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21.3阶段精练卷
用时:60分钟 总分:100分 得分:
一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
1.(2025·绥化中考)一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的面积是( ).
A. 25 B. C. D.
2.(2025·陕西中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为边AB上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A 互余的角共有( ).
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3.(2025·北京西城区期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,在线段AB 上有一动点D,作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F，连接EF.在点D 从点A 运动到点B 的过程中(点D 不与点A，B重合)，下列关于线段 EF 长度变化的描述中，正确的是( ).
A.先变长后变短 B.先变短后变长 C.一直变短 D.始终保持不变
4.(2025·河南焦作期末)下列说法正确的是( ).
A.四边相等的四边形是正方形
B.两组对边分别相等，并且两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
5.(2025·河北唐山丰润区期中)小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是( ).
A. (1)处可填∠A=90° B. (2)处可填AD=AB
C. (3)处可填DC=CB D. (4)处可填∠B=∠D
6.(2025·河南信阳平桥区期末)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:①四边形AEDF 是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形 AEDF 是矩形;③如果AD 平分∠BAC,那么四边形AEDF 是菱形;④如果AD⊥BC,且AB=AC,那么四边形AEDF 是正方形.其中正确的有( ).
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
7.(2025·云南中考)如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 相交于点O.若AC=6,BD=5,则菱形ABCD 的面积是 .
8.如图,在正方形ABCD中,E 是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBC的度数是 .
9.(2025·乐山中考)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD 是正方形,现有三个条件可供选择:①AC⊥BD;②AC=BD;③∠ADC=90°.则正确的组合是 (只需填一种组合即可).
10.(2025·江苏无锡新吴区南长实验学校月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=8,线段DE 的两个端点D,E 分别在边AC,BC上滑动,且DE=6,若M,N分别是DE,AB 的中点,则MN 的最小值为 .
11.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,AB=6,∠DAC=60°,点 F在线段AO上从点A 至点O 运动，连接DF，以DF 为边作等边三角形DFE，点 E 和点A 分别位于DF 两侧.下列结论:①∠BDE=∠EFC;②ED=EC;③∠ADF=∠ECF;④点E 运动路程的长是2其中正确结论的序号为 .
三、解答题(本大题共5小题，共56分)
12.(10分)(2025·北京中考)如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,DF⊥BC,垂足为F,点G在DE 的延长线上,DG=FC.
(1)求证:四边形 DFCG 是矩形;
(2)若∠B=45°,DF=3,DG=5,求 BC 和AC 的长.
13.(10分)如图,在菱形 ABCD 中,四条边的垂直平分线 EQ,FQ,GN,NH 交于M,N,P,Q 四点.
(1)连接BD，求证：点 M 在BD 的垂直平分线上；
(2)判断四边形 MNPQ 的形状，并说明理由.
14.(10分)(2025·山东泰安岱岳区期末)如图,菱形 BDEF 的对角线BE,DF 交于点A,过点 B 作BC∥DF,过点 D 作CD∥BE,BC,CD 交于点C.
(1)求证:四边形ABCD 是矩形;
(2)当∠DEF=90°时,求证:四边形ABCD 是正方形.
15.(12分)(2025·哈尔滨南岗区二模)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E在边AD上,延长EO交BC于点F,连接BE,DF,∠CBD与∠DEF 互余.
(1)求证:四边形BEDF 是菱形.
(2)再选择添加以下条件中的一个且只添加一个，能使菱形 BEDF 为正方形的是 (填序号)，并请加以证明.
①AC=2OE;②BD=DE;③AE=3,BE=4,CD=5.
16.(14分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D 在射线BC上(与B,C 两点不重合),以AD 为边作正方形ADEF，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线 BA 与射线CF 相交于点G.
(1)若点 D 在线段BC上，如图所示.
①依题意补全图形；
②判断 BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明.
(2)若点 D 在线段BC 的延长线上,且G 为CF 的中点,连接GE, 则GE 的长为 ，并简述求GE 长的思路.
1. B[解析]如图.∵矩形对角线相等且互相平分，
∴OC=OD,∠BCD=90°.
∵∠DOC=60°,
∴△ODC 是等边三角形，
故选 B.
2. C [解析]∵∠ACB=90°,CD 为边AB 上的中线,
∵AD=CD,DE⊥AC,∴∠ADE=∠CDE.
∵∠A+∠ADE=90°,∠A+∠B=90°,
∴图中与∠A 互余的角共有 4 个,即∠ADE,∠CDE,∠B,∠BCD.故选 C.
3. B [解析]如图,连接CD.
∵∠C=90°,DE⊥AC 于点E,DF⊥BC 于点F,
∴∠C=∠DFC=∠CED=90°,
∴四边形CFDE 是矩形,∴EF=CD.
当CD⊥AB 时,CD 最短,即 EF 最短,
∴在点 D 从点 A 运动到点 B 的过程中，CD 先变短后变长，即线段 EF 的长度先变短后变长.故选 B.
4. B[解析]A.四边相等的四边形是菱形，本选项错误，不符合题意；B.两组对边分别相等，并且两条对角线相等的四边形是矩形，本选项正确，符合题意；C.两条对角线相等的平行四边形是矩形，本选项错误，不符合题意；D.一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，本选项错误，不符合题意.故选 B.
5. D [解析]A.有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴(1)处可填∠A=90°，故该选项不符合题意；B.一组邻边相等的矩形是正方形，∴(2)处可填AD=AB，故该选项不符合题意；C.一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴(3)处可填DC=CB，故该选项不符合题意；D.有一个角是直角的菱形是正方形，∴∠B=∠D 无法判定两角是不是直角，故该选项符合题意.故选 D.
6. A [解析]∵DE∥CA,DF∥BA,∴四边形AEDF 是平行四边形，说法①正确；若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF为矩形，说法②正确；若 AD 平分∠BAC，则∠EAD=∠FAD.∵DE∥CA,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,∴平行四边形 AEDF 为菱形,说法③正确;若AB=AC,AD⊥BC,则 AD 平分∠BAC,同理可得平行四边形 AEDF 为菱形，但∠BAC 不一定为直角，则菱形 AEDF 不一定为正方形，说法④错误.其中正确的是①②③.故选 A.
7.15
8.22.5°[解析]在正方形ABCD 中,∠BAC=45°.
∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB=67.5°.
∵∠ABE+∠EBC=90°,∴∠EBC=22.5°.
9.①②(或①③) [解析]正确的组合是①②或①③.理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形,AC⊥BD,
∴四边形 ABCD 是菱形.
∵AC=BD,∴四边形 ABCD 是正方形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,AC⊥BD,
∴四边形 ABCD 是菱形.
∵∠ADC=90°,∴四边形 ABCD 是正方形.
[解析]如图,连接CM,CN,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=10,BC=8,
∵DE=6,M,N分别是 DE,AB的中点,
当C，M，N在同一直线上时，MN 取最小值，
∴MN 的最小值为
11.①②③④ [解析]设 DB 与 EF 的交点为G,如图(1)所示.
∵四边形 ABCD 是矩形,∴OD=OA=OC.
又∠DAC=60°,∴△OAD 为等边三角形,
∴∠DOA=∠ADO=60°.
∵△DFE 为等边三角形,∴∠DEF=60°,
∴∠DOA=∠DEF=60°.
∵∠DGF=∠BDE+∠DEF,∠DGF=∠EFC+∠DOA,
∴∠BDE=∠EFC,故①正确;
如图(2),连接OE.
∵△ADO 和△DEF 都是等边三角形,
∴AD=OD,DE=DF,∠ADO=∠EDF=60°,
∴∠ADF=∠ODE.
在△DAF 和△DOE中
∴△DAF≌△DOE(SAS),∴∠DOE=∠DAF=60°.
∵∠COD=180°-∠AOD=120°,
∴∠COE=∠COD-∠DOE=120°-60°=60°,
∴∠COE=∠DOE.
在△ODE 和△OCE 中
∴△ODE≌△OCE(SAS),
∴ED=EC,∠OCE=∠ODE,故②正确;
∵∠ODE=∠ADF,
∴∠ADF=∠OCE,即∠ADF=∠ECF,故③正确;如图(3),延长OE 至点E',使OE'=OD,连接DE'.
∵△DAF≌△DOE,∠DOE=60°,
∴点 F 在线段AO上从点A 至点O 运动时，点 E 从点O沿线段OE'运动到点E'.
∵∠ABD=90°-∠ADB=90°-60°=30°,
∴DB=2AD.
设AD=x,则DB=2x.
在 Rt△ADB 中, 即 解得 (负值舍去),∴OE'=OD=AD=2
∴点 E 运动路程的长是2，故④正确.
综上所述，正确结论的序号为①②③④.
12.(1)∵D,E 分别为AB,AC 的中点,
∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE∥BC.
∵DG=FC,∴四边形 DFCG 是平行四边形.
∵DF⊥BC,∴∠DFC=90°,
∴平行四边形 DFCG 是矩形.
(2)∵DF⊥BC,∴∠DFB=90°.
∵∠B=45°,
∴△BDF 是等腰直角三角形，
∴BF=DF=3.
∵DG=FC=5,
∴BC=BF+FC=3+5=8.
由(1)可知,DE 是△ABC 的中位线,四边形 DFCG 是矩形，
∴EG=DG-DE=5-4=1,
∵E 为AC 的中点,∴AC=2CE=2
13.(1)如图(1),连接MA,MB,MD.
∵EQ,HN 分别垂直平分AB,AD,
∴MA=MB,MA=MD,
∴MB=MD,即点 M 在 BD 的垂直平分线上.
(2)四边形 MNPQ 是菱形.理由如下:如图(2),连接AC,BD.
∵四边形ABCD 是菱形,∴AD∥BC.
∵FQ⊥BC,NH⊥AD,∴NM∥PQ,同理MQ∥NP,
∴四边形 MNPQ 是平行四边形.
在菱形 ABCD 中,AC 垂直平分BD,由(1)可知,点 M 在AC 上.
同理,点 P 在AC上,点 N,Q 在BD上,∴MP⊥NQ,∴四边形 MNPQ 是菱形.
14.(1)∵菱形 BDEF 的对角线BE,DF 交于点A,BC∥DF,CD∥BE,∴DF⊥BE,四边形ABCD 是平行四边形,∴∠BAD=90°,∴四边形 ABCD 是矩形.
(2)∵四边形 BDEF 是菱形,∠DEF=90°,
∴四边形 BDEF 是正方形,
由(1)知四边形 ABCD 是矩形,
∴四边形 ABCD 是正方形.
15.(1)∵在 ABCD中,对角线AC,BD 交于点O,
∴BO=DO,AD∥BC,
∴∠BDE=∠CBD,∠OED=∠OFB,
∴△OED≌△OFB(AAS),∴OE=OF,
∴四边形 BEDF 是平行四边形.
∵∠CBD 与∠DEF 互余,∠DEF=∠BFO,
∴∠CBD 与∠BFO 互余,∴∠BOF=90°,即 FE⊥BD,
∴四边形 BEDF 是菱形.
(2)②或③
添加②BD=DE,证明如下:
∴OE=OD,∴BD=2OD=2OE=EF,
∴菱形 BEDF 是正方形.
添加③AE=3,BE=4,CD=5,证明如下:
∴△ABE 是直角三角形,且∠AEB=90°,
∴∠BED=90°,∴菱形 BEDF 是正方形.
16.(1)①补全图形如图(1)所示.
②BC=CG,BC⊥CG.证明如下:
如图(1)所示.∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,∠1+∠2=90°.
∵射线 BA,CF 的延长线相交于点G,
∴∠CAG=∠BAC=90°.
∵四边形 ADEF 为正方形，
∴∠DAF=∠2+∠3=90°,AD=AF,∴∠1=∠3.
在△ABD 和△ACF 中,
∴△ABD≌△ACF(SAS),∴∠ACF=∠B=45°,
∴∠G=∠B=45°,∠BCG=90°,∴BC=CG,BC⊥CG.
(2)
由 G为CF 的中点画出图形，如图(2)所示.
与(1)中②同理,得BD=CF,BC=CG,BC⊥CG.
由 AB= ,G为CF 的中点,得BC=CG=FG=CD=2.
过点A 作AM⊥BD 于点M,过点E 作EN⊥FG 于点 N,
由AB=AC,得
则MD=CM+CD=3.
易证△AMD≌△FNE(AAS),可得 FN=AM=1,从而得到 NE 为FG 的垂直平分线,可得FE=EG.
在 Rt△AMD中,AM=1,MD=3,可得. 则
一题多解 如图所示，建立平面直角坐标系，分别过点A，E 向x轴作垂线,垂足为 M,H,可证得△AMD≌△DHE.
根据 结合图形的几何特征条件，可求得点 H 的坐标为(3,0),点E 的坐标为(3,3),点G 的坐标为(0,2).运用两点间距离公式可得

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