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浙江省丽水市缙云县2025年九年级中考二模数学试卷
一、下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（　　）
A．3 B． C． D．
2．年央视蛇年春晚全媒体观看人次再创新高，截至月日，观看人次达亿，较去年增长了，数据“亿”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．计算 ，正确的结果是（　　）
A．1 B． C． a D．
4．如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（　　）．
A．方差 B．中位数 C．标准差 D．平均数
6．如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
7．如图是有几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从左面看到的这个几何体的形状图是（　　）
A． B． C． D．
8．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何.”其大意为：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行.问人与车各有多少.设共有x人，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．将边长为的菱形分别沿着和折叠（，，，分别在边，，，上），使点和点在折叠后均落在边上的点处．若，，于点，则的周长为（　　）．
A． B． C． D．
10．已知二次函数，若点，点，点都在该二次函数的图象上，且，则的取值范围为（　　）．
A． B．或
C． D．或
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．方程的解是　 　．
12．在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率为　 　．
13．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=　 　m．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足在轴上，点，分别为，的中点，，交于点，反比例函数的图象经过点，已知的面积为3，则的值为　 　
16．如图，四边形和四边形都是矩形，且，，连结，，，将矩形绕点顺时针转动，若边所在的直线恰好经过线段的中点，则的面积为　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．计算：
18．计算：．
19．是一种基于人工智能技术的深度搜索引擎或数据分析工具．由于工作需要，某公司在用它处理文本和图片数据时发现，处理的数据总量（单位：）与处理数据的时长（单位：）的部分对应值如下表：
时长 0.5 1 1.5 2 4
数据总量 32 64 96 128 256
（1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式；
（2）现要处理的数据，一共需要多少小时？
20．为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：．党史宣讲；．歌曲演唱；．校刊编撰；．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了如下统计图表（不完整）．
各组参加人数情况统计表：
小组类别
人数（人） 10 15 5
各组参加人数情况的扇形统计图：
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求和的值；
（2）求扇形统计图中所对应的圆心角度数；
（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如表所示：
小组类别
平均用时（小时） 2.5 3 2 3
求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．
21．如图1，在正方形中，进行如下两步操作：第1步：分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，连结；第2步：以点为圆心，长为半径作弧，交线段的延长线于点，连结．
根据以上尺规作图步骤，完成以下问题：
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）如图2，连结，交于点，求与的周长比．
22．根据以下素材，探索完成任务．
问题：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度
素材1 如图1，一种路灯由灯杆和灯管支架两部分构成，已知灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角．
素材2 如图2，在路灯正前方的点处测得，，．
素材3 用计算器算得，，．
问题解决
任务1 求灯杆的长度．
任务2 求灯管支架的长度．（结果精确到）
23．定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级摆动点”．例如，点的“2级摆动点”是点，即点．
（1）点的3级摆动点是否在一次函数的图象上？请说明理由；
（2）若函数的图象上存在点的“级摆动点”，求的值；
（3）若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级摆动点”都在直线上，并且同时满足：，求证：．
24．已知内接于，于点．
（1）如图1，当经过圆心时，求证：；
（2）如图2，当不经过圆心时，过点作于点，交于点，交于点，连结，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若，，，求的半径长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：；
故答案为：A．
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数可求解．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1．
3．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： = ，故答案为：A.
【分析】根据分式加减法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加，依此即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由图可知，，则有：
A、，原不等式不成立，
∴此选项不符合题意；
B、，原不等式不成立，
∴此选项不符合题意；
C、，原不等式成立，
∴此选项符合题意；
D、，原不等式不成立，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由图可知，，根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”即可判断求解．
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；标准差
【解析】【解答】解：∵平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，要受方差影响，
∴当将最高成绩写得更高了时，平均数，方差，标准差均会受到影响，
∵中位数与数据个数和排序有关，当将最高成绩写得更高了时，数据个数不变，排序不变，中位数也不会发生变化，
∴中位数不受影响；
故答案为：B．
【分析】根据平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响，中位数与数据个数和排序有关，即可判断求解．
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据三角形的内角和定理和等边对等角可求出，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求，然后根据角的和差计算即可求解．
7．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解；由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排两个正方形、第2列只有前排有2个正方形，据此可得左视图的形状是：
故答案为：C.
【分析】由俯视图可知：该几何体共2列，左起第1列第一排1个正方形、后1排两个正方形、第2列只有前排有2个正方形，并结合左视图的意义“从左面看所得的图形”即可求解．
8．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共有x人，根据题意可列方程，
=，
故答案为：A.
【分析】本题考查的是一元一次方程的实际应用，确定相等关系列方程是结题的关键.设共有x人，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得车有辆，由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得车有辆，从而可得答案.
9．【答案】C
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
∵菱形的边长为，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：C．
【分析】根据折叠的性质何线段的和差可得，在Rt MCE中，用勾股定理解求得，由线段的和差BM=BC-MC求得BM的值，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和即可求解．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的对称轴为，
∵点，点，
∴，
∴，
设抛物线与y轴的交点为Q，则，
∵抛物线开口向上，
∴距离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∴，
当时，得，
解得；
当时，得，
解得；
当时，得，无解，
∴或，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的解析式可得抛物线的对称轴为；根据A、B两点的坐标可知两点关于抛物线的对称轴对称，于是可得关于m、n的等式：，整理可将m用含n的代数式表示出来，设抛物线与y轴的交点为，根据抛物线开口向上，结合已知条件可得关于n的不等式组，解之可得n的范围．
11．【答案】
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据解一元一次方程的步骤"移项、合并同类项、系数化为1"计算即可求解．
12．【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意可得摸出的球为红球的概率为
故答案为：.
【分析】利用等可能事件的概率公式进行计算即可求解.
13．【答案】9.88
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，即，
解得AB=9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．
故答案为：9.88．
【分析】根据平行投影的定义“由平行光线形成的投影是平行投影”可得AC∥DE，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠ACB=∠DFE，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得Rt△ABC∽Rt△DEF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
14．【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵sin∠BAC＝＝，
∴设BC＝x，AC＝3x，
∴AB＝＝＝2x，
∴OB＝AB＝x，
∴tan∠BOC＝＝，
故答案为：．
【分析】根据切线的性质得AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，在Rt ABC中，根据勾股定理将AB用含x的代数式表示出来，然后根据锐角三角函数tan∠BOC=可求解．
15．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点D作交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
过点E作交于点N，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：8．
【分析】过点D作交于点M，根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”并结合已知条件可得，过点E作交于点N，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，则，，根据三角形的面积并结合反比例函数的性质可求解．
16．【答案】或
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：当与交于点E时，直线经过线段的中点Q，
过点作于点Ｍ，
∵四边形和四边形都是矩形，且，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当与的延长线交于点E时，直线经过线段的中点Q，
过点作于点T，
∵四边形和四边形都是矩形，且，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设的交点为N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
故答案为：或．
【分析】由题意，分两种情况：①当与交于点E时，直线经过线段的中点Q，过点作于点Ｍ，用角角边分别可证明，，然后根据即可求解；
②当与的延长线交于点E时，直线经过线段的中点Q，过点作于点T，同①可得S CB股的值；设的交点为N，由“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得BN的值，然后根据三角形面积的和差“”可求解．
17．【答案】解：原式．
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得3-1=，由特殊角的三角函数值可得tan45°=1，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解．
18．【答案】解：原式
．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】由单项式乘多项式法则"单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加."和平方差公式去括号，然后根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解．
19．【答案】（1）解：根据表格信息，可知当时长t每增加，数据总量s增加，
∴是的一次函数关系，设关于的函数表达式为，
∴，
解得，，
∴；

（2）解：当时，，
解得，，
∴要处理的数据，一共需要小时．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据表格信息，用待定系数法即可求解；
（2）由题意，将s=352代入（1）中的函数关系式可得关于t的方程，解方程即可求解.
（1）解：根据表格信息，可知当时长t每增加，数据总量s增加，
∴是的一次函数关系，设关于的函数表达式为，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：当时，，
解得，，
∴要处理的数据，一共需要小时．
20．【答案】解：（1）由题意可知四个小组所有成员总人数是：（人）．
∴，
，
∴．
（2）∵，
∴扇形统计图中所对应的圆心角度数是．
（3）（小时），
∴这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据公式样本容量=频数÷百分比可求出总人数，再根据样本容量=各小组频数之和可求出a的值；根据百分比=频数样本容量可求出m的值；
（2）根据圆心角度数=该项所占百分比360 可求解；
（3）根据平均数的公式计算可求解．
21．【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
由作图可知：为的中点，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）由（1）可知：，，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；正方形的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）根据尺规作图和正方形的性质可得，于是可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断求解；
（2）根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的周长比等于相似比可求解．
（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
由作图可知：为的中点，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）由（1）可知：，，
∴，
∴．
22．【答案】解：任务1：∵在中，，
，
，
答：灯杆的长度为．
任务2：如图，过点C作于点E，过点B作于点E．
设．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，，
所以灯管支架的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
任务1：在中，根据锐角三角函数tan∠ADB=求得AB的值；
任务2：过点作，过点作，构造直角三角形、．设，根据锐角三角函数sin∠CBF=、cos∠CBF=用含的代数式表示，由线段的和差CE=EF+CF将CE用含的代数式表示出来，根据CE=DE可得关于x的方程，解方程即可求解.
23．【答案】（1）解：点的3级摆动点为：，即，
当时，，
故在一次函数的图象上．
（2）解：根据题意，得点的“级摆动点”为，
由函数的图象上存在点的“级摆动点”可得：，
整理，得，
解得（舍去），
∴．
（3）解：∵点，的“1级摆动点”坐标分别为，，且这两个点的“1级摆动点”都在直线上，
∴，，
∴，，
∴，，
∵的二次函数的图象上恰有两个点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据摆动点的定义求得点的3级摆动点为，将求得的摆动点代入一次函数计算即可判断求解；
（2）确定点的“级摆动点”为，代入反比例函数的解析式可得关于k的方程，解方程即可求解；
（3）根据这两个点的“1级摆动点”都在直线上，结合抛物线上点的坐标特征，求得，，构造一元二次方程，再根据根的判别式可得，结合可得关于b的不等式，解不等式即可求解．
（1）解：点的3级摆动点为即，
当时，，
故在一次函数的图象上．
（2）解：根据题意，得点的“级摆动点”为，
由函数的图象上存在点的“级摆动点”
得，
整理，得，
解得（舍去），
故．
（3）解：∵点，的“1级摆动点”坐标分别为
，，且这两个点的“1级摆动点”都在直线上，
∴，，
∴，，
∴，，
∵的二次函数的图象上恰有两个点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．【答案】（1）证明：∵，且经过圆心，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴．
（2）证明：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
设与的交点为G，
则，，
∴一定经过圆心，
∵，
∴，
连接，
∵，
不妨设，
∴，
∴，
∴
解得（负的舍去），
∴，
∴，
∴，（负的舍去），
设的半径长，
则
根据勾股定理，得，
解得，
故的半径长为．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得AH=BH，结合已知，由线段的垂直平分线性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解；
（2）连接，结合已知，用角边角证明，由全等三角形的对应边相等可得PE=PD，结合已知，用边角边证明，由全等三角形的对应角相等可得∠PBE=∠PBD，然后根据圆周角定理即可求解；
（3）先证明直线是线段的垂直平分线，设与的交点为G，于是可得，，由垂径定理的推论可判定一定经过圆心，连接，设，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得，，设的半径长，由线段的和差将OG用含y的代数式表示出来，再Rt△POG中，根据勾股定理得关于y的方程，解方程即可求解．
（1）证明：∵，且经过圆心，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴．
（2）证明：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
设与的交点为G，
则，，
∴一定经过圆心，
∵，
∴，
连接，
∵，
不妨设，
∴，
∴，
∴
解得（负的舍去），
∴，
∴，
∴，（负的舍去），
设的半径长，
则
根据勾股定理，得，
解得，
故的半径长为．
1 / 1浙江省丽水市缙云县2025年九年级中考二模数学试卷
一、下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：；
故答案为：A．
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数可求解．
2．年央视蛇年春晚全媒体观看人次再创新高，截至月日，观看人次达亿，较去年增长了，数据“亿”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1．
3．计算 ，正确的结果是（　　）
A．1 B． C． a D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： = ，故答案为：A.
【分析】根据分式加减法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加，依此即可得出答案.
4．如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由图可知，，则有：
A、，原不等式不成立，
∴此选项不符合题意；
B、，原不等式不成立，
∴此选项不符合题意；
C、，原不等式成立，
∴此选项符合题意；
D、，原不等式不成立，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由图可知，，根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”即可判断求解．
5．测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（　　）．
A．方差 B．中位数 C．标准差 D．平均数
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；标准差
【解析】【解答】解：∵平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，要受方差影响，
∴当将最高成绩写得更高了时，平均数，方差，标准差均会受到影响，
∵中位数与数据个数和排序有关，当将最高成绩写得更高了时，数据个数不变，排序不变，中位数也不会发生变化，
∴中位数不受影响；
故答案为：B．
【分析】根据平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响，中位数与数据个数和排序有关，即可判断求解．
6．如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据三角形的内角和定理和等边对等角可求出，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求，然后根据角的和差计算即可求解．
7．如图是有几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从左面看到的这个几何体的形状图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解；由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排两个正方形、第2列只有前排有2个正方形，据此可得左视图的形状是：
故答案为：C.
【分析】由俯视图可知：该几何体共2列，左起第1列第一排1个正方形、后1排两个正方形、第2列只有前排有2个正方形，并结合左视图的意义“从左面看所得的图形”即可求解．
8．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何.”其大意为：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行.问人与车各有多少.设共有x人，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共有x人，根据题意可列方程，
=，
故答案为：A.
【分析】本题考查的是一元一次方程的实际应用，确定相等关系列方程是结题的关键.设共有x人，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得车有辆，由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得车有辆，从而可得答案.
9．将边长为的菱形分别沿着和折叠（，，，分别在边，，，上），使点和点在折叠后均落在边上的点处．若，，于点，则的周长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
∵菱形的边长为，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：C．
【分析】根据折叠的性质何线段的和差可得，在Rt MCE中，用勾股定理解求得，由线段的和差BM=BC-MC求得BM的值，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和即可求解．
10．已知二次函数，若点，点，点都在该二次函数的图象上，且，则的取值范围为（　　）．
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的对称轴为，
∵点，点，
∴，
∴，
设抛物线与y轴的交点为Q，则，
∵抛物线开口向上，
∴距离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∴，
当时，得，
解得；
当时，得，
解得；
当时，得，无解，
∴或，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的解析式可得抛物线的对称轴为；根据A、B两点的坐标可知两点关于抛物线的对称轴对称，于是可得关于m、n的等式：，整理可将m用含n的代数式表示出来，设抛物线与y轴的交点为，根据抛物线开口向上，结合已知条件可得关于n的不等式组，解之可得n的范围．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据解一元一次方程的步骤"移项、合并同类项、系数化为1"计算即可求解．
12．在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意可得摸出的球为红球的概率为
故答案为：.
【分析】利用等可能事件的概率公式进行计算即可求解.
13．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=　 　m．
【答案】9.88
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，即，
解得AB=9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．
故答案为：9.88．
【分析】根据平行投影的定义“由平行光线形成的投影是平行投影”可得AC∥DE，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠ACB=∠DFE，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得Rt△ABC∽Rt△DEF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝　 　．
【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵sin∠BAC＝＝，
∴设BC＝x，AC＝3x，
∴AB＝＝＝2x，
∴OB＝AB＝x，
∴tan∠BOC＝＝，
故答案为：．
【分析】根据切线的性质得AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，在Rt ABC中，根据勾股定理将AB用含x的代数式表示出来，然后根据锐角三角函数tan∠BOC=可求解．
15．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足在轴上，点，分别为，的中点，，交于点，反比例函数的图象经过点，已知的面积为3，则的值为　 　
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点D作交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
过点E作交于点N，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：8．
【分析】过点D作交于点M，根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”并结合已知条件可得，过点E作交于点N，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，则，，根据三角形的面积并结合反比例函数的性质可求解．
16．如图，四边形和四边形都是矩形，且，，连结，，，将矩形绕点顺时针转动，若边所在的直线恰好经过线段的中点，则的面积为　 　．
【答案】或
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：当与交于点E时，直线经过线段的中点Q，
过点作于点Ｍ，
∵四边形和四边形都是矩形，且，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当与的延长线交于点E时，直线经过线段的中点Q，
过点作于点T，
∵四边形和四边形都是矩形，且，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设的交点为N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
故答案为：或．
【分析】由题意，分两种情况：①当与交于点E时，直线经过线段的中点Q，过点作于点Ｍ，用角角边分别可证明，，然后根据即可求解；
②当与的延长线交于点E时，直线经过线段的中点Q，过点作于点T，同①可得S CB股的值；设的交点为N，由“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得BN的值，然后根据三角形面积的和差“”可求解．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．计算：
【答案】解：原式．
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得3-1=，由特殊角的三角函数值可得tan45°=1，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解．
18．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】由单项式乘多项式法则"单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加."和平方差公式去括号，然后根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解．
19．是一种基于人工智能技术的深度搜索引擎或数据分析工具．由于工作需要，某公司在用它处理文本和图片数据时发现，处理的数据总量（单位：）与处理数据的时长（单位：）的部分对应值如下表：
时长 0.5 1 1.5 2 4
数据总量 32 64 96 128 256
（1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式；
（2）现要处理的数据，一共需要多少小时？
【答案】（1）解：根据表格信息，可知当时长t每增加，数据总量s增加，
∴是的一次函数关系，设关于的函数表达式为，
∴，
解得，，
∴；

（2）解：当时，，
解得，，
∴要处理的数据，一共需要小时．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据表格信息，用待定系数法即可求解；
（2）由题意，将s=352代入（1）中的函数关系式可得关于t的方程，解方程即可求解.
（1）解：根据表格信息，可知当时长t每增加，数据总量s增加，
∴是的一次函数关系，设关于的函数表达式为，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：当时，，
解得，，
∴要处理的数据，一共需要小时．
20．为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：．党史宣讲；．歌曲演唱；．校刊编撰；．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了如下统计图表（不完整）．
各组参加人数情况统计表：
小组类别
人数（人） 10 15 5
各组参加人数情况的扇形统计图：
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求和的值；
（2）求扇形统计图中所对应的圆心角度数；
（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如表所示：
小组类别
平均用时（小时） 2.5 3 2 3
求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．
【答案】解：（1）由题意可知四个小组所有成员总人数是：（人）．
∴，
，
∴．
（2）∵，
∴扇形统计图中所对应的圆心角度数是．
（3）（小时），
∴这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据公式样本容量=频数÷百分比可求出总人数，再根据样本容量=各小组频数之和可求出a的值；根据百分比=频数样本容量可求出m的值；
（2）根据圆心角度数=该项所占百分比360 可求解；
（3）根据平均数的公式计算可求解．
21．如图1，在正方形中，进行如下两步操作：第1步：分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，连结；第2步：以点为圆心，长为半径作弧，交线段的延长线于点，连结．
根据以上尺规作图步骤，完成以下问题：
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）如图2，连结，交于点，求与的周长比．
【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
由作图可知：为的中点，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）由（1）可知：，，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；正方形的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）根据尺规作图和正方形的性质可得，于是可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断求解；
（2）根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的周长比等于相似比可求解．
（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
由作图可知：为的中点，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）由（1）可知：，，
∴，
∴．
22．根据以下素材，探索完成任务．
问题：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度
素材1 如图1，一种路灯由灯杆和灯管支架两部分构成，已知灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角．
素材2 如图2，在路灯正前方的点处测得，，．
素材3 用计算器算得，，．
问题解决
任务1 求灯杆的长度．
任务2 求灯管支架的长度．（结果精确到）
【答案】解：任务1：∵在中，，
，
，
答：灯杆的长度为．
任务2：如图，过点C作于点E，过点B作于点E．
设．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，，
所以灯管支架的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
任务1：在中，根据锐角三角函数tan∠ADB=求得AB的值；
任务2：过点作，过点作，构造直角三角形、．设，根据锐角三角函数sin∠CBF=、cos∠CBF=用含的代数式表示，由线段的和差CE=EF+CF将CE用含的代数式表示出来，根据CE=DE可得关于x的方程，解方程即可求解.
23．定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级摆动点”．例如，点的“2级摆动点”是点，即点．
（1）点的3级摆动点是否在一次函数的图象上？请说明理由；
（2）若函数的图象上存在点的“级摆动点”，求的值；
（3）若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级摆动点”都在直线上，并且同时满足：，求证：．
【答案】（1）解：点的3级摆动点为：，即，
当时，，
故在一次函数的图象上．
（2）解：根据题意，得点的“级摆动点”为，
由函数的图象上存在点的“级摆动点”可得：，
整理，得，
解得（舍去），
∴．
（3）解：∵点，的“1级摆动点”坐标分别为，，且这两个点的“1级摆动点”都在直线上，
∴，，
∴，，
∴，，
∵的二次函数的图象上恰有两个点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据摆动点的定义求得点的3级摆动点为，将求得的摆动点代入一次函数计算即可判断求解；
（2）确定点的“级摆动点”为，代入反比例函数的解析式可得关于k的方程，解方程即可求解；
（3）根据这两个点的“1级摆动点”都在直线上，结合抛物线上点的坐标特征，求得，，构造一元二次方程，再根据根的判别式可得，结合可得关于b的不等式，解不等式即可求解．
（1）解：点的3级摆动点为即，
当时，，
故在一次函数的图象上．
（2）解：根据题意，得点的“级摆动点”为，
由函数的图象上存在点的“级摆动点”
得，
整理，得，
解得（舍去），
故．
（3）解：∵点，的“1级摆动点”坐标分别为
，，且这两个点的“1级摆动点”都在直线上，
∴，，
∴，，
∴，，
∵的二次函数的图象上恰有两个点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．已知内接于，于点．
（1）如图1，当经过圆心时，求证：；
（2）如图2，当不经过圆心时，过点作于点，交于点，交于点，连结，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若，，，求的半径长．
【答案】（1）证明：∵，且经过圆心，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴．
（2）证明：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
设与的交点为G，
则，，
∴一定经过圆心，
∵，
∴，
连接，
∵，
不妨设，
∴，
∴，
∴
解得（负的舍去），
∴，
∴，
∴，（负的舍去），
设的半径长，
则
根据勾股定理，得，
解得，
故的半径长为．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得AH=BH，结合已知，由线段的垂直平分线性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解；
（2）连接，结合已知，用角边角证明，由全等三角形的对应边相等可得PE=PD，结合已知，用边角边证明，由全等三角形的对应角相等可得∠PBE=∠PBD，然后根据圆周角定理即可求解；
（3）先证明直线是线段的垂直平分线，设与的交点为G，于是可得，，由垂径定理的推论可判定一定经过圆心，连接，设，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得，，设的半径长，由线段的和差将OG用含y的代数式表示出来，再Rt△POG中，根据勾股定理得关于y的方程，解方程即可求解．
（1）证明：∵，且经过圆心，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴．
（2）证明：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
设与的交点为G，
则，，
∴一定经过圆心，
∵，
∴，
连接，
∵，
不妨设，
∴，
∴，
∴
解得（负的舍去），
∴，
∴，
∴，（负的舍去），
设的半径长，
则
根据勾股定理，得，
解得，
故的半径长为．
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