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广东省佛山市南海区桂城街道桂江第一初级中学2024---2025学年七年级下学期数学期中试卷
一、选择题（每小题3分，满分30分，请将答案填涂在答题卡上）
1．下列运算中结果正确的是 （　　）．
A． B．
C． D．
2．2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据0.0000893用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．守株待兔 B．种豆得豆 C．水中捞月 D．水涨船高
4．画中边上的高，下列画法中正确的是　　．
A． B．
C． D．
5．下列说法错误的是（　　）
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．相等的角一定是对顶角
C．两直线平行，同位角相等
D．同旁内角互补，两直线平行
6．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（　　）
A．10，5，5 B．5，8，4 C．12，5，6 D．3，6，13
7．如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，，，那么a、b、c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
9．有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（ ）
A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点
10．如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若一个等腰三角形的两边长分别为3，8．则它的周长为　 　．
12．已知，，则的值是　 　．
13．“头盔是生命之盔”．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数n（个） 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m（个） 95 194 289 479 769 959 2880
合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960
则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为 　 　．（结果精确到0.01）
14．小军用100元去买单价为5元的笔记本，他买完笔记本之后剩余的钱y元与买这种笔记本数量x本（，x为正整数）之间的关系式为　 　．
15．如图将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果，则有；②；③如果，则有，其中正确的有　 　．
三、解答题（一）（每题8分，共24分）
16．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中 ，．
17．填空并完成推理过程．
如图，点为上的点，点为上的点，，，试说明：．
证明：∵（　　）
（　　）
∴（　　）
∴_____________（　　）
∴（　　）
又∵（已知）
∴（　　）
∴（　　）
18．现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个；乙盒装有红球6个，白球4个和黑球10个．甲乙两个盒子的球除颜色外其它都相同．
（1）如果想取出1个黑球，从 盒中抽取成功的可能性大；从甲盒中摸到红球是 事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）小明同学说：“将4个红球再放入乙盒后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的可能性大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确．
四、解答题（二）（第19、20题每题9分，第21题10分，共28分）
19．操作题
（1）尺规作图：如图1，已知点是直线外一点，过点P作直线的平行线；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）①利用网格画图：过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点、垂足；
②线段_____的长度是点到直线的距离．
20．如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系：
物体的质量 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 …
（1）上表变量之间的关系中自变量是 ，因变量是 ；
（2）弹簧不悬挂重物时的长度为 ；物体质量每增加，弹簧长度增加 ；
（3）直接写出与的关系式： ；
（4）当所挂物体质量是时，弹簧的长度是多少？当弹簧的长度为时，所挂物体质量是多少？（写出解答过程并作答）
21．一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作．
（1）上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整）
（2）现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程．
（3）继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ．
（4）若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ．
五、解答题（三）（22题10分，23题13分）
22．数学活动课上，王老师准备了若干个图①所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．
（1）若小明想用图①中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共 张；
（2）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图②所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是： ；
（3）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图③所示放置，连接，与边，构成直角三角形，若，根据（2）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积．
（4）请你用几何图形直观解释．
23．添加辅助线在解决平行线相关问题时，起到了桥梁作用，它能够帮助我们构建新的几何关系，揭示隐藏的角度、线段或平行性，从而简化复杂问题，引导我们找到解决问题的关键路径．我们常见的辅助线添加方法有：构造与已知平行线平行的新线，利用平行线性质得出新的关系；又或者延长线段至相交，形成新的三角形，便于应用学过的定理．请利用辅助线完成以下问题的探究：
（1）【探究1】如图所示，，与相交于点，是的平分线．
若，，则　 　．
若，，求．
（2）【探究2】已知：，试求的度数．
（3）【探究3】利用探究1、探究2的结论，解答下面的问题：
如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，求．（用含有、的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项错误，不符合题意；
C、，该选项正确，符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据同底数幂的乘法运算、单项式除以单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算及幂的乘方运算分别求解即可得到结论．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.0000893用科学记数法表示为，
故选：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：、守株待兔是随机事件，故符合题意；
、种豆得豆是必然事件，故不符合题意；
、水中捞月是不可能事件，故不符合题意；
、水涨船高是必然事件，故不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据“随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”逐一判断即可．
4．【答案】D
【知识点】尺规作图-作高；三角形的高
【解析】【解答】解：A、AD不是的高，故不符合题意；
B、AD不是的高，故不符合题意；
C、AD不是的高，故不符合题意；
、AD中边上的高，故符合题意；
故答案为：．
【分析】根据三角形的高的定义（过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高）分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：A． 平行于同一条直线的两条直线平行，符合平行公理的推论，正确；
B． 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角（如平行线中的同位角、等腰三角形的底角），因此该说法错误；
C． 两直线平行时，同位角相等，符合平行线性质，正确；
D． 同旁内角互补时，两直线平行，符合平行线判定定理，正确．
故答案为：B.
【分析】利用平行线的传递性、对顶角的定义、平行线的性质和平行线的判定方法逐项分析判断即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A：最大边10，，不满足两边之和大于第三边，
∴此选项不符合题意；
B：最大边8，，且，均满足条件，
∴此选项不符合题意；
C：最大边12，，不满足条件，
∴此选项不符合题意；
D：最大边13，，不满足条件，
∴此选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】先找出各选项中的最大边，求出较小两边之和，并比较大小，然后根据三角形三边关系"任意两边之和需大于第三边"即可判断求解．
7．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角的度数是，
由题意得，，
解得：，
答：这个角的度数是.
故答案为：C．
【分析】设这个角的度数是，利用“ 一个角的补角等于它余角的4倍 ”列出方程求解即可.
8．【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，，，
∴，
故选：B．
【分析】先利用0指数幂、负整式指数幂和有理数的乘方化简，再比较大小即可.
9．【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵三角形硬纸板处于平衡状态，
∴这个点为三角形的重心，
由图可知点N为该三角形的重心．
故答案为：A．
【分析】利用三角形重心的定义及性质分析求解即可.
10．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，分别过点A，B作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】分别过点A，B作，先利用平行的性质及角的运算求出，再结合，求出，最后求出即可．
11．【答案】19
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若等腰三角形的腰长为3，则其三边长为3、3、8，由于3+3＜8，故此时不能构成三角形；
若等腰三角形的腰长为8，则其三边长为3、8、8，此时能构成三角形，且三角形的周长=3+8+8=19；
故答案为：19．
【分析】先根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系确定等腰三角形的三边长，再求其周长即可．
12．【答案】36
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
故答案为：36．
【分析】先将代数式变形为，再将 ，代入计算即可.
13．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数时，合格头盔的频率稳定在附近，
所以该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为．
故答案为：．
【分析】结合表格中的数据可得合格头盔的频率稳定在附近，再利用频率估算概率的计算方法求解即可.
14．【答案】y＝100﹣5x（0≤x≤20）
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：依题意得，
剩余的钱y（元）与买这种笔记本的本数x之间的关系为：y＝100﹣5x（0≤x≤20）．
故答案为：y＝100﹣5x（0≤x≤20）．
【分析】根据剩余的钱=总钱数-已花去的钱列式即可.
15．【答案】①②③
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：①，
，
，
，
，
故①正确，符合题意；
②，，
，
故②正确，符合题意；
③，
，
，，
，
，
故③正确，符合题意；
故答案为：①②③．
【分析】利用平行线的判定方法以及平行线的性质并结合图形逐项分析判断即可.
16．【答案】解：（1）
；
（2）
；
当，时，
原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用整式的混合运算化简可得，再将x、y的值代入计算即可.
17．【答案】证明：∵（已知），
（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：（已知）（对顶角相等），（等量代换），，（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（等量代换），（内错角相等，两直线平行）.
【知识点】推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定和性质以及推理方法和步骤分析求解即可.
18．【答案】（1）乙；随机
（2）解：从甲盒中随机取出1个红球的概率为：，
从乙盒中随机取出1个红球的概率为：
，
此时想取出1个红球，选甲盒成功的可能性大，故小明的说法不正确.
【知识点】事件的分类；概率公式
【解析】【解答】（1）解：从甲盒中随机取出1个黑球的概率为：，
从乙盒中随机取出1个黑球的概率为：，
，
∴从乙盒中抽取成功的机会大；
甲盒装中有5个红球，
从甲盒中摸到红球是随机事件，
故答案为：乙；随机.
【分析】（1）利用概率公式及随机事件的定义分析求解即可；
（2）先求出从甲、乙盒子中取出红球的概率，再比较大小即可.
（1）解：从甲盒中随机取出1个黑球的概率为：，
从乙盒中随机取出1个黑球的概率为：，
，
∴从乙盒中抽取成功的机会大；
甲盒装中有5个红球，
从甲盒中摸到红球是随机事件，
故答案为：乙；随机；
（2）解：从甲盒中随机取出1个红球的概率为：，
从乙盒中随机取出1个红球的概率为：
，
此时想取出1个红球，选甲盒成功的可能性大，故小明的说法不正确
19．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：①如图所示，即为所求的垂线，
②
【知识点】点到直线的距离；尺规作图-垂线；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：（2）②由图可知，线段的长度是点C到直线的距离，
故答案为：．
【分析】（1）利用平行线的作图方法和步骤作出图形即可；
（2）①利用垂线的作图方法和垂线段最短的方法分析求解即可；
②利用点到直线的定义分析求解即可.
（1）解：如图，即为所求，
（2）①如图所示，即为所求的垂线，
②由图可知，线段的长度是点C到直线的距离，
故答案为：．
20．【答案】（1）悬挂的物体的质量，弹簧的长度
（2）10，2
（3）
（4）解：当所挂物体质量是时，弹簧的长度是，
当弹簧的长度为时，，
解得：，
答：所挂物体质量是时，弹簧的长度是，当弹簧的长度为时，所挂物体质量是.

【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：上表变量之间的关系中自变量是悬挂的物体的质量，因变量是弹簧的长度，
故答案为：悬挂的物体的质量，弹簧的长度；
（2）解：弹簧不悬挂重物时的长度为；物体质量每增加，弹簧长度y增加，
故答案为：10，2；
（3）解：y与x的关系式为：，
故答案为：.
【分析】（1）利用自变量和因变量的定义分析求解即可；（2）结合表格中的数据分析求解即可；（3）利用“ 物体的重量每增加，弹簧长度y增加 ”列出函数解析式即可；
（4）将x=8和y=32分别代入解析式求解即可.
（1）解：上表变量之间的关系中自变量是悬挂的物体的质量，因变量是弹簧的长度，
故答案为：悬挂的物体的质量，弹簧的长度；
（2）解：弹簧不悬挂重物时的长度为；物体质量每增加，弹簧长度y增加，
故答案为：10，2；
（3）解：y与x的关系式为：，
故答案为：；
（4）解：当所挂物体质量是时，弹簧的长度是，
当弹簧的长度为时，，
解得：，
答：所挂物体质量是时，弹簧的长度是，当弹簧的长度为时，所挂物体质量是
21．【答案】（1）①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
（2）解：第1次：123是3的倍数，；
第2次：41不是3的倍数，；
第 3 次：25不是3的倍数，，
所以操作第3次后得到的数是49．
（3）169
（4）1，169
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的乘方法则；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
（3）解：第4次：49不是3的倍数，；
第5次：169不是3的倍数，；
第6次：256不是3的倍数，，
∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169，
故答案为：，．
（4）解：当输入111时，
第1次：111是3的倍数，；
第2次：37不是3的倍数，；
第3次：100不是3的倍数，；
第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1．
当输入222时，
第1次：222是3的倍数，；
第2次：74不是3的倍数，；
第3次：121不是3的倍数，；
第4次：25不是3的倍数，；
第5次：49不是3的倍数，；
第5次：169不是3的倍数，；
第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169．
故答案为：1，169．
【分析】（1）利用流程图中的计算方法分析求解即可；
（2）将数据代入流程图计算即可；
（3）将数据直接代入流程图计算并判断即可；
（4）将111和222分别代入流程图计算即可.
（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
（2）解：第1次：123是3的倍数，；
第2次：41不是3的倍数，；
第 3 次：25不是3的倍数，，
所以操作第3次后得到的数是49．
（3）解：第4次：49不是3的倍数，；
第5次：169不是3的倍数，；
第6次：256不是3的倍数，，
∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169，
故答案为：，．
（4）解：当输入111时，
第1次：111是3的倍数，；
第2次：37不是3的倍数，；
第3次：100不是3的倍数，；
第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1．
当输入222时，
第1次：222是3的倍数，；
第2次：74不是3的倍数，；
第3次：121不是3的倍数，；
第4次：25不是3的倍数，；
第5次：49不是3的倍数，；
第5次：169不是3的倍数，；
第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169．
故答案为：1，169．
22．【答案】（1）6
（2）
（3）解：，，
∴，
解得：，
∴直角三角形的面积为.
（4）解：的几何图形如下：
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：，
∴需要A种纸片2张，B种纸片1张，C种纸片3张，
∴需要三种纸片6张，
故答案为：6；
（2）∵图2大正方形的面积等于4部分面积之和，
．
∴代数式，，之间的等量关系式为：．
故答案为：.
【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法展开并判断即可；
（2）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到等式；
（3）利用完全平方公式及推理求解即可；
（4）利用代数式直接画出图形分析求解即可.
（1）解：，
∴需要A种纸片2张，B种纸片1张，C种纸片3张，
∴需要三种纸片6张，
故答案为：6；
（2）∵图2大正方形的面积等于4部分面积之和，
．
∴代数式，，之间的等量关系式为：．
故答案为：；
（3），由，
得，解得，
则直角三角形的面积为
（4）的几何图形如下：
23．【答案】（1）解：①；②如图，同作，，，，，，，，，，是的平分线，；
（2）解：如图，作，，，
，
，
，，
，
，
；
，
，，
，
同理，，
，，
，
，
，
，
.

（3）解：如图，作，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：①如图，作，
，，
，
，，
，
，
，
，
是的平分线，
，
故答案为：.
【分析】（1）①作，利用平行线的性质及角的运算求出，再利用角平分线的定义求出即可；
②作，先利用平行线的性质及角的运算求出，再利用角平分线的定义求出即可；
（2）作，，，先利用平行线的性质可得，，，，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）作，，，先利用平行线的性质及角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，，利用角的运算和等量代换可得，再结合，，最后求出即可．
（1）解：如图，作，
，，
，
，，
，
，
，
，
是的平分线，
，
故答案为：；
如图，同作，
，，
，
，，
，
，
，
，
是的平分线，
；
（2）解：如图，作，，，
，
，
，，
，
，
；
，
，，
，
同理，，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，作，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
1 / 1广东省佛山市南海区桂城街道桂江第一初级中学2024---2025学年七年级下学期数学期中试卷
一、选择题（每小题3分，满分30分，请将答案填涂在答题卡上）
1．下列运算中结果正确的是 （　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项错误，不符合题意；
C、，该选项正确，符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据同底数幂的乘法运算、单项式除以单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算及幂的乘方运算分别求解即可得到结论．
2．2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据0.0000893用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.0000893用科学记数法表示为，
故选：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．守株待兔 B．种豆得豆 C．水中捞月 D．水涨船高
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：、守株待兔是随机事件，故符合题意；
、种豆得豆是必然事件，故不符合题意；
、水中捞月是不可能事件，故不符合题意；
、水涨船高是必然事件，故不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据“随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”逐一判断即可．
4．画中边上的高，下列画法中正确的是　　．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-作高；三角形的高
【解析】【解答】解：A、AD不是的高，故不符合题意；
B、AD不是的高，故不符合题意；
C、AD不是的高，故不符合题意；
、AD中边上的高，故符合题意；
故答案为：．
【分析】根据三角形的高的定义（过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高）分析求解即可.
5．下列说法错误的是（　　）
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．相等的角一定是对顶角
C．两直线平行，同位角相等
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：A． 平行于同一条直线的两条直线平行，符合平行公理的推论，正确；
B． 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角（如平行线中的同位角、等腰三角形的底角），因此该说法错误；
C． 两直线平行时，同位角相等，符合平行线性质，正确；
D． 同旁内角互补时，两直线平行，符合平行线判定定理，正确．
故答案为：B.
【分析】利用平行线的传递性、对顶角的定义、平行线的性质和平行线的判定方法逐项分析判断即可.
6．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（　　）
A．10，5，5 B．5，8，4 C．12，5，6 D．3，6，13
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A：最大边10，，不满足两边之和大于第三边，
∴此选项不符合题意；
B：最大边8，，且，均满足条件，
∴此选项不符合题意；
C：最大边12，，不满足条件，
∴此选项不符合题意；
D：最大边13，，不满足条件，
∴此选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】先找出各选项中的最大边，求出较小两边之和，并比较大小，然后根据三角形三边关系"任意两边之和需大于第三边"即可判断求解．
7．如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角的度数是，
由题意得，，
解得：，
答：这个角的度数是.
故答案为：C．
【分析】设这个角的度数是，利用“ 一个角的补角等于它余角的4倍 ”列出方程求解即可.
8．已知，，，那么a、b、c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，，，
∴，
故选：B．
【分析】先利用0指数幂、负整式指数幂和有理数的乘方化简，再比较大小即可.
9．有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（ ）
A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点
【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵三角形硬纸板处于平衡状态，
∴这个点为三角形的重心，
由图可知点N为该三角形的重心．
故答案为：A．
【分析】利用三角形重心的定义及性质分析求解即可.
10．如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，分别过点A，B作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】分别过点A，B作，先利用平行的性质及角的运算求出，再结合，求出，最后求出即可．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若一个等腰三角形的两边长分别为3，8．则它的周长为　 　．
【答案】19
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若等腰三角形的腰长为3，则其三边长为3、3、8，由于3+3＜8，故此时不能构成三角形；
若等腰三角形的腰长为8，则其三边长为3、8、8，此时能构成三角形，且三角形的周长=3+8+8=19；
故答案为：19．
【分析】先根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系确定等腰三角形的三边长，再求其周长即可．
12．已知，，则的值是　 　．
【答案】36
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
故答案为：36．
【分析】先将代数式变形为，再将 ，代入计算即可.
13．“头盔是生命之盔”．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数n（个） 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m（个） 95 194 289 479 769 959 2880
合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960
则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为 　 　．（结果精确到0.01）
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数时，合格头盔的频率稳定在附近，
所以该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为．
故答案为：．
【分析】结合表格中的数据可得合格头盔的频率稳定在附近，再利用频率估算概率的计算方法求解即可.
14．小军用100元去买单价为5元的笔记本，他买完笔记本之后剩余的钱y元与买这种笔记本数量x本（，x为正整数）之间的关系式为　 　．
【答案】y＝100﹣5x（0≤x≤20）
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：依题意得，
剩余的钱y（元）与买这种笔记本的本数x之间的关系为：y＝100﹣5x（0≤x≤20）．
故答案为：y＝100﹣5x（0≤x≤20）．
【分析】根据剩余的钱=总钱数-已花去的钱列式即可.
15．如图将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果，则有；②；③如果，则有，其中正确的有　 　．
【答案】①②③
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：①，
，
，
，
，
故①正确，符合题意；
②，，
，
故②正确，符合题意；
③，
，
，，
，
，
故③正确，符合题意；
故答案为：①②③．
【分析】利用平行线的判定方法以及平行线的性质并结合图形逐项分析判断即可.
三、解答题（一）（每题8分，共24分）
16．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中 ，．
【答案】解：（1）
；
（2）
；
当，时，
原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用整式的混合运算化简可得，再将x、y的值代入计算即可.
17．填空并完成推理过程．
如图，点为上的点，点为上的点，，，试说明：．
证明：∵（　　）
（　　）
∴（　　）
∴_____________（　　）
∴（　　）
又∵（已知）
∴（　　）
∴（　　）
【答案】证明：∵（已知），
（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：（已知）（对顶角相等），（等量代换），，（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（等量代换），（内错角相等，两直线平行）.
【知识点】推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定和性质以及推理方法和步骤分析求解即可.
18．现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个；乙盒装有红球6个，白球4个和黑球10个．甲乙两个盒子的球除颜色外其它都相同．
（1）如果想取出1个黑球，从 盒中抽取成功的可能性大；从甲盒中摸到红球是 事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）小明同学说：“将4个红球再放入乙盒后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的可能性大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确．
【答案】（1）乙；随机
（2）解：从甲盒中随机取出1个红球的概率为：，
从乙盒中随机取出1个红球的概率为：
，
此时想取出1个红球，选甲盒成功的可能性大，故小明的说法不正确.
【知识点】事件的分类；概率公式
【解析】【解答】（1）解：从甲盒中随机取出1个黑球的概率为：，
从乙盒中随机取出1个黑球的概率为：，
，
∴从乙盒中抽取成功的机会大；
甲盒装中有5个红球，
从甲盒中摸到红球是随机事件，
故答案为：乙；随机.
【分析】（1）利用概率公式及随机事件的定义分析求解即可；
（2）先求出从甲、乙盒子中取出红球的概率，再比较大小即可.
（1）解：从甲盒中随机取出1个黑球的概率为：，
从乙盒中随机取出1个黑球的概率为：，
，
∴从乙盒中抽取成功的机会大；
甲盒装中有5个红球，
从甲盒中摸到红球是随机事件，
故答案为：乙；随机；
（2）解：从甲盒中随机取出1个红球的概率为：，
从乙盒中随机取出1个红球的概率为：
，
此时想取出1个红球，选甲盒成功的可能性大，故小明的说法不正确
四、解答题（二）（第19、20题每题9分，第21题10分，共28分）
19．操作题
（1）尺规作图：如图1，已知点是直线外一点，过点P作直线的平行线；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）①利用网格画图：过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点、垂足；
②线段_____的长度是点到直线的距离．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：①如图所示，即为所求的垂线，
②
【知识点】点到直线的距离；尺规作图-垂线；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：（2）②由图可知，线段的长度是点C到直线的距离，
故答案为：．
【分析】（1）利用平行线的作图方法和步骤作出图形即可；
（2）①利用垂线的作图方法和垂线段最短的方法分析求解即可；
②利用点到直线的定义分析求解即可.
（1）解：如图，即为所求，
（2）①如图所示，即为所求的垂线，
②由图可知，线段的长度是点C到直线的距离，
故答案为：．
20．如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系：
物体的质量 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 …
（1）上表变量之间的关系中自变量是 ，因变量是 ；
（2）弹簧不悬挂重物时的长度为 ；物体质量每增加，弹簧长度增加 ；
（3）直接写出与的关系式： ；
（4）当所挂物体质量是时，弹簧的长度是多少？当弹簧的长度为时，所挂物体质量是多少？（写出解答过程并作答）
【答案】（1）悬挂的物体的质量，弹簧的长度
（2）10，2
（3）
（4）解：当所挂物体质量是时，弹簧的长度是，
当弹簧的长度为时，，
解得：，
答：所挂物体质量是时，弹簧的长度是，当弹簧的长度为时，所挂物体质量是.

【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：上表变量之间的关系中自变量是悬挂的物体的质量，因变量是弹簧的长度，
故答案为：悬挂的物体的质量，弹簧的长度；
（2）解：弹簧不悬挂重物时的长度为；物体质量每增加，弹簧长度y增加，
故答案为：10，2；
（3）解：y与x的关系式为：，
故答案为：.
【分析】（1）利用自变量和因变量的定义分析求解即可；（2）结合表格中的数据分析求解即可；（3）利用“ 物体的重量每增加，弹簧长度y增加 ”列出函数解析式即可；
（4）将x=8和y=32分别代入解析式求解即可.
（1）解：上表变量之间的关系中自变量是悬挂的物体的质量，因变量是弹簧的长度，
故答案为：悬挂的物体的质量，弹簧的长度；
（2）解：弹簧不悬挂重物时的长度为；物体质量每增加，弹簧长度y增加，
故答案为：10，2；
（3）解：y与x的关系式为：，
故答案为：；
（4）解：当所挂物体质量是时，弹簧的长度是，
当弹簧的长度为时，，
解得：，
答：所挂物体质量是时，弹簧的长度是，当弹簧的长度为时，所挂物体质量是
21．一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作．
（1）上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整）
（2）现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程．
（3）继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ．
（4）若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ．
【答案】（1）①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
（2）解：第1次：123是3的倍数，；
第2次：41不是3的倍数，；
第 3 次：25不是3的倍数，，
所以操作第3次后得到的数是49．
（3）169
（4）1，169
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的乘方法则；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
（3）解：第4次：49不是3的倍数，；
第5次：169不是3的倍数，；
第6次：256不是3的倍数，，
∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169，
故答案为：，．
（4）解：当输入111时，
第1次：111是3的倍数，；
第2次：37不是3的倍数，；
第3次：100不是3的倍数，；
第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1．
当输入222时，
第1次：222是3的倍数，；
第2次：74不是3的倍数，；
第3次：121不是3的倍数，；
第4次：25不是3的倍数，；
第5次：49不是3的倍数，；
第5次：169不是3的倍数，；
第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169．
故答案为：1，169．
【分析】（1）利用流程图中的计算方法分析求解即可；
（2）将数据代入流程图计算即可；
（3）将数据直接代入流程图计算并判断即可；
（4）将111和222分别代入流程图计算即可.
（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
（2）解：第1次：123是3的倍数，；
第2次：41不是3的倍数，；
第 3 次：25不是3的倍数，，
所以操作第3次后得到的数是49．
（3）解：第4次：49不是3的倍数，；
第5次：169不是3的倍数，；
第6次：256不是3的倍数，，
∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169，
故答案为：，．
（4）解：当输入111时，
第1次：111是3的倍数，；
第2次：37不是3的倍数，；
第3次：100不是3的倍数，；
第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1．
当输入222时，
第1次：222是3的倍数，；
第2次：74不是3的倍数，；
第3次：121不是3的倍数，；
第4次：25不是3的倍数，；
第5次：49不是3的倍数，；
第5次：169不是3的倍数，；
第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169．
故答案为：1，169．
五、解答题（三）（22题10分，23题13分）
22．数学活动课上，王老师准备了若干个图①所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．
（1）若小明想用图①中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共 张；
（2）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图②所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是： ；
（3）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图③所示放置，连接，与边，构成直角三角形，若，根据（2）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积．
（4）请你用几何图形直观解释．
【答案】（1）6
（2）
（3）解：，，
∴，
解得：，
∴直角三角形的面积为.
（4）解：的几何图形如下：
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：，
∴需要A种纸片2张，B种纸片1张，C种纸片3张，
∴需要三种纸片6张，
故答案为：6；
（2）∵图2大正方形的面积等于4部分面积之和，
．
∴代数式，，之间的等量关系式为：．
故答案为：.
【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法展开并判断即可；
（2）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到等式；
（3）利用完全平方公式及推理求解即可；
（4）利用代数式直接画出图形分析求解即可.
（1）解：，
∴需要A种纸片2张，B种纸片1张，C种纸片3张，
∴需要三种纸片6张，
故答案为：6；
（2）∵图2大正方形的面积等于4部分面积之和，
．
∴代数式，，之间的等量关系式为：．
故答案为：；
（3），由，
得，解得，
则直角三角形的面积为
（4）的几何图形如下：
23．添加辅助线在解决平行线相关问题时，起到了桥梁作用，它能够帮助我们构建新的几何关系，揭示隐藏的角度、线段或平行性，从而简化复杂问题，引导我们找到解决问题的关键路径．我们常见的辅助线添加方法有：构造与已知平行线平行的新线，利用平行线性质得出新的关系；又或者延长线段至相交，形成新的三角形，便于应用学过的定理．请利用辅助线完成以下问题的探究：
（1）【探究1】如图所示，，与相交于点，是的平分线．
若，，则　 　．
若，，求．
（2）【探究2】已知：，试求的度数．
（3）【探究3】利用探究1、探究2的结论，解答下面的问题：
如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，求．（用含有、的代数式表示）．
【答案】（1）解：①；②如图，同作，，，，，，，，，，是的平分线，；
（2）解：如图，作，，，
，
，
，，
，
，
；
，
，，
，
同理，，
，，
，
，
，
，
.

（3）解：如图，作，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：①如图，作，
，，
，
，，
，
，
，
，
是的平分线，
，
故答案为：.
【分析】（1）①作，利用平行线的性质及角的运算求出，再利用角平分线的定义求出即可；
②作，先利用平行线的性质及角的运算求出，再利用角平分线的定义求出即可；
（2）作，，，先利用平行线的性质可得，，，，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）作，，，先利用平行线的性质及角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，，利用角的运算和等量代换可得，再结合，，最后求出即可．
（1）解：如图，作，
，，
，
，，
，
，
，
，
是的平分线，
，
故答案为：；
如图，同作，
，，
，
，，
，
，
，
，
是的平分线，
；
（2）解：如图，作，，，
，
，
，，
，
，
；
，
，，
，
同理，，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，作，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
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