：；；；
（2）解：对于函数，当时，随的增大而减小，
当时，，
∴；
【分析】（1）先将点的横坐标代入反比例函数中即可求出其纵坐标；再由，此时可以利用中点坐标公式列式求点的坐标；最后根据轴确定点B的纵坐标与C点的纵坐标相同都是2，代入反比例函数解析式中即可求出点的坐标；
（2）根据反比例函数的单调性得出，当时，函数值随增大而减小，然后将代入函数中求出y=1，最后根据条件和反比例函数图象以及性质。即可确定的取值范围；
（3）取的中点，确定是的中位线，利用中位线定理即可得出轴；此时可以将拆分为与，分别确定两个三角形的底和高之后列式计算出面积，最后求和即可．
（1）解：∵点在函数的图象上，且横坐标为，代入得，
∴点的坐标为．
∵，
∴点是线段的中点，
设点的坐标为，由中点坐标公式得，，
解得，，
∴点的坐标为．
∵轴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为，代入得，解得，
∴点的坐标为；
故答案为：；；．
（2）解：对于函数，当时，随的增大而减小，且时，且，
∴；
（3）解：如图，取中点，连接D．
∴是的中位线，
∴．，
∵轴，
∴轴.
对于，到的垂直距离为，对于，到的垂直距离为，
∴，，
∴．
24．中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标志．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案．
【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】
问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度，杯口宽，，杯体近似看成抛物线状（杯体厚度不计），当杯中盛满水时的最大深度．
任务一 如图2，以杯底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．求杯体的抛物线解析式．
任务二 如图3，把瓷杯绕点B缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面CH与杯口的夹角为45°时停止倾斜（水面CH与y轴相交于点S，与杯体相交于点H）． ①求此时杯里水面的宽度CH； ②求此时杯里水的最大深度．
【答案】解：任务一：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得，
∴杯体的抛物线解析式为．
任务二：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴，
∴，
∴杯里水面的宽度为．
②将直线：向下平移得到直线：，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为杯里水的最大深度，设直线与轴交于点，过点作于，
联立，
得：，
∵只有一个交点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴杯里水的最大深度为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；平行线之间的距离；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】任务一：结合条件可以先求出C点坐标和E点坐标，然后结合图中信息假设出抛物线解析式，最后利用待定系数法将C点坐标代入求解即可；
任务二：①通过等腰三角形的性质，计算先求出点的坐标，再利用待定系数法将S点和C点坐标代入求出直线的解析式，通过直线和抛物线的解析式联立方程组求得交点，最后利用勾股定理列式计算即可求两点间距离；
②分析得出，将直线向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为杯里水的最大深度；此时可以做辅助线，并联立直线与抛物线的解析式得到一个一元二次方程，根据直线与抛物线只有一个交点计算求出，此时即可得直线的解析式以及，进而求出，再放到中，利用勾股定理求出即可得结论．
25．如图，正方形的边长为，是正方形内一动点，连接，．
（1）如图1，连接，若，，
①的度数为______；
②如图2，射线与的平分线相交于，求的长；
（2）如图3，为上一点，，连接，，．若，求面积的最小值．
【答案】（1）①；
②解：∵，
∴，
∵，是的平分线，
∴垂直平分，
∴，
∴，
如图，连接，
在中，，
∵是等边三角形，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴。
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵
∴
∴是直角三角形，
∴
∴
如图，以为斜边作等腰直角，则，以为圆心为半径作圆，
∴
∴
∴，即在以为圆心为半径的上运动，
过点作于点，则在上时，取得最小值，面积取得最小值
如图，过点作的平行线，分别交的延长线于点，连接，
∴
∴是等腰直角三角形
∵正方形的边长为，，
∴，
在中，，
∵，则，
∴，
∴
∴，
同理可得
∴
设，则
在中，
∴
解得：
∴
∴面积的最小值为．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（1）解：①，四边形是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
，
，
∴∠BPC=∠BCP，，
，
是等边三角形，
，
；
故答案为：（1）①135°；
【分析】（1）①先利用正方形的性质得出AB=BC，并计算求出，再结合条件 ，可以推出∠BPC=∠BCP，，此时利用三角形内角和计算出，并得出是等边三角形，利用等边三角形的性质得出，最后求和即可得出答案；
②先依据平角定义计算出，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出垂直平分，从而利用垂直平分线的性质得出，等边对等角推出，做辅助线后，结合等腰直角三角形的性质得出，接着放到中，利用勾股定理列式计算即可得出答案；
（2）将绕点顺时针旋转得到，结合旋转的性质推出，，依据条件，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，则，比进一步计算出，结合图中信息从而得出在以为圆心为半径的上运动；过点作于点，则在上时，取得最小值，面积取得最小值，再勾股定理求得的长，根据三角形面积公式，即可求解．
（1）解：①四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
；
②∵
∴
∵，是的平分线
∴垂直平分
∴
∴
如图，连接，
在中，
∵是等边三角形，
∴
设，则，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
∴
方法二，如图，过点作于点，
同理可得，
∵是等边三角形，
∴
∴，
∴
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到
∴，，
∴，
∵
∴
∴是直角三角形，
∴
∴
如图，以为斜边作等腰直角，则，以为圆心为半径作圆，
∴
∴
∴，即在以为圆心为半径的上运动，
过点作于点，则在上时，取得最小值，面积取得最小值
如图，过点作的平行线，分别交的延长线于点，连接，
∴
∴是等腰直角三角形
∵正方形的边长为，，
∴，
在中，，
∵，则，
∴，
∴
∴，
同理可得
∴
设，则
在中，
∴
解得：
∴
∴面积的最小值为
．
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