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高中数学 A 版选择性必修第二册第四章 数列 知识点 + 专项训练
第四章 数列 核心知识点
一、数列的概念与表示
数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，记作 ，其中 是数列的第 项（也叫通项）， 叫做项数（）。
数列的分类：
按项数分类：有穷数列（项数有限）、无穷数列（项数无限）；
按单调性分类：递增数列（）、递减数列（）、常数列（）、摆动数列（单调性不固定）；
按取值范围分类：有界数列（存在正数 ，使得 对所有 成立）、无界数列（不存在这样的 ）。
数列的通项公式：如果数列 的第 项 与项数 之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的通项公式（并非所有数列都有通项公式）。
数列的递推公式：如果已知数列 的首项（或前几项），且任意一项 与它的前一项 （或前几项）之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的递推公式（如 ，）。
数列的前 项和：记 ，称为数列 的前 项和，且满足关系式：
（核心易错点：忽略 的验证）。
二、等差数列
定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记作 （ 为常数），数学表示：（）。
通项公式：（推导：累加法）。
等差中项：如果三个数 ，， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项，且满足 。
前 项和公式：
公式一（已知 ，）：；
公式二（已知 ，）：；
补充：（， 为常数），且 ，。
等差数列的性质：
若 ，则 ；
，， 仍成等差数列，公差为 。
三、等比数列
定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记作 （），数学表示：（）。
通项公式：（推导：累乘法）。
等比中项：如果三个数 ，， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项，且满足 （， 同号）。
前 项和公式：
当 时，；
当 时，。
等比数列的性质：
若 ，则 ；
若 ，则 ，， 仍成等比数列，公比为 。
四、数列的应用
实际应用：增长率、复利、分期付款等，转化为等差/等比模型。
解题步骤：审题 建模 求解 检验。
核心公式：
增长率：；
复利：。
五、课标核心易错点总结
用 求 时未验证 ；
等比求和未分 与 ；
混淆等差、等比中项；
实际问题模型判断错误。
第四章 数列 专项训练
考试时间：90 分钟 满分：100 分
班级 姓名 学号 得分
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
下列关于数列的说法正确的是（ ）
A. 数列 中，若 ，，，则该数列一定是等差数列
B. 所有数列都有通项公式
C. 数列的项数可以是有限的，也可以是无限的
D. 若数列 的前 项和 ，则
已知等差数列 中，，公差 ，则 的值为（ ）
A. 14 B. 17 C. 20 D. 23
在等比数列 中，，，且公比 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D.
已知数列 的前 项和 ，则 的值为（ ）
A. 7 B. 9 C. 11 D. 13
若三个数 ，， 成等差数列，则 的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
已知等差数列 中，，则 的值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
等比数列 中，，，则该数列前 5 项和 的值为（ ）
A. 15 B. 31 C. 63 D. 127
某工厂 2024 年的产值为 100 万元，计划每年产值增长 10%，则 2026 年该工厂的产值为（ ）
A. 110 万元 B. 121 万元 C. 120 万元 D. 133.1 万元
二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。全选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有选错得 0 分）
已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
关于等比数列 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，，则数列 递增
B. 若 ，则公比
C. 若 （，，），则
D. 等比数列的前 项和 不可能为 0（）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
已知数列 的递推公式为 ，（），则该数列的通项公式为 ______。
等比数列 中，，，则该数列的前 项和 ______。
已知等差数列 的前 项和为 ，，，则 ______。
四、解答题（本大题共 3 小题，共 35 分）
（10 分）已知数列 是等差数列，且 ，，求：
（1）数列 的通项公式；
（2）数列 的前 10 项和 。
（12 分）已知等比数列 中，，，求：
（1）公比 和通项公式 ；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 。
（13 分）某商场开展分期付款购物活动，顾客购买一件价值 20000 元的商品，可选择分 3 期付款，每期付款金额相同，每期的利率为 1%（按复利计算），求：
（1）每期应付款多少元？（精确到 1 元）
（2）3 期付款的总金额比商品原价多多少元？
参考答案与详细解析
一、单项选择题
C
解析：A 仅前三项等差不能判定整体；B 并非所有数列有通项；D 。
B
解析：。
A
解析：（）。
B
解析：。
C
解析：。
B
解析：。
B
解析：。
B
解析：。
二、多项选择题
AB
解析：
A：，正确；
B：，正确；
C：，错误；
D：，错误。
AB
解析：
A：，数列递增，正确；
B：，正确；
C：，错误；
D： 且 偶时 ，错误。
三、填空题
或
四、解答题
解：
（1）设首项 ，公差 ，，故 。
（2）。
解：
（1），。
（2），。
解：
（1）设每期付款 ，， 元。
（2）总付款 ，多付 元。
2

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