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贵州省贵阳市观山湖区远大中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，带用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分）．
1．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
2．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，直线a，b，c交于点O，若，则与的度数之和为（　　）
A． B． C． D．
4．从数学的角度看，对以下语句中的事件判断正确的是（　　）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
C．“鱼戏莲叶东”是随机事件
D．“手可摘星辰”是必然事件
5．长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小明同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小明这样走的数学依据是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6．如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
7．小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（　　）
A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大
C．两者的可能性相同 D．无法确定
8．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
9．如图，在中，边上的高是（　　）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
10．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）．
11．在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，2，3，3，4，4，5，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张，抽出标有数字4的卡片的概率是　 　．
12．　 　．
13．如图，在中，，是的角平分线，点E在上，且，则　 　．
14．小红将展开后得到；小明将展开后得到．若两人计算过程无误，则的值为　 　．
三、解答题（本大题共7题，共计54分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
15．计算
（1）；
（2）．
16．先化简再求值：，其中．
17．如图，正方形与正方形的面积之差是6，求阴影部分的面积．
18．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外，形状和大小完全一样，小亮同学从盒子中任意摸出一个乒乓球．
（1）小亮同学摸出红球的概率是________．
（2）如果在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小亮同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的极率为，则________．
（3）在（2）的条件下，小亮和小英同学一起做游戏，小亮从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小亮获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（请利用概率的知识进行说明）
19．如图，点B，D在直线上，，，．试求的度数．请你阅读并补全下面的解题过程及推理依据：
解：因为（已知）
所以________（________________）
因为（已知）
所以________（等量代换）
所以（________________）
所以（________________）
因为
所以________
所以________（________________）
20．如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）用含m，n的代数式表示图2中阴影部分的面积为________或________；
（2）请观察图2结合（1）写出三个代数式，之间的等量关系：________；
（3）若，请你结合本题（2）中的等量关系，求的值．
21．【基础情境】
如图1，已知直线，将一个含角的直角三角尺ABC中角的顶点B放在PQ上，边AB，AC与MN分别交于点D，E．
（1）若，则________；
【探究发现】
（2）如图2，请你写出与之间的数量关系，并说明理由；
【延伸拓展】
（3）把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用同底数幂的乘法运算方法（底数不变，指数相加）分析求解即可.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图：
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用对顶角的性质可得，再利用补角的定义及角的运算求出即可.
4．【答案】C
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故本选项不符合题意；
、“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故本选项不符合题意；
、“鱼戏莲叶东”是随机事件，故本选项符合题意；
、“手可摘星辰”是不可能事件，故本选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用随机事件的定义及特征（随机事件是那些在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件）、必然事件的定义及特征（必然事件是指在一定的条件下，某些事件在每次试验中必然会发生）和不可能事件的定义及特征（在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件）逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意可得：小明这样走的数学依据是：垂线段最短，
故答案为：B．
【分析】利用垂线段最短并结合生活常识分析求解即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：、能判断，故本选项不符合题意；
、能判断，故本选项符合题意；
、不能判断，故本选项不符合题意；
、能判断，故本选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
7．【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小均为.
故答案为：C.
【分析】根据可能性大小求解即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.，不能组成三角形，故不符合题意；
B.，不能组成三角形，故不符合题意；
C.，不能组成三角形，故不符合题意；
D.，能组成三角形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
9．【答案】C
【知识点】尺规作图-作高；三角形的高
【解析】【解答】解：在中，边上的高是线段，
故答案为：．
【分析】根据三角形的高的定义（过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高）分析求解即可.
10．【答案】D
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
∴的值为．
故答案为：D．
【分析】先将代数式变形为，再将代入计算即可.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为7张完全相同的卡片有2张4，
所以抽出标有数字4的卡片的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
12．【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用单项式除以单项式的计算方法（把它们的系数、相同字母的幂分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式）分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
∵是的角平分线，
，
∵，
，
故答案为：．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义求出∠CBE的度数，再利用平行线的性质可得.
14．【答案】4049
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：展开后得到，展开后得到，
，，
，
故答案为：4049．
【分析】先利用完全平方公式的计算方法展开并利用待定系数法可得，，再利用平方差公式求出的值即可.
15．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；有理数的加法法则
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、负整式指数幂和0指数幂的性质化简，再计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
16．【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式；有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再将a的值代入计算即可.
17．【答案】解：设正方形与正方形的边长分别为和，
由题意得：．
由图形可得：
．
故阴影部分的面积为3．
【知识点】平方差公式的几何背景；有理数的乘法法则；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】设正方形与正方形的边长分别为和，先结合图形求出，再利用割补法求出，最后求解即可.
18．【答案】（1）
（2）4
（3）解：这个游戏对双方公平，
理由如下：∵一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，
∴小亮获胜的概率为，小英获胜的概率为；
∴这个游戏对双方公平．
【知识点】游戏公平性；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：因为共有6个乒乓球，其中有1红球，
所以小亮同学摸出红球的概率是，
故答案为：；
（2）解：∵摸到黄色乒乓球的概率为，
，
解得：，
故答案为：4.
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；（2）利用概率公式列出方程，再求出n的值即可；
（3）先利用概率公式分别求出小亮和小英获胜的概率，再判断即可.
（1）解：因为共有6个乒乓球，其中有1红球，
所以小亮同学摸出红球的概率是，
故答案为：；
（2）解：∵摸到黄色乒乓球的概率为，
，
解得：，
故答案为：4；
（3）解：这个游戏对双方公平，理由如下：
∵一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，
∴小亮获胜的概率为，小英获胜的概率为；
∴这个游戏对双方公平．
19．【答案】解：因为（已知）
所以（两直线平行，同位角相等）
因为（已知）
所以（等量代换）
所以（同旁内角互补，两直线平行）
所以（两直线平行，同位角相等）
因为
所以
所以（对顶角相等），
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；对顶角相等.
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法和推理的步骤分析求解即可.
20．【答案】（1），
（2）
（3）解：由（2）知：，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）解：根据图1可知，每个长方形的面积为：，
所以图2中阴影部分的面积为，
因为阴影部分为正方形，边长为：，
所以图2中阴影部分的面积为，
所以用含m，n的代数式表示图2中阴影部分的面积为或，
故答案为：，；
（2）解：由（1）可知：，
故答案为：.
【分析】（1）利用不同的表达式表示阴影部分的面积即可；（2）利用（1）的计算方法和表达式可得；
（3）利用（2）的规律可得，再求解即可.
（1）解：根据图1可知，每个长方形的面积为：，
所以图2中阴影部分的面积为，
因为阴影部分为正方形，边长为：，
所以图2中阴影部分的面积为，
所以用含m，n的代数式表示图2中阴影部分的面积为或，
故答案为：，；
（2）解：由（1）可知：，
故答案为：；
（3）解：由（2）知：，
，
，
．
21．【答案】解：（1），
（2）如图2，过点C作，
，
，
，
，
，
；
（3）或．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点C作，
，
，
，
，，
；
故答案为：20°；
（3）①如图3，过点C作，
，
，
，
，，
，
则；
②如图，过点A作，直线与交于点，
∵与交于，
∴，
，
，
，
，
，
故的度数为或．
故答案为：或．
【分析】（1） 过点C作，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出∠2的度数即可；
（2） 过点C作，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可；
（3）分类讨论： ①过点C作， ②过点A作，直线与交于点，先分别画出图形，再利用平行线的性质及角的运算求解即可.
1 / 1贵州省贵阳市观山湖区远大中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，带用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分）．
1．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用同底数幂的乘法运算方法（底数不变，指数相加）分析求解即可.
2．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．如图，直线a，b，c交于点O，若，则与的度数之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图：
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用对顶角的性质可得，再利用补角的定义及角的运算求出即可.
4．从数学的角度看，对以下语句中的事件判断正确的是（　　）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
C．“鱼戏莲叶东”是随机事件
D．“手可摘星辰”是必然事件
【答案】C
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故本选项不符合题意；
、“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故本选项不符合题意；
、“鱼戏莲叶东”是随机事件，故本选项符合题意；
、“手可摘星辰”是不可能事件，故本选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用随机事件的定义及特征（随机事件是那些在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件）、必然事件的定义及特征（必然事件是指在一定的条件下，某些事件在每次试验中必然会发生）和不可能事件的定义及特征（在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件）逐项分析判断即可.
5．长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小明同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小明这样走的数学依据是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意可得：小明这样走的数学依据是：垂线段最短，
故答案为：B．
【分析】利用垂线段最短并结合生活常识分析求解即可.
6．如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：、能判断，故本选项不符合题意；
、能判断，故本选项符合题意；
、不能判断，故本选项不符合题意；
、能判断，故本选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
7．小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（　　）
A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大
C．两者的可能性相同 D．无法确定
【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小均为.
故答案为：C.
【分析】根据可能性大小求解即可.
8．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.，不能组成三角形，故不符合题意；
B.，不能组成三角形，故不符合题意；
C.，不能组成三角形，故不符合题意；
D.，能组成三角形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
9．如图，在中，边上的高是（　　）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】C
【知识点】尺规作图-作高；三角形的高
【解析】【解答】解：在中，边上的高是线段，
故答案为：．
【分析】根据三角形的高的定义（过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高）分析求解即可.
10．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
∴的值为．
故答案为：D．
【分析】先将代数式变形为，再将代入计算即可.
二、填空题（每小题4分，共16分）．
11．在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，2，3，3，4，4，5，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张，抽出标有数字4的卡片的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为7张完全相同的卡片有2张4，
所以抽出标有数字4的卡片的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
12．　 　．
【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用单项式除以单项式的计算方法（把它们的系数、相同字母的幂分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式）分析求解即可.
13．如图，在中，，是的角平分线，点E在上，且，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
∵是的角平分线，
，
∵，
，
故答案为：．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义求出∠CBE的度数，再利用平行线的性质可得.
14．小红将展开后得到；小明将展开后得到．若两人计算过程无误，则的值为　 　．
【答案】4049
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：展开后得到，展开后得到，
，，
，
故答案为：4049．
【分析】先利用完全平方公式的计算方法展开并利用待定系数法可得，，再利用平方差公式求出的值即可.
三、解答题（本大题共7题，共计54分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
15．计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；有理数的加法法则
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、负整式指数幂和0指数幂的性质化简，再计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
16．先化简再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式；有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再将a的值代入计算即可.
17．如图，正方形与正方形的面积之差是6，求阴影部分的面积．
【答案】解：设正方形与正方形的边长分别为和，
由题意得：．
由图形可得：
．
故阴影部分的面积为3．
【知识点】平方差公式的几何背景；有理数的乘法法则；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】设正方形与正方形的边长分别为和，先结合图形求出，再利用割补法求出，最后求解即可.
18．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外，形状和大小完全一样，小亮同学从盒子中任意摸出一个乒乓球．
（1）小亮同学摸出红球的概率是________．
（2）如果在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小亮同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的极率为，则________．
（3）在（2）的条件下，小亮和小英同学一起做游戏，小亮从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小亮获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（请利用概率的知识进行说明）
【答案】（1）
（2）4
（3）解：这个游戏对双方公平，
理由如下：∵一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，
∴小亮获胜的概率为，小英获胜的概率为；
∴这个游戏对双方公平．
【知识点】游戏公平性；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：因为共有6个乒乓球，其中有1红球，
所以小亮同学摸出红球的概率是，
故答案为：；
（2）解：∵摸到黄色乒乓球的概率为，
，
解得：，
故答案为：4.
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；（2）利用概率公式列出方程，再求出n的值即可；
（3）先利用概率公式分别求出小亮和小英获胜的概率，再判断即可.
（1）解：因为共有6个乒乓球，其中有1红球，
所以小亮同学摸出红球的概率是，
故答案为：；
（2）解：∵摸到黄色乒乓球的概率为，
，
解得：，
故答案为：4；
（3）解：这个游戏对双方公平，理由如下：
∵一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，
∴小亮获胜的概率为，小英获胜的概率为；
∴这个游戏对双方公平．
19．如图，点B，D在直线上，，，．试求的度数．请你阅读并补全下面的解题过程及推理依据：
解：因为（已知）
所以________（________________）
因为（已知）
所以________（等量代换）
所以（________________）
所以（________________）
因为
所以________
所以________（________________）
【答案】解：因为（已知）
所以（两直线平行，同位角相等）
因为（已知）
所以（等量代换）
所以（同旁内角互补，两直线平行）
所以（两直线平行，同位角相等）
因为
所以
所以（对顶角相等），
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；对顶角相等.
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法和推理的步骤分析求解即可.
20．如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）用含m，n的代数式表示图2中阴影部分的面积为________或________；
（2）请观察图2结合（1）写出三个代数式，之间的等量关系：________；
（3）若，请你结合本题（2）中的等量关系，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）解：由（2）知：，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）解：根据图1可知，每个长方形的面积为：，
所以图2中阴影部分的面积为，
因为阴影部分为正方形，边长为：，
所以图2中阴影部分的面积为，
所以用含m，n的代数式表示图2中阴影部分的面积为或，
故答案为：，；
（2）解：由（1）可知：，
故答案为：.
【分析】（1）利用不同的表达式表示阴影部分的面积即可；（2）利用（1）的计算方法和表达式可得；
（3）利用（2）的规律可得，再求解即可.
（1）解：根据图1可知，每个长方形的面积为：，
所以图2中阴影部分的面积为，
因为阴影部分为正方形，边长为：，
所以图2中阴影部分的面积为，
所以用含m，n的代数式表示图2中阴影部分的面积为或，
故答案为：，；
（2）解：由（1）可知：，
故答案为：；
（3）解：由（2）知：，
，
，
．
21．【基础情境】
如图1，已知直线，将一个含角的直角三角尺ABC中角的顶点B放在PQ上，边AB，AC与MN分别交于点D，E．
（1）若，则________；
【探究发现】
（2）如图2，请你写出与之间的数量关系，并说明理由；
【延伸拓展】
（3）把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，请直接写出的度数．
【答案】解：（1），
（2）如图2，过点C作，
，
，
，
，
，
；
（3）或．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点C作，
，
，
，
，，
；
故答案为：20°；
（3）①如图3，过点C作，
，
，
，
，，
，
则；
②如图，过点A作，直线与交于点，
∵与交于，
∴，
，
，
，
，
，
故的度数为或．
故答案为：或．
【分析】（1） 过点C作，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出∠2的度数即可；
（2） 过点C作，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可；
（3）分类讨论： ①过点C作， ②过点A作，直线与交于点，先分别画出图形，再利用平行线的性质及角的运算求解即可.
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