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内蒙古呼和浩特市第二中学2025-2026学年高二年级第二学期4月月考数学试卷
一、单选题
1．设随机变量，且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
2．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则（ ）
A． B．2 C． D．3
3．某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下：
1 2 3 4 5
4 7 12 20 33
经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（ ）（参考公式：，）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，，则（ ）
A．121 B．181 C．211 D．271
6．已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知数列满足，，则（ ）
A．511 B．1023 C．1024 D．2047
8．《九章算术》中有“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的倍，天共织尺，若该女子欲织满尺，则至少需要（ ）日
A． B． C． D．
二、多选题
9．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为30 B．当或时，取得最大值
C．使成立的的最大值为10 D．数列是递减数列
10．下列关于回归分析的说法正确的是（ ）
A．相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强
B．回归直线必过样本中心点
C．残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
D．相关系数表示两个变量正相关，表示负相关
11．已知等差数列的公差，等比数列的公比，且，，设，则下列结论正确的是（ ）
A． B．存在正整数使得
C．数列有最大项 D．数列有最小项
三、填空题
12．某校调查学生参加体育锻炼与性别的关系，得到如下列联表（单位：人）：
经常锻炼 不经常锻炼 合计
男生 35 55 90
女生 65 45 110
合计 100 100 200
参照公式（其中），计算得______．（保留两位小数）
13．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，则______．
14．数列满足，，则______．（用含的式子表示）
四、解答题
15．某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下：
2 4 6 8 10
40 45 50 55 60
经计算：，，，
(1)求关于的线性回归方程；（参考公式：，）
(2)若明年计划投入宣传费12万元，预测年利润．
16．已知数列的前项和为，且满足．
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前项和．
17．某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100．
(1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法；
(2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数）
(3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数）
（参考数据：，，）
18．已知数列满足，．
(1)求，，的值，并猜测的通项公式；（无需证明猜测）
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，数列的前项和为．若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值．
19．已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求；
(3)设函数．若对任意，都有，求正整数的最大值．
参考答案
1．B
2．B
3．A
4．C
5．C
6．D
7．B
8．C
9．ABC
10．BCD
11．AC
12．
13．12
14．
15．（1）
，
，
所以，
因此，
所以关于的线性回归方程；
（2）把代入中，得，
所以预测明年利润为万元.
16．（1）当时，，解得：，
当时，解得：
已知①，
当时，②，
①②得：，
整理得：，
变形为：，
即，
又，因此是首项为 2，公比为 2 的等比数列.
（2）由（1）知，是首项，公比的等比数列，
所以，
因此，
（3）由，可得，
因此是首项，公比的等比数列。
所以
17．（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10，
分布记为：.
（2），，
所以成绩在区间内的学生的概率，
故成绩在区间内的学生的人数为(人).
（3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此，
根据参考数据：，满足要求，
而，因此.
18．（1）已知，，
，，，
，
因为，，所以.
则 ，即，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
.
（2），
为偶数时，，
为奇数时，，
所以.
（3），
，
随着的增大，减小，增大，所以，
若对任意，不等式恒成立，
所以，实数的最小值为.
19．（1），结合，则，
由可得，则，
由题知，，则是首项为，公比为的等比数列，
于是，
整理得
（2）结合（1）可知，，
设，
则，
两式相减得到，，
即，
整理得，
又，
则
（3）由（1）知，，
又，则，
整理得，
根据对勾函数的性质，在上单调递减，
则，
故为使恒成立，
只需，
则，当时取得等号，
又是正整数，则最大值是

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