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贵州省三穗中学2024-2025学年下学期期中八年级数学测试卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．下列四个实数中，比小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
2．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取，的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图所示，点O表示有理数O，点A表示有理数3；过点A作数轴的垂线，以A为圆心，2个单位长度的长为半径画弧交于点B；连接，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C；数轴上点C所表示的数是（　　）
A． B． C．3.8 D．
5．在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．，，
6．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：（　　）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
9．下列命题，其中是真命题的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
10．如图，在中，于点，于点，若，则为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．135°
11．如图，菱形的边长为2，对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，则菱形的面积为（　　）
A．2 B． C． D．4
12．如图所示，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．化简 的结果为　 　.
14．若有意义，则的取值范围是　 　．
15．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为　 　．
16．如图，正方形的边长为6，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为　 　．
三、解答题：（本大题9个小题，共98分）解答时每小题必须给出必要的演算
17．在下列四个数中，任选三个数求和并化简：①，②，③，④．
18．如图，在中，D是边上一点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
19．如图，在四边形中，，相交于点O，且，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由）
20．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，．
（1）求的长．
（2）求的面积．
21．已知如图，在平面直角坐标系中， ，与x轴所夹锐角是．
（1）求B点坐标
（2）判断三角形的形状
（3）求三角形的边上的高．
22．如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E、F．
（1）证明：；
（2）连接，证明：四边形是菱形．
23．“分母有理化”是我们常用的一种方法，如：；．
（1）观察上面的解题过程，请直接写出的结果是 ；
（2）根据你发现的规律，请计算：．
24．武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
（3）小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由．
25．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用实数比较大小的方法（ 两个负数绝对值大的反而小 ）分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，的中点，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】先证出CD为中位线，再利用中位线的性质可得．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．无意义；选项错误，不符合题意；
B．；选项错误，不符合题意；
C．与无法合并；选项错误，不符合题意；
D．；选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加法、二次根式的减法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵数轴上点A对应的数为3，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵原点O为圆心，以为半径画弧，交数轴于点C，
∴，
∴点C表示的数为．
故答案为：D．
【分析】先求出，利用勾股定理求出OB的长，再结合“原点O为圆心，以为半径画弧，交数轴于点C”可得，从而可得点C表示的数.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】
A：∵∠A+∠B=90°，∴∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，∴△ABC是直角三角形。A不符合；
B：∵∠A+∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=∠C+∠C=2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形。B不符合；
C：∵a：b：c=1：2：2，∴，∴△ABC不是直角三角形，C符合；
D：∵a=1，b=3， c=， ∴，∴△ABC是直角三角形，D不符合。
故答案为：C
【分析】
根据角间关系和内角和定理看是否有一内角为90°；根据边间关系及长度，用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形。
6．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出BD的长，再利用，可得，最后利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可.
7．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，，，
∴，，，
∴
，
故答案为：A．
【分析】先结合数轴并判断出，，，再利用二次根式的性质并去掉绝对值，最后合并同类项即可.
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判断即可。
10．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠AEC+∠AFC+∠C+∠EAF=360°，且∠EAF=55°，
∴∠C=360°-90°-90°-55°=125°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=55°．
故答案为：B．
【分析】先利用四边形的内角和求出∠C=360°-90°-90°-55°=125°，再利用平行四边形的性质可得∠B+∠C=180°，最后求出∠B的度数即可.
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
，
，
，
∴
则
在中，
∴菱形的面积为
故答案为：C．
【分析】先利用菱形的性质和直角三角形斜边上中线的性质求出，再利用勾股定理求出BH的长，最后利用菱形的面积公式求解即可.
12．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：如图所示：连接，
∵在菱形中，，
，，，
，
，，
∴四边形是矩形，
，
的最小值，即最小值，
∴当时，最小，
，
，
，
最小为，
即的最小值为．
故答案为：B．
【分析】连接，先证出边形是矩形，利用矩形的性质可得GF=OE，即可得到GF的最小值，即最小值，再结合，求出，从而可得的最小值为．
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】利用二次根式的性质将二次根式进行化简.
14．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
15．【答案】10
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得．
故答案为：10．
【分析】先证出四边形是菱形，再利用等积法可得，最后求出OC的长即可.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∵O为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当、E、G三点共线时，最小，即最小，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为．
故答案为：．
【分析】延长，使得，连接，，，过点O作于点H，证出当、E、G三点共线时，最小，即最小，再证出为等腰直角三角形，可得，再结合，利用勾股定理求出OG的长，从而可得最小值为．
17．【答案】解：选①②③
；
选②③④
；
选①③④
；
选①②④
．
【知识点】负整数指数幂；求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先选择代数式，再利用实数的混合运算的计算方法分析求解即可.
18．【答案】（1）证明：，
，
，
是直角三角形，
，
.
（2）解：，
，
，
，
，
，
的长为14．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先求出，可得，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，从而可得；
（2）先利用角的运算求出∠ADB=90°，利用勾股定理求出BD的长，再利用线段的和差求出BC的长即可.
（1）证明：，
，
，
是直角三角形，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
的长为14．
19．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：添加的条件为：，
由（1）得：四边形是平行四边形，
是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得AD=BC，再结合AD//BC，即可证出四边形为平行四边形；
（2）利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）添加的条件为：，
由（1）得：四边形是平行四边形，
是矩形．
20．【答案】（1）解：在菱形中，，
，．
，
，且，
．
（2）解：在中，，
，，
，
，
，
．．
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质和可得AC=，再利用菱形的性质可得OA的长；
（2）先求出，再利用三角形的面积公式求出．即可．
（1）解：在菱形中，，
，．
，
，且，
．
（2）解：在中，，
，，
，
，
，
．．
21．【答案】（1）解：过点B作x轴的垂线交x轴与点C，如图所示：
根据已知条件，
所以在中根据勾股定理可知
因为点B在第四象限，
所以点B坐标为.
（2）解：根据上面求得点B的坐标可知OA=，AB=
那么就有
所以三角形为直角三角形.
（3）解：因为三角形为直角三角形，
所以，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）过点B作x轴的垂线交x轴与点C，利用勾股定理求出，再结合点B在第四象限，从而可得点B的坐标；
（2）利用OA=，AB=可得，利用勾股定理的逆定理可得三角形为直角三角形；
（3）利用三角形的面积公式可得，再求出即可．
（1）过点B作x轴的垂线交x轴与点C，如图所示：
根据已知条件，
所以在中根据勾股定理可知
因为点B在第四象限，
所以点B坐标为
（2）根据上面求得点B的坐标可知OA=，AB=
那么就有
所以三角形为直角三角形；
（3）因为三角形为直角三角形，
所以，
∴．
22．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
．
∵点O是的中点，
．
又
；
（2）证明：由（1）已证，
，
∵四边形是矩形，
，即，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和平行线的性质可得，再结合DO=BO，，利用“ASA”证出即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合EF⊥BD，即可证出四边形是菱形．
（1）解：∵四边形是矩形，
．
∵点O是的中点，
．
又
；
（2）由（1）已证，
，
∵四边形是矩形，
，即，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．
23．【答案】（1）
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法并利用分母有理化的计算方法分析求解即可；
（2）先利用（1）的规律将原式变形为，再计算即可.
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
．
24．【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，（米），
（米）；
风筝的垂直高度为21.6米．
（2）解：设他应该往回收线米，
根据勾股定理得，，
解得，
答：他应该往回收线8米．
（3）解：设收线的长度为米，如图，
则米，（米，米，
根据勾股定理得，，
解得，
答：收线的长度为4.2米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出CD的长，再利用线段的和差求出EC的长即可；
（2）设他应该往回收线米，利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）设收线的长度为米，先求出DF，B'D的长，再利用勾股定理列出方程求解即可.
25．【答案】解：（1）证明：如图1，
∵四边形是矩形，
．
．
∵DE⊥AF，
∴∠ADG+∠GAD=90°．
．
∵AF=DE，
∴△ABF≌△DAE，
∴AB=AD，
∴矩形是正方形．
（2）结论：是等腰三角形．
理由如下：
，
∴△ABH≌△DAE，
∴AH=DE，
∵DE=AF，
∴AH=AF，
∴是等腰三角形．
类比迁移：
如图2，延长到点，使得，连接．
∵四边形是菱形，
∴AD//BC，AB=AD，
∴∠ABH=∠BAD．
∵BH=AE，
∴△ABH≌△DAE．
．
∵DE=AF，
∴AH=AF，
∵∠AHB=60°，
∴△AHF是等边三角形，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】 问题解决： （1）先利用“AAS”证出△ABF≌△DAE，再利用全等三角形的性质可得AB=AD，从而可证出矩形是正方形；
（2）先证出△ABH≌△DAE，利用全等三角形的性质可得AH=DE，再利用等量代换可得AH=AF，即可证出是等腰三角形；
类比迁移：延长到点，使得，连接，先证出△AHF是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得AH=HF，最后利用线段和差及等量代换可得．
1 / 1贵州省三穗中学2024-2025学年下学期期中八年级数学测试卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．下列四个实数中，比小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用实数比较大小的方法（ 两个负数绝对值大的反而小 ）分析求解即可.
2．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取，的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，的中点，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】先证出CD为中位线，再利用中位线的性质可得．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．无意义；选项错误，不符合题意；
B．；选项错误，不符合题意；
C．与无法合并；选项错误，不符合题意；
D．；选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加法、二次根式的减法的计算方法逐项分析判断即可.
4．如图所示，点O表示有理数O，点A表示有理数3；过点A作数轴的垂线，以A为圆心，2个单位长度的长为半径画弧交于点B；连接，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C；数轴上点C所表示的数是（　　）
A． B． C．3.8 D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵数轴上点A对应的数为3，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵原点O为圆心，以为半径画弧，交数轴于点C，
∴，
∴点C表示的数为．
故答案为：D．
【分析】先求出，利用勾股定理求出OB的长，再结合“原点O为圆心，以为半径画弧，交数轴于点C”可得，从而可得点C表示的数.
5．在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】
A：∵∠A+∠B=90°，∴∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，∴△ABC是直角三角形。A不符合；
B：∵∠A+∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=∠C+∠C=2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形。B不符合；
C：∵a：b：c=1：2：2，∴，∴△ABC不是直角三角形，C符合；
D：∵a=1，b=3， c=， ∴，∴△ABC是直角三角形，D不符合。
故答案为：C
【分析】
根据角间关系和内角和定理看是否有一内角为90°；根据边间关系及长度，用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形。
6．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出BD的长，再利用，可得，最后利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可.
7．已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，，，
∴，，，
∴
，
故答案为：A．
【分析】先结合数轴并判断出，，，再利用二次根式的性质并去掉绝对值，最后合并同类项即可.
8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
9．下列命题，其中是真命题的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判断即可。
10．如图，在中，于点，于点，若，则为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．135°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠AEC+∠AFC+∠C+∠EAF=360°，且∠EAF=55°，
∴∠C=360°-90°-90°-55°=125°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=55°．
故答案为：B．
【分析】先利用四边形的内角和求出∠C=360°-90°-90°-55°=125°，再利用平行四边形的性质可得∠B+∠C=180°，最后求出∠B的度数即可.
11．如图，菱形的边长为2，对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，则菱形的面积为（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
，
，
，
∴
则
在中，
∴菱形的面积为
故答案为：C．
【分析】先利用菱形的性质和直角三角形斜边上中线的性质求出，再利用勾股定理求出BH的长，最后利用菱形的面积公式求解即可.
12．如图所示，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：如图所示：连接，
∵在菱形中，，
，，，
，
，，
∴四边形是矩形，
，
的最小值，即最小值，
∴当时，最小，
，
，
，
最小为，
即的最小值为．
故答案为：B．
【分析】连接，先证出边形是矩形，利用矩形的性质可得GF=OE，即可得到GF的最小值，即最小值，再结合，求出，从而可得的最小值为．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．化简 的结果为　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】利用二次根式的性质将二次根式进行化简.
14．若有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
15．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为　 　．
【答案】10
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得．
故答案为：10．
【分析】先证出四边形是菱形，再利用等积法可得，最后求出OC的长即可.
16．如图，正方形的边长为6，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∵O为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当、E、G三点共线时，最小，即最小，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为．
故答案为：．
【分析】延长，使得，连接，，，过点O作于点H，证出当、E、G三点共线时，最小，即最小，再证出为等腰直角三角形，可得，再结合，利用勾股定理求出OG的长，从而可得最小值为．
三、解答题：（本大题9个小题，共98分）解答时每小题必须给出必要的演算
17．在下列四个数中，任选三个数求和并化简：①，②，③，④．
【答案】解：选①②③
；
选②③④
；
选①③④
；
选①②④
．
【知识点】负整数指数幂；求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先选择代数式，再利用实数的混合运算的计算方法分析求解即可.
18．如图，在中，D是边上一点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
是直角三角形，
，
.
（2）解：，
，
，
，
，
，
的长为14．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先求出，可得，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，从而可得；
（2）先利用角的运算求出∠ADB=90°，利用勾股定理求出BD的长，再利用线段的和差求出BC的长即可.
（1）证明：，
，
，
是直角三角形，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
的长为14．
19．如图，在四边形中，，相交于点O，且，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由）
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：添加的条件为：，
由（1）得：四边形是平行四边形，
是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得AD=BC，再结合AD//BC，即可证出四边形为平行四边形；
（2）利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）添加的条件为：，
由（1）得：四边形是平行四边形，
是矩形．
20．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，．
（1）求的长．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：在菱形中，，
，．
，
，且，
．
（2）解：在中，，
，，
，
，
，
．．
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质和可得AC=，再利用菱形的性质可得OA的长；
（2）先求出，再利用三角形的面积公式求出．即可．
（1）解：在菱形中，，
，．
，
，且，
．
（2）解：在中，，
，，
，
，
，
．．
21．已知如图，在平面直角坐标系中， ，与x轴所夹锐角是．
（1）求B点坐标
（2）判断三角形的形状
（3）求三角形的边上的高．
【答案】（1）解：过点B作x轴的垂线交x轴与点C，如图所示：
根据已知条件，
所以在中根据勾股定理可知
因为点B在第四象限，
所以点B坐标为.
（2）解：根据上面求得点B的坐标可知OA=，AB=
那么就有
所以三角形为直角三角形.
（3）解：因为三角形为直角三角形，
所以，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）过点B作x轴的垂线交x轴与点C，利用勾股定理求出，再结合点B在第四象限，从而可得点B的坐标；
（2）利用OA=，AB=可得，利用勾股定理的逆定理可得三角形为直角三角形；
（3）利用三角形的面积公式可得，再求出即可．
（1）过点B作x轴的垂线交x轴与点C，如图所示：
根据已知条件，
所以在中根据勾股定理可知
因为点B在第四象限，
所以点B坐标为
（2）根据上面求得点B的坐标可知OA=，AB=
那么就有
所以三角形为直角三角形；
（3）因为三角形为直角三角形，
所以，
∴．
22．如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E、F．
（1）证明：；
（2）连接，证明：四边形是菱形．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
．
∵点O是的中点，
．
又
；
（2）证明：由（1）已证，
，
∵四边形是矩形，
，即，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和平行线的性质可得，再结合DO=BO，，利用“ASA”证出即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合EF⊥BD，即可证出四边形是菱形．
（1）解：∵四边形是矩形，
．
∵点O是的中点，
．
又
；
（2）由（1）已证，
，
∵四边形是矩形，
，即，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．
23．“分母有理化”是我们常用的一种方法，如：；．
（1）观察上面的解题过程，请直接写出的结果是 ；
（2）根据你发现的规律，请计算：．
【答案】（1）
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法并利用分母有理化的计算方法分析求解即可；
（2）先利用（1）的规律将原式变形为，再计算即可.
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
．
24．武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
（3）小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由．
【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，（米），
（米）；
风筝的垂直高度为21.6米．
（2）解：设他应该往回收线米，
根据勾股定理得，，
解得，
答：他应该往回收线8米．
（3）解：设收线的长度为米，如图，
则米，（米，米，
根据勾股定理得，，
解得，
答：收线的长度为4.2米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出CD的长，再利用线段的和差求出EC的长即可；
（2）设他应该往回收线米，利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）设收线的长度为米，先求出DF，B'D的长，再利用勾股定理列出方程求解即可.
25．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．
【答案】解：（1）证明：如图1，
∵四边形是矩形，
．
．
∵DE⊥AF，
∴∠ADG+∠GAD=90°．
．
∵AF=DE，
∴△ABF≌△DAE，
∴AB=AD，
∴矩形是正方形．
（2）结论：是等腰三角形．
理由如下：
，
∴△ABH≌△DAE，
∴AH=DE，
∵DE=AF，
∴AH=AF，
∴是等腰三角形．
类比迁移：
如图2，延长到点，使得，连接．
∵四边形是菱形，
∴AD//BC，AB=AD，
∴∠ABH=∠BAD．
∵BH=AE，
∴△ABH≌△DAE．
．
∵DE=AF，
∴AH=AF，
∵∠AHB=60°，
∴△AHF是等边三角形，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】 问题解决： （1）先利用“AAS”证出△ABF≌△DAE，再利用全等三角形的性质可得AB=AD，从而可证出矩形是正方形；
（2）先证出△ABH≌△DAE，利用全等三角形的性质可得AH=DE，再利用等量代换可得AH=AF，即可证出是等腰三角形；
类比迁移：延长到点，使得，连接，先证出△AHF是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得AH=HF，最后利用线段和差及等量代换可得．
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