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2026年高考数学模拟卷（新高考·新课标Ⅰ卷）
第一部分 选择题（共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集，集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 实轴 B. 虚轴 C. 第二象限 D. 第四象限
3. 已知一组数据的平均值为4，方差为2，现加入数据4和6，则这8个数据的方差为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
4. 已知锐角满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 设数列满足，，则的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
7. 在正四棱锥中，是棱的中点，平面将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数（），若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9. 设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，则下列命题正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，使得
D. ，
11. 已知是定义在上的奇函数，，且为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D. 的周期为4
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知均为非负数，且，则的最小值为______。
13. 记等差数列的前项和为，若，，则数列的前6项和为______。
14. 已知圆与圆，则圆的公切线最多有________条；若这些公切线中，有3条公切线的交点落在轴上，则另外2条公切线交点与原点连线的斜率为________。（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为，已知。
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的值。
16.（本小题满分15分）
已知数列的前项和为，且（）。
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和。
17.（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点。
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。
18.（本小题满分17分）
已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且。
（1）求直线的方程；
（2）设点是抛物线上异于的一点，直线分别交轴于点，求证：为定值（为坐标原点）。
19.（本小题满分17分）
已知函数（）。
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数有两个零点（），证明：。
参考答案与详细解析
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1. 【答案】A
【解析】由题意得，全集，，则，故选A。
2. 【答案】C
【解析】化简复数：，对应复平面内的点为，位于第二象限，故选C。
3. 【答案】A
【解析】原6个数据的总和为，加入4和6后，8个数据的总和为，平均值为。原方差，即。新方差为，其中，，，因原数据平均值为4，故，代入得，新方差为，故选A。
4. 【答案】B
【解析】因为为锐角，所以。又，结合正弦函数在上的单调性，可知会导致，与锐角矛盾，故修正为，此时。由两角差公式：，故选B。
5. 【答案】B
【解析】由椭圆定义得，又，故，。因为，所以，即，化简得，故离心率，故选B。
6. 【答案】A
【解析】由，变形得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，故，即，故选A。
7. 【答案】B
【解析】设正四棱锥的底面边长为，高为，其体积为。取的中点，连接，因是的中点，故，又正四棱锥底面为正方形，，故，即平面截正四棱锥所得截面为四边形。利用等体积法，三棱锥与三棱锥的底面面积比为，高之比为1:1，故，体积较大部分为，因此体积比为，故选B。
8. 【答案】A
【解析】当时，，满足。当时，由得。令（），求导得。令，则（），故在上单调递增，，因此，在上单调递增。由洛必达法则，，故，因此。综上，实数的取值范围是，故选A。
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9. 【答案】AC
【解析】A选项：由条件概率公式，，正确；B选项：只有当相互独立时，，题干未说明独立，错误；C选项：由乘法公式，，正确；D选项：只有当互斥时，，错误。故选AC。
10. 【答案】BCD
【解析】A选项：，因，故，函数值不相等，错误；B选项：不等式变形为，令，在上单调递增，故，正确；C选项：令，，在上，先正后负，先增后减，故存在，使得，正确；D选项：令，，在上，，故单调递减，所以，正确。故选BCD。
11. 【答案】A
【解析】由为偶函数，得；又为定义在上的奇函数，故。令，则，故A正确；令，则，故B错误；由，令，得，再令，得，故的周期为8，D错误；由周期为8，且，可得，，，，故。因2026=8×253+2，故，C错误。综上，正确答案为A。
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 【答案】
【解析】由得，代入得，。二次函数开口向上，对称轴为，代入得最小值为。
13. 【答案】24
【解析】由等差数列性质，，故；，故，因此公差，首项。题干中“最大值”应为笔误，实际为求前6项和，计算得，故答案为24。
14. 【答案】4；
【解析】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径。当两圆外离时，公切线数量最多，此时，故公切线最多有4条。若3条公切线的交点落在轴上，设该交点为，根据公切线性质解得，即。设斜率存在的公切线方程为，由圆心到切线距离等于半径，联立解得，即另外2条公切线交点与原点连线的斜率为。
四、解答题（共77分）
15.（本小题满分13分）
【解析】（1）由三角形内角和定理，，代入已知等式得：
2\sin A\cos B = \sin(A + B) + \sin(B - A)（2分）
由两角和与差的正弦公式展开：，，代入化简得：
2\sin A\cos B = (\sin A\cos B + \cos A\sin B) + (\sin B\cos A - \sin A\cos B) = 2\sin B\cos A（5分）
整理得，即。（6分）
因，故，结合（2）中面积和边长条件，可得。（6分）
（2）由三角形面积公式，，代入，，得，解得。（9分）
由余弦定理，，代入，，，得，即，故。（11分）
因，且，故。（13分）
16.（本小题满分15分）
【解析】（1）当时，，即，解得。（2分）
当时，，，两式相减得：
，化简得，即。（5分）
故数列是首项为，公比为2的等比数列。（6分）
因此，即。（8分）
（2）由（1）得，则数列的前项和。（9分）
两边同乘，得。（10分）
两式相减，得。（11分）
右边为等比数列求和，即，故。（13分）
整理得。（15分）
17.（本小题满分15分）
【解析】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系。（1分）
由题意得，，，，，，。（2分）
因为的中点，为的中点，故，。（3分）
求出平面的法向量：，。（4分）
设平面的法向量为，则，即。（5分）
令，得，，故。（6分）
又，计算，故。（7分）
因平面，故平面。（8分）
（2）求平面的法向量：，。（9分）
设平面的法向量为，则，即。（10分）
令，得，，故。（11分）
设平面与平面所成锐二面角为，则。（12分）
计算得，，。（13分）
代入得，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为。（15分）
18.（本小题满分17分）
【解析】（1）抛物线的焦点，设直线的方程为（斜率不存在时单独验证）。（1分）
联立，消去得。（2分）
设，，则，。（3分）
由抛物线定义，，又，，故。（5分）
已知，故，解得，即，。（7分）
当直线斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程得，即，此时，不满足题意，舍去。（8分）
因此，直线的方程为或，整理得或。（9分）
（2）设，其中且。（10分）
直线的斜率，其方程为。（12分）
令，解得，即，故。（14分）
同理，直线与轴交于，故。（15分）
由（1）知，因此。（16分）
代入和，得，结合定值要求，最终化简得，即为定值1。（17分）
19.（本小题满分17分）
【解析】（1）函数的定义域为，求导得。（3分）
① 当时，，，令，得，即；令，得，即。（5分）
故在上单调递增，在上单调递减。（6分）
② 当时，令，得或（舍去，因）。（7分）
令，得；令，得。（8分）
故在上单调递增，在上单调递减。（9分）
综上，无论还是，在上单调递增，在上单调递减。（9分）
（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值为。（10分）
因有两个零点（），故，即，且。（11分）
要证，即证。因在上单调递减，故只需证。（12分）
又，故只需证，即证。（13分）
令（），则，求导得：
。（14分）
化简得，进一步化简：
，当，时，，故在上单调递增。（15分）
因，故，即，即。（16分）
又，（因，），且在上单调递减，故，即。（17分）

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