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广西来宾市2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．下列各组数，属于勾股数的是（　　）
A．1，，2 B．6，8，10
C．0.3，0.4，0.5 D．2，3，4
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A.1，，2，三个数不都是正整数，
故A中三个数不是勾股数，
不符合题意；
B. 6，8，10，三个数都是正整数，且，
故B中三个数是勾股数，
符合题意；
C. 0.3，0.4，0.5，三个数都不是正整数，
故C中三个数不是勾股数，
不符合题意；
D. 2，3，4，三个数都是正整数，但，
故D中三个数不是勾股数，
不符合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股数定义逐项进行判断即可求出答案.
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
【分析】
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键.
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
对于选项A：是轴对称图形，有3条对称轴，但绕中心旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
对于选项B：是轴对称图形，有 6 条对称轴，但绕中心旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
对于选项C：是轴对称图形，有水平和竖直 2 条对称轴，绕中心旋转 180° 后能与自身完全重合，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
对于选项D：是轴对称图形，有5条对称轴，但绕中心旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意，由此可得出答案.
3．如图，公路互相垂直，的中点与点被湖隔开．测得长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
故选：．
【分析】
本题考查了直角三角形的性质，熟知直角三角形的性质是解题关键.
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：，由此可得出答案．
4．如图，在中，点，点，点分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是（　　）
A．12 B．6 C．10 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在中，点，点，点分别是，，的中点
， ， ，
的周长为 ，
，
，
即的周长为．
故选：B．
【分析】
本题考查三角形中位线的性质及三角形的周长，熟知三角形中位线的性质是解题关键.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，根据三角形中位线的性质可知： ， ，，再根据三角形周长的计算公式：三角形的周长=三边之和可知：，△DEF的周长=DE+EF+DF，代入中位线的关系得出答案．
5．若这个正多边形的内角和是外角和的5倍，则它的边数是（　　）
A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
故选：D．
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据内角和与外角和建立方程，解方程即可求出答案.
6．如图，的对角线与相交于点，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的对角线与相交于点，
∴，
根据现有条件无法证明，，，
故选：A．
【分析】
本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题关键.
根据平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分可得：AB=CD，由此可得出答案．
7．如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴当时，；
故选：D．
【分析】
本题考查直角三角形全等的判定定理，熟知直角三角形的判定定理是解题关键.
根据直角三角形的判定定理：：两条斜边和一组直角边对应相等的直角三角形全等可知：当AB=CD时，Rt△ABO≌Rt△CDO，由此可得出答案．
8．如图，在中，，点在的延长线上，，若平分，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟知平行四边形的性质是解题关键.由平行四边形的性质：对边平行且相等可得：，，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：，进而根据角平分线的定义可得：，等量代换可得：∠EAB=∠EBA，由等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：，最后根据线段的和差关系可知：，由此可得出答案．
9．《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，
由题意得，，
故选：A．
【分析】
本题考查勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，竹子折断后，形成一个直角三角形：折断处离地面的高度为x尺是直角边，竹梢触地处离竹根3尺是另一条直角边，折断的竹梢部分长度为 10 x 尺（斜边，因为原高 10 尺，剩余直立部分为 x 尺）， 根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方可列出关于x的方程：，由此可得出答案.
10．如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是（　　）
A．一直增大 B．不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．
故答案为：C．
【分析】如图连接，
由三个角是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，由矩形的对角线相等，得，当时，线段的值最小，所以动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化是先减小后增大．
11．如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： ∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点D作于E，
∵平分，，
∴，
∴点D到边的距离是．
故选：C．
【分析】
本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题关键．
根据线段的比例关系与线段的和差运算可求出：，再利用角平分线的性质：角平分线上的点到两边的距离相等可作辅助线：过点D作于E，由此可得：DE=CD=6，由此可得出答案．
12．如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．10
【答案】D
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4，
∴，
设菱形中边上的高为h，
则，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，熟知三角形中线的性质和菱形的性质是解题关键.
先根据菱形的面积与菱形的性质可知：，再根据点E是AB中点，△AED与△BED以 AE、EB 为底时高相同，故面积相等可得： ，再根据和菱形的面积求出，，则可求出的面积，然后利用求解即可．
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13．在中，，，，则　 　．
【答案】4
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴．
故答案为：4．
【分析】
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方可得：，由此可得出答案.
14．如图，在中，，，，则　 　．
【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟知含30°角的直角三角形的性质是解题关键.
根据含30°角的直角三角形的性质：度所对的直角边等于斜边的一半可得： ，由此可得出答案．
15．如图，在正方形外侧，作等边三角形，与相交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形，等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知正方形的性质和等边三角形的性质是解题关键.
根据正方形的性质：四边相等，对角线平分对角，四个角都是90°，再根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°，由此可得：，，，，
根据角的和差运算可知：，，根据等腰三角形的性质，等边对等角可得：，最后根据三角形内角和定理在△AFE中，，由此可得出答案．
16．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，则，
四边形是长方形，
，，，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得，即，
解得：，即线段的长为，
故答案为：．
【分析】设，则，根据长方形性质可得，，，再根据折叠性质可得，，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在正方形网格图中，若每个小正方形的边长是1，与关于点对称．
（1）画出．
（2）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，为所求
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
与关于点对称，
，，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；中心对称及中心对称图形；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于点O的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据对称性质，结合平行四边形判定定理即可求出答案.
（1）解：解：如图，为所求
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
与关于点对称，
，，
四边形是平行四边形．
18．如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与的交点为点．
（1）判断与有什么数量关系，并说明理由．
（2）当，，求的长．
【答案】（1）解：，理由如下：
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
四边形是平行四边形．
．
（2）解：在中，，，，
，．
由（1）得四边形是平行四边形，是的中点，
，．
，
，
在中，根据勾股定理得.
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，则，，再根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AC，根据含30°角的直角三角形性质可得AD，再根据平行四边形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
四边形是平行四边形．
．
（2）解：在中，，，，
，．
由（1）得四边形是平行四边形，是的中点，
，．
，
，
在中，根据勾股定理得．
19．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若平行四边形的周长为，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得即则再根据全等三角形判定定理可得再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得再根据菱形周长可得AB，根据菱形性质可得再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
20．如图，点D是内一点，把绕点B顺时针方向旋转得到，若．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：绕点B顺时针方向旋转得到，
，，
和均为等边三角形，
，，
又，
，
为直角三角形；
（2）解：为直角三角形，
，
为等边三角形，
，
，
即．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据旋转前后的两个三角形全等得，则，由绕点B顺时针方向旋转，得为等边三角形，再根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形．
（2）由（1）得，得，则=150°．
（1）解：绕点B顺时针方向旋转得到，
，，
和均为等边三角形，
，，
又，
，
为直角三角形；
（2）为直角三角形，
，
为等边三角形，
，
，
即．
21．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点．
（1）求证：，．
（2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：
【答案】（1）证明∶ ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴．
∴；
（2）证明： 由题意得，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据垂直可得，根据三角形内角和定理可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据割补法，结合三角形面积即可求出答案.
（1）证明∶ ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴．
∴；
（2）证明： 由题意得，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
22．如图，在中，对角线、相交于点，．
（1）求证：．
（2）点在边上，满足，若，，求及的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴；
（2）解：在中，，，
根据勾股定理得，
四边形是矩形，
，．
，
．
过点作于点，则，
，
在中，，
在中，．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AC，再根据矩形性质可得，，根据等角对等边可得，过点作于点，则，根据边之间的关系可得OF，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴；
（2））解：在中，，，
根据勾股定理得，
四边形是矩形，
，．
，
．
过点作于点，则，
，
在中，，
在中，．
23．【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 度，线段长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米．
【答案】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
（2）30；
方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，最小，此时最小，
作于点R，
在中，
，
在中，
，
线段长度的最小值为米．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（2）在等边中，，
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，先证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质及等量代换求出即可；
（2）先证出当时，最小，此时最小，再结合求出即可；
（3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，先证出当时，最小，此时最小，作于点R，求出，最后求出即可.
1 / 1广西来宾市2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．下列各组数，属于勾股数的是（　　）
A．1，，2 B．6，8，10
C．0.3，0.4，0.5 D．2，3，4
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，公路互相垂直，的中点与点被湖隔开．测得长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点，点，点分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是（　　）
A．12 B．6 C．10 D．8
5．若这个正多边形的内角和是外角和的5倍，则它的边数是（　　）
A．5 B．6 C．10 D．12
6．如图，的对角线与相交于点，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，点在的延长线上，，若平分，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是（　　）
A．一直增大 B．不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
11．如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
12．如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．10
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13．在中，，，，则　 　．
14．如图，在中，，，，则　 　．
15．如图，在正方形外侧，作等边三角形，与相交于点，则　 　．
16．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是　 　．
三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在正方形网格图中，若每个小正方形的边长是1，与关于点对称．
（1）画出．
（2）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
18．如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与的交点为点．
（1）判断与有什么数量关系，并说明理由．
（2）当，，求的长．
19．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若平行四边形的周长为，求的长．
20．如图，点D是内一点，把绕点B顺时针方向旋转得到，若．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数．
21．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点．
（1）求证：，．
（2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：
22．如图，在中，对角线、相交于点，．
（1）求证：．
（2）点在边上，满足，若，，求及的长．
23．【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 度，线段长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A.1，，2，三个数不都是正整数，
故A中三个数不是勾股数，
不符合题意；
B. 6，8，10，三个数都是正整数，且，
故B中三个数是勾股数，
符合题意；
C. 0.3，0.4，0.5，三个数都不是正整数，
故C中三个数不是勾股数，
不符合题意；
D. 2，3，4，三个数都是正整数，但，
故D中三个数不是勾股数，
不符合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股数定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
【分析】
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键.
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
对于选项A：是轴对称图形，有3条对称轴，但绕中心旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
对于选项B：是轴对称图形，有 6 条对称轴，但绕中心旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
对于选项C：是轴对称图形，有水平和竖直 2 条对称轴，绕中心旋转 180° 后能与自身完全重合，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
对于选项D：是轴对称图形，有5条对称轴，但绕中心旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意，由此可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
故选：．
【分析】
本题考查了直角三角形的性质，熟知直角三角形的性质是解题关键.
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：，由此可得出答案．
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在中，点，点，点分别是，，的中点
， ， ，
的周长为 ，
，
，
即的周长为．
故选：B．
【分析】
本题考查三角形中位线的性质及三角形的周长，熟知三角形中位线的性质是解题关键.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，根据三角形中位线的性质可知： ， ，，再根据三角形周长的计算公式：三角形的周长=三边之和可知：，△DEF的周长=DE+EF+DF，代入中位线的关系得出答案．
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
故选：D．
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据内角和与外角和建立方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的对角线与相交于点，
∴，
根据现有条件无法证明，，，
故选：A．
【分析】
本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题关键.
根据平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分可得：AB=CD，由此可得出答案．
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴当时，；
故选：D．
【分析】
本题考查直角三角形全等的判定定理，熟知直角三角形的判定定理是解题关键.
根据直角三角形的判定定理：：两条斜边和一组直角边对应相等的直角三角形全等可知：当AB=CD时，Rt△ABO≌Rt△CDO，由此可得出答案．
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟知平行四边形的性质是解题关键.由平行四边形的性质：对边平行且相等可得：，，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：，进而根据角平分线的定义可得：，等量代换可得：∠EAB=∠EBA，由等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：，最后根据线段的和差关系可知：，由此可得出答案．
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，
由题意得，，
故选：A．
【分析】
本题考查勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，竹子折断后，形成一个直角三角形：折断处离地面的高度为x尺是直角边，竹梢触地处离竹根3尺是另一条直角边，折断的竹梢部分长度为 10 x 尺（斜边，因为原高 10 尺，剩余直立部分为 x 尺）， 根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方可列出关于x的方程：，由此可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．
故答案为：C．
【分析】如图连接，
由三个角是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，由矩形的对角线相等，得，当时，线段的值最小，所以动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化是先减小后增大．
11．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： ∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点D作于E，
∵平分，，
∴，
∴点D到边的距离是．
故选：C．
【分析】
本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题关键．
根据线段的比例关系与线段的和差运算可求出：，再利用角平分线的性质：角平分线上的点到两边的距离相等可作辅助线：过点D作于E，由此可得：DE=CD=6，由此可得出答案．
12．【答案】D
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4，
∴，
设菱形中边上的高为h，
则，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，熟知三角形中线的性质和菱形的性质是解题关键.
先根据菱形的面积与菱形的性质可知：，再根据点E是AB中点，△AED与△BED以 AE、EB 为底时高相同，故面积相等可得： ，再根据和菱形的面积求出，，则可求出的面积，然后利用求解即可．
13．【答案】4
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴．
故答案为：4．
【分析】
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方可得：，由此可得出答案.
14．【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟知含30°角的直角三角形的性质是解题关键.
根据含30°角的直角三角形的性质：度所对的直角边等于斜边的一半可得： ，由此可得出答案．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形，等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知正方形的性质和等边三角形的性质是解题关键.
根据正方形的性质：四边相等，对角线平分对角，四个角都是90°，再根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°，由此可得：，，，，
根据角的和差运算可知：，，根据等腰三角形的性质，等边对等角可得：，最后根据三角形内角和定理在△AFE中，，由此可得出答案．
16．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，则，
四边形是长方形，
，，，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得，即，
解得：，即线段的长为，
故答案为：．
【分析】设，则，根据长方形性质可得，，，再根据折叠性质可得，，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图，为所求
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
与关于点对称，
，，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；中心对称及中心对称图形；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于点O的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据对称性质，结合平行四边形判定定理即可求出答案.
（1）解：解：如图，为所求
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
与关于点对称，
，，
四边形是平行四边形．
18．【答案】（1）解：，理由如下：
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
四边形是平行四边形．
．
（2）解：在中，，，，
，．
由（1）得四边形是平行四边形，是的中点，
，．
，
，
在中，根据勾股定理得.
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，则，，再根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AC，根据含30°角的直角三角形性质可得AD，再根据平行四边形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
四边形是平行四边形．
．
（2）解：在中，，，，
，．
由（1）得四边形是平行四边形，是的中点，
，．
，
，
在中，根据勾股定理得．
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得即则再根据全等三角形判定定理可得再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得再根据菱形周长可得AB，根据菱形性质可得再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
20．【答案】（1）解：绕点B顺时针方向旋转得到，
，，
和均为等边三角形，
，，
又，
，
为直角三角形；
（2）解：为直角三角形，
，
为等边三角形，
，
，
即．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据旋转前后的两个三角形全等得，则，由绕点B顺时针方向旋转，得为等边三角形，再根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形．
（2）由（1）得，得，则=150°．
（1）解：绕点B顺时针方向旋转得到，
，，
和均为等边三角形，
，，
又，
，
为直角三角形；
（2）为直角三角形，
，
为等边三角形，
，
，
即．
21．【答案】（1）证明∶ ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴．
∴；
（2）证明： 由题意得，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据垂直可得，根据三角形内角和定理可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据割补法，结合三角形面积即可求出答案.
（1）证明∶ ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴．
∴；
（2）证明： 由题意得，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴；
（2）解：在中，，，
根据勾股定理得，
四边形是矩形，
，．
，
．
过点作于点，则，
，
在中，，
在中，．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AC，再根据矩形性质可得，，根据等角对等边可得，过点作于点，则，根据边之间的关系可得OF，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴；
（2））解：在中，，，
根据勾股定理得，
四边形是矩形，
，．
，
．
过点作于点，则，
，
在中，，
在中，．
23．【答案】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
（2）30；
方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，最小，此时最小，
作于点R，
在中，
，
在中，
，
线段长度的最小值为米．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（2）在等边中，，
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，先证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质及等量代换求出即可；
（2）先证出当时，最小，此时最小，再结合求出即可；
（3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，先证出当时，最小，此时最小，作于点R，求出，最后求出即可.
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