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广东省佛山市南海区大沥镇2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（　　）
A． B．1 C． D．
3．若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
5．如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连接．若，，则为（　　）
A． B． C． D．
8．在Rt中，，的角平分线交于点D，，则点D到的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
9．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积之和为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为　 　．
12．使得不等式成立的解集是　 　．
13．如图，在中，点E在的垂直平分线上，且，平分．若，，则　 　.
14．某校组织开展了“读书立志，强国有我”的知识竞赛，共20道竞赛题，选对得6分，不选或错选扣2分，得分不低于80分获奖，那么同学们要获奖至少应选对　 　道题.
15．如图，在中，，，，点P是边上一动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为　 　．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．解不等式，并将它的解集表示在数轴上．
17．如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E．求证△AED是等腰三角形．
18．学校准备用2000元购买名著和词典，其中名著每套70元，词典每本40元，现已购买名著20套，最多还能买多少本词典？
19．如图，在中，垂直平分边，若的周长为，，则的长为多少？
20．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
21．为了庆祝国庆，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．
（1）求A，B两种奖品的单价．
（2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量多于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．
22．已知关于的方程组的解均为非负数，
（1）用的代数式表示方程组的解；
（2）求的取值范围；
（3）化简：．
23．在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．
（1）如图1，当时，求BP的长；
（2）如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；
（3）在旋转过程中，当时，求旋转角的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意：底角度数为
故答案为：20°.
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，及三角形内角和为180°，即可求解底角度数.
2．【答案】A
【知识点】坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作轴于A，则，，
则根据勾股定理，得，
故答案为：A．
【分析】先利用点坐标的定义可得，，再利用勾股定理求出OP的长即可.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，，故原选项错误，不符合题意；
B、，，故原选项错误，不符合题意；
C、，，故原选项正确，符合题意；
D、，，故原选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据其性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，为边上的高，
∴，，．
无法确定．
故A、C、D正确，B错误．
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形的“三线合一”的性质可得，，，从而得解.
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
，
不等式的解集在数轴上表示为：
故答案为：C．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用等腰三角形的性质求出，再利用垂直平分线的性质求出即可.
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作交AB于点E，
∵，
∴，
∵AD是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点D到的距离是3，
故答案为：A．
【分析】过点D作交AB于点E，先利用角平分的性质可得，再利用线段的和差及等量代换求出DC的长，从而得解.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得：正方形的面积，正方形的面积，
∵，
∴
故选：B.
【分析】根据题意可得正方形的面积，正方形的面积，结合直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形的综合
【解析】【解答】解：在中，
，
，
又、分别平分、，
，
，故①正确．
，
又，
，
，
，
又，，
，
，，，故②正确．
在和中，
，，，
，
，故③正确．
的角平分线、相交于点P，
点P到、的距离相等，点P到、的距离相等，
点P到、的距离相等，
点P在的平分线上，
平分，故④正确．
故选：D．
【分析】利用角平分线的性质和三角形全等的判定方法判断出，，再利用全等三角形的性质和角平分线的判定方法逐项分析判断即可.
11．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两条边长分别为和，∴当以为腰时，三角形三边为，，，此时，不构成三角形；
当以为腰时，三角形三边为，，，此时构成三角形，周长为．
故答案为：.
【分析】分类讨论：①当以为腰时，②当以为腰时，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系分析求解即可.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
13．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴，，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
∴．
故答案为：5.
【分析】利用“三线合一”的性质可得，，再利用垂直平分线的性质可得，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
14．【答案】15
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设选对x道，则不选或选错的有(20-x)道
由题意可得：6x-2(20-x)≥80
解得：x≥15
∴至少应选对15道题
故答案为：15
【分析】设选对x道，则不选或选错的有(20-x)道，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
15．【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在上截取，连接，过点D作于点E，如图，
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴；
由旋转可知，，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∴当最短时，最小．
∵垂线段最短，
∴当点P与点E重合时，有最小值，即此时有最小值，即为的长．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴线段的最小值为1．
故答案为：1．
【分析】在上截取，连接，过点D作于点E，证出当点P与点E重合时，有最小值，即此时有最小值，即为的长，再求出，结合，利用含30°角的直角三角形的性质可得，从而可得线段的最小值为1．
16．【答案】解：
；
在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
17．【答案】证明：△AED是等腰三角形．
理由如下：∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形三线合一定理)，
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE(两直线平行，内错角相等)，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∴△AED是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】先利用“三线合一”的性质可得∠BAD=∠CAD，利用平行线的性质可得∠BAD=∠ADE，利用等量代换可得∠CAD=∠ADE，利用等角对等边的性质可得AE=DE，即可证出△AED是等腰三角形．
18．【答案】解：设还能买词典x本，
根据题意得：，
解得，
答：最多还能买词典15本．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设还能买词典x本，利用“ 学校准备用2000元购买名著和词典 ”列出不等式求解即可.
19．【答案】解：∵垂直平分边，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换可得，最后求出即可．
20．【答案】解：（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；
（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；（2）先利用垂直平分线的性质可得∠ABD=∠A=30°，再利用角的运算求出∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，证出∠ABD=∠CBD，从而可得BD平分∠CBA．
21．【答案】（1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
由题意得： ，
解得：，
答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；
（2）解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个，由题意得： ，
解得：，
∵m为整数，
∴m可取43或44，
∴或16，
∴学校有两种购买方案：
方案一：购买A种奖品43个，购买B种奖品17个；
方案二：购买A种奖品44个，购买B种奖品16个；
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设A种奖品的单价x元，B种奖品的单价y元，由题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购买A种奖品m个，B种奖品个，由题意列出不等式组，解不等式组求出正整数解即可．
22．【答案】（1）解：得：
，
解得，
把代入②得：，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：∵关于的方程组的解均为非负数，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴
．

【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】
（1）观察方程组，用加减消元法可将x、y用含a的代数式表示出来；
（2）根据方程组的解均为非负数并结合（1）的结论可得关于a的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）根据（2）中求得的a的取值范围，并结合绝对值的非负性可去绝对值，然后根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算即可求解.
23．【答案】（1）解：时，点P落在上，等腰直角中，
∴，
∴.
（2）解：如图，延长到点F，使得，连接，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
中，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
（3）解：分两种情况：
①当点P在内部如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，
∵
∴，
中，
∴
由（2）推证知
∴
又，
∴
∴
又
∴中 ，
∴
②当点P在外部
如图，延长，交于点I，过点A作，垂足为点H
∵
∴，
∵，，
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即
综上，或.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质求出AB的长，再利用线段的和差求出BP的长即可；
（2）延长到点F，使得，连接，先利用角的运算和等量代换可得，再证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，利用等量代换可得；
（3）分类讨论：①当点P在内部如图 ，②当点P在外部，再分别画出图形并利用全等三角形的性质分析求解即可.
1 / 1广东省佛山市南海区大沥镇2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意：底角度数为
故答案为：20°.
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，及三角形内角和为180°，即可求解底角度数.
2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作轴于A，则，，
则根据勾股定理，得，
故答案为：A．
【分析】先利用点坐标的定义可得，，再利用勾股定理求出OP的长即可.
3．若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，，故原选项错误，不符合题意；
B、，，故原选项错误，不符合题意；
C、，，故原选项正确，符合题意；
D、，，故原选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
4．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据其性质即可求出答案.
5．如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，为边上的高，
∴，，．
无法确定．
故A、C、D正确，B错误．
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形的“三线合一”的性质可得，，，从而得解.
6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
，
不等式的解集在数轴上表示为：
故答案为：C．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
7．如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连接．若，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用等腰三角形的性质求出，再利用垂直平分线的性质求出即可.
8．在Rt中，，的角平分线交于点D，，则点D到的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作交AB于点E，
∵，
∴，
∵AD是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点D到的距离是3，
故答案为：A．
【分析】过点D作交AB于点E，先利用角平分的性质可得，再利用线段的和差及等量代换求出DC的长，从而得解.
9．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得：正方形的面积，正方形的面积，
∵，
∴
故选：B.
【分析】根据题意可得正方形的面积，正方形的面积，结合直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
10．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形的综合
【解析】【解答】解：在中，
，
，
又、分别平分、，
，
，故①正确．
，
又，
，
，
，
又，，
，
，，，故②正确．
在和中，
，，，
，
，故③正确．
的角平分线、相交于点P，
点P到、的距离相等，点P到、的距离相等，
点P到、的距离相等，
点P在的平分线上，
平分，故④正确．
故选：D．
【分析】利用角平分线的性质和三角形全等的判定方法判断出，，再利用全等三角形的性质和角平分线的判定方法逐项分析判断即可.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两条边长分别为和，∴当以为腰时，三角形三边为，，，此时，不构成三角形；
当以为腰时，三角形三边为，，，此时构成三角形，周长为．
故答案为：.
【分析】分类讨论：①当以为腰时，②当以为腰时，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系分析求解即可.
12．使得不等式成立的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
13．如图，在中，点E在的垂直平分线上，且，平分．若，，则　 　.
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴，，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
∴．
故答案为：5.
【分析】利用“三线合一”的性质可得，，再利用垂直平分线的性质可得，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
14．某校组织开展了“读书立志，强国有我”的知识竞赛，共20道竞赛题，选对得6分，不选或错选扣2分，得分不低于80分获奖，那么同学们要获奖至少应选对　 　道题.
【答案】15
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设选对x道，则不选或选错的有(20-x)道
由题意可得：6x-2(20-x)≥80
解得：x≥15
∴至少应选对15道题
故答案为：15
【分析】设选对x道，则不选或选错的有(20-x)道，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
15．如图，在中，，，，点P是边上一动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为　 　．
【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在上截取，连接，过点D作于点E，如图，
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴；
由旋转可知，，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∴当最短时，最小．
∵垂线段最短，
∴当点P与点E重合时，有最小值，即此时有最小值，即为的长．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴线段的最小值为1．
故答案为：1．
【分析】在上截取，连接，过点D作于点E，证出当点P与点E重合时，有最小值，即此时有最小值，即为的长，再求出，结合，利用含30°角的直角三角形的性质可得，从而可得线段的最小值为1．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．解不等式，并将它的解集表示在数轴上．
【答案】解：
；
在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
17．如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E．求证△AED是等腰三角形．
【答案】证明：△AED是等腰三角形．
理由如下：∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形三线合一定理)，
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE(两直线平行，内错角相等)，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∴△AED是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】先利用“三线合一”的性质可得∠BAD=∠CAD，利用平行线的性质可得∠BAD=∠ADE，利用等量代换可得∠CAD=∠ADE，利用等角对等边的性质可得AE=DE，即可证出△AED是等腰三角形．
18．学校准备用2000元购买名著和词典，其中名著每套70元，词典每本40元，现已购买名著20套，最多还能买多少本词典？
【答案】解：设还能买词典x本，
根据题意得：，
解得，
答：最多还能买词典15本．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设还能买词典x本，利用“ 学校准备用2000元购买名著和词典 ”列出不等式求解即可.
19．如图，在中，垂直平分边，若的周长为，，则的长为多少？
【答案】解：∵垂直平分边，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换可得，最后求出即可．
20．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
【答案】解：（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；
（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；（2）先利用垂直平分线的性质可得∠ABD=∠A=30°，再利用角的运算求出∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，证出∠ABD=∠CBD，从而可得BD平分∠CBA．
21．为了庆祝国庆，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．
（1）求A，B两种奖品的单价．
（2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量多于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．
【答案】（1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
由题意得： ，
解得：，
答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；
（2）解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个，由题意得： ，
解得：，
∵m为整数，
∴m可取43或44，
∴或16，
∴学校有两种购买方案：
方案一：购买A种奖品43个，购买B种奖品17个；
方案二：购买A种奖品44个，购买B种奖品16个；
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设A种奖品的单价x元，B种奖品的单价y元，由题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购买A种奖品m个，B种奖品个，由题意列出不等式组，解不等式组求出正整数解即可．
22．已知关于的方程组的解均为非负数，
（1）用的代数式表示方程组的解；
（2）求的取值范围；
（3）化简：．
【答案】（1）解：得：
，
解得，
把代入②得：，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：∵关于的方程组的解均为非负数，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴
．

【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】
（1）观察方程组，用加减消元法可将x、y用含a的代数式表示出来；
（2）根据方程组的解均为非负数并结合（1）的结论可得关于a的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）根据（2）中求得的a的取值范围，并结合绝对值的非负性可去绝对值，然后根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算即可求解.
23．在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．
（1）如图1，当时，求BP的长；
（2）如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；
（3）在旋转过程中，当时，求旋转角的度数．
【答案】（1）解：时，点P落在上，等腰直角中，
∴，
∴.
（2）解：如图，延长到点F，使得，连接，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
中，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
（3）解：分两种情况：
①当点P在内部如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，
∵
∴，
中，
∴
由（2）推证知
∴
又，
∴
∴
又
∴中 ，
∴
②当点P在外部
如图，延长，交于点I，过点A作，垂足为点H
∵
∴，
∵，，
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即
综上，或.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质求出AB的长，再利用线段的和差求出BP的长即可；
（2）延长到点F，使得，连接，先利用角的运算和等量代换可得，再证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，利用等量代换可得；
（3）分类讨论：①当点P在内部如图 ，②当点P在外部，再分别画出图形并利用全等三角形的性质分析求解即可.
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