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期中提优测评卷
用时:120分钟总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·山东烟台莱州期末)若函数 在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是( ).
A. x=-2 B. x>-2且x≠3 C. x≠3 D. x≥-2且x≠3
2.(2025·上海嘉定区二模)下列式子中，属于最简二次根式的是( ).
A. B. C. D.
3.(2024·河北廊坊安次区期中)若a<2,化简 的结果为( ).
A. a-1 B. - 1-a C. a+1 D. - a+1
4.下列计算正确的是( ).
A. B. C. D.
5.如图, ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,1),(-2,-2),(2,-2),则顶点 D 的坐标是( ).
A. (8,2) B. (4,1) C. (-8,2) D. (4,-1)
6.如图，△ABC 的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则 BD 的长为( ).
A. B. C. D.
7.满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是( ).
A.三个内角度数之比是3：4：5 B.三边长的平方比为5：12：13
C.三边长度之比是 D.三个内角度数比为2：3：4
8.如图,在 ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,若AB=2,AC=8,BD=m,AD=n,则化简 的结果为( ).
A. n+m-11 B. n-m-9 C. m-n+9 D. 11-m-n
9.(2025·山东滨州惠民期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以Rt△ABC的三边分别向外作正方形,它们的面积分别为S ,S ,S ,若 则S 的值为( ).
A. 4 B. 2 C. 2 D.
10.(2025·山东济南历城区期末)如图，正方形纸片. ABCD 的边长为6，点 E，F分别在边BC，CD上,已知BE=2,∠EAF=45°,则EF 的长为( ).
A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·河南中考)请写出一个使 在实数范围内有意义的x的值： .
12.(2025·山东烟台期末)等式 成立的条件是 .
13.若 其中m是正整数，则m的值是 .
14.计算：
15.(2025·浙江杭州西湖区期中)如图，某自动感应门的正上方A 处装着一个感应器，离地AB=2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则AD= 米.
16.(2025·内江中考)如图,在矩形ABCD 中,AB=8,AD=6,E,F 分别是边AD,CD 上的动点,连接BE,EF,G为BE 的中点,H 为EF 的中点,连接GH,则GH 的最大值是 .
17.(2024·江苏盐城盐都区期中)如图,已知菱形ABCD 的面积是24,对角线AC 的长为6,AE⊥BC 于点E,则AE 的长为 .
18.(2025·山东泰安新泰期末)如图,在正方形ABCD 中,O是对角线AC,BD 的交点,过点O作OE⊥OF,分别交AB,BC于点E,F.若 则EF 的长为 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2024·天津红桥区期中)计算:
20.(6分)(2025·山东淄博张店区期中)(1)比较下列算式的结果的大小(填“>”“<”或“=”).
(2)通过观察归纳，用含字母a，b的式子表示(1)中的规律，并证明.
21.(8分)(2025·山东淄博张店区月考)如图,在 中， D 是边BC 上一点, 于点E,F 是线段AD 的中点,连接EF,CF.
(1)求证:EF=CF;
(2)若 求C，E两点间的距离.
22.(8分)如图，在正方形 ABCD中，E 是线段CB 延长线上一点，连接AE，将线段AE 绕点E 顺时针旋转 得到EF，连接CF.用等式表示线段AC，CE 与CF 之间的数量关系，并说明理由.
23.(8分)(2025·河南商丘夏邑期末)洛阳某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在某纪念馆门口离地面一定高度的墙上D 处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口正前方2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出欢迎语音.如图，一个身高1.6m的学生刚走到 B 处(学生头顶在A 处)，门铃恰好自动响起，此时BC=2.4m,，并测得迎宾门铃与地面的距离 DC 和到该学生头顶的距离DA 相等.
(1)求 DC 的长.
(2)若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米
24.(8分)(2025·江苏南京玄武区期中)如图,在 中,D 为BC 上一点,E 为AD 的中点,连接BE,过点A 作 ,交 BE 的延长线于点F,连接CF,DF.
(1)求证：四边形ABDF 是平行四边形；
(2)若请添加一个条件，使四边形ADCF 为菱形.
25.(10分)在正方形ABCD中，M为射线CD上一点(不与点 D 重合)，以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM,连接BM,DF,直线BM与DF 交于点E.
(1)如图(1),若点 M在CD 的延长线上,求证:
(2)如图(2),若点 M移到边CD 上.
①(1)中结论是否仍成立 (直接回答不需证明)
②连接BD,若BD=BF,且正方形 CFGM 的边长为1,试求正方形ABCD 的周长.
26.(12分)在 中， 于点E， 于点D,连接DE.
(1)如图(1),若AB=BC,DE=1,BE=3,求 的周长；
(2)如图(2),若的平分线DF 交BE 于点F，求证：
(3)如图(3),若AB≠BC,AD=BD,将沿着AC 翻折得到连接DG，EG，请猜想线段AE，BE，DG之间的数量关系，并证明你的结论.
1. D [解析]由题可知,x+2≥0且x-3≠0,解得x≥-2且x≠3.故选 D.
2. B
3. D [解析]∵a<2,∴a-2<0,∴√(a-2) -1=2-a-1=1-a.故选 D.
归纳总结 当a≥0时, 当a≤0时,
4. B 5. B
6. B [解析]如图所示,连接AE,
∵BC=2,AE=2,AC=
解得 故选 B.
7. C[解析]当三个内角度数之比是3：4：5时，最大的角的度数是 故选项 A不符合题意；当三边长的平方比为5:12:13时,因为5+12≠13,所以该三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；
当三边长度之比是 1 ： : 时，因为 ( ) ，所以该三角形是直角三角形，故选项C符合题意；当三个内角度数比为 2：3：4时，最大的内角的度数是 故选项D不符合题意.故选 C.
8. C [解析]∵在 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,
∴在△AOB 中,AO-AB∴2在△ACD 中,AD=n,CD=2,AC=8,
∴AC-CD9. A[解析]由题意,得
因为 所以
因为在 Rt△ABC中,
所以 所以 所以 .故选 A.
10. A [解析]如图,延长CB至点G,使BG=DF,连接AG.
通过旋转构造全等三角形来转换线段的位置
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=AD,∠ABE=∠BAD=∠ADF=∠BCD=90°,
∴∠ABG=90°.
在△ABG 和△ADF 中,
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠DAF=∠BAG,AF=AG,
∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°,∴∠GAE=∠EAF.
在△AEF 和△AEG 中:
∴△AEF≌△AEG(SAS),∴EF=EG.
∵EG=BE+BG,∴EF=BE+DF.
∵BC=6,BE=2,∴EC=4,EF=BE+DF=2+DF.在 Rt△CEF 中，根据勾股定理得
∴EF=2+DF=2+3=5.故选A.
11.0(答案不唯一)
12. x≥1 [解析]由题意得 解得x≥1.
13.2
14.-6
15.1.5 [解析]如图,过点 D 作DE⊥AB 于点E.
∵AB=2.5米,BE=CD=1.6米,ED=BC=1.2米,
∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9(米).
在 Rt△ADE 中,由勾股定理得. (米).
16.5 [解析]如图,连接BD,BE.
有两个中点，需要通过连接这两点构造三角形中位线
∵AB=8,AD=6,
∵G为BE 的中点,H 为 EF 的中点,∴BF=2GH,∴当 BF 有最大值时，GH 有最大值.
∵F 是CD 上的点,∴当点 F 与点 D重合时，BF 有最大值为10，∴GH 的最大值为5.
17. [解析]如图，连接BD交AC于点O.
∵菱形ABCD 的面积为24,
∴BD=8,∴BO=4,
∵AE⊥BC,∴5AE=24,∴AE=
18.2 [解析]∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠EBO=∠FCO=45°,BO=CO,∠BOC=90°,AB=BC,∴∠BOF+∠COF=90°.
∵OE⊥OF,∴∠BOF+∠BOE=90°,
∴∠COF=∠BOE.
在△COF 和△BOE 中
∴△COF≌△BOE(ASA),∴BE=CF=3,
∴AB-BE=BC-CF,∴BF=AE=
在 Rt△BEF 中,由勾股定理得
19.(1)原式:
(2)原式
20.(1)> > = [解析]∵
(2)规律: 证明如下：
即
21.(1)∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.
在 Rt△AED 和 Rt△ACD 中,
∵F 是斜边AD的中点，
∴EF=CF.
(2)如图,连接CE.由(1)得
∴∠FEA=∠FAE,∠FCA=∠FAC,
∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×45°=90°,
即C，E两点间的距离是3
.理由如下：
如图,过点F作FM⊥BC 于点M.
在正方形ABCD 中,AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ABE=90°.
∵∠EAB+∠AEB=90°,∠FEM+∠AEB=90°,
∴∠EAB=∠FEM.
∵AE=EF,∠ABE=∠FME,
∴△ABE≌△EMF(AAS),
∴AB=EM,BE=MF,∴BC=EM,
∴BE=MC,∴MF=MC.
CF,∴AC+CF= CE.
一题多解 如图，过点E作EN⊥EC交CA的延长线于点 N.在正方形ABCD 中,
AB=BC,∠ACB=45°,
∴∠ENC=∠ECN=45°,
∴EN=EC.
∵∠AEN+∠AEB=90°,∠FEC+∠AEB=90°,
∴∠AEN=∠FEC.
∵AE=EF,∴△AEN≌△FEC(SAS),∴AN=CF.
∵EN=EC,∠NEC=90°,且
23.(1)由题意,得AD=CD,BC=2.4m ,AB=1.6m ,∠ABC=∠DCB=90°,过点 A 作AE⊥CD 于点E,如图(1),则CE=AB=1.6m,AE=BC=2.4m.
设迎宾门铃距离地面 xm,则AD=CD= xm,DE=(x-1.6) m.
即
∴x=2.6.故 DC的长为2.6m.
(2)设MN 为该生向前走 1.4m后的位置,如图(2),则AN=1.4m,∴NE=AE-AN=2.4-1.4=1(m).
由(1)可知,DE=2.6-1.6=1(m),
故此时迎宾门铃距离该生头顶
24.(1)∵E是AD的中点,∴AE=DE.
∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.
在△AEF 和△DEB 中,
∴△AEF≌△DEB(AAS),∴AF=DB.
∵AF∥BC,∴四边形ABDF 是平行四边形.
(2)答案不唯一，如：添加D是BC的中点.理由如下：由(1)可知,AF=DB.
∵D是BC的中点,∴DB=DC,∴AF=DC.
∵AF∥BC,∴四边形ADCF 是平行四边形.
∴四边形ADCF 为菱形.
25.(1)∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形,∴∠BCM=∠FCD=90°,BC=CD,CM=CF.
在△BCM和△DCF 中:
∴△BCM≌△DCF(SAS),
∴DF=BM,∠CFD=∠CMB.
∵∠CMB+∠CBM=90°,∴∠CFD+∠CBM=90°,
∴∠BEF=90°,∴DF⊥BM.
(2)①成立.
②设正方形ABCD 的边长为x,则 BC=CD=x,
∵正方形CFGM的边长为1，
∴BF=BC+CF=x+1.
.故正方形 ABCD 的周长为4
26.(1)∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=CE,∠AEB=90°.
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∴AC=2DE=2,AE=DE=1,
∴△ABC的周长=
(2)如图(1),连接AF.
∵AB=BC,BE⊥AC,∴∠3=∠4.
∵AD⊥BC,AD=BD,
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠DBA=45°,∴∠3=22.5°.
∵∠1+∠C=∠3+∠C=90°,∴∠1=∠3=22.5°.
∵DF平分∠ADB,∴∠ADF=∠BDF.
在△ADF 和△BDF 中,
∴△ADF≌△BDF(SAS),
∴AF=BF,∠2=∠3=22.5°,
∴∠EAF=∠1+∠2=45°,
∴△AEF 是等腰直角三角形，∴
∵DE=AE,∴BF= DE.
(3)BE=DG+AE.理由如下:
如图(2),作DH⊥DE交BE于点H.
通过作垂线构造手拉手全等三角形，从而来证明线段的和差问题
又BE⊥AC,AD⊥BC,∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°,∠ADE=90°-∠ADH=∠BDH,∴∠1=∠2.
在△ADE 和△BDH 中,
∴△ADE≌△BDH(ASA),∴DH=DE,AE=BH,
∴△DHE 是等腰直角三角形，
∴∠DEH=45°,∴∠3=90°-∠DEH=45°.
∵将△ACD 翻折至△ACG,∴GE=DE,∠4=∠3=45°,
∴∠DEG=∠EDH=90°,DH=GE,
∴DH∥GE,∴四边形 DHEG是平行四边形,
∴DG=EH,∴BE=EH+BH=DG+AE.

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