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甘肃省兰州市交大附中总分校联考2024-2025下学期九年级数学期中考试试卷
一、单选题（共33分，每题3分）
1．一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上往下看，是一个正方形，正方形的内部有两个纵向的虚线．
故答案为：D．
【分析】俯视图是从上往下看，能看到的面与线用实线表示，看不到又确实存在的用虚线表示，根据图形对选项进行判断．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：，
∴在数轴上表示为：
，
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质，解得不等式组的解集为，在数轴上表示解集带等号用实心表示，不带等号用空心表示．
3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A. 是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B. 是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C. 把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D. 等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解，逐项判断符合题意的为C项。
4．如图，在中，，，点、分别在、上，将沿直线翻折得到，点的对应点为点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵在中，，，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和性质得，由折叠前后的图形全等，得，由，根据两直线平行，同位角相等，得，由三角形的外角性质可知，则．
5．如图，从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】猪蹄模型；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，
∵从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A ．
【分析】由平行线的性质，得到，由等角代换，得=45°．
6．如图，是的直径，与相切于点B，，半径的延长线交于点M，则的度数是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质；数形结合
【解析】【解答】解：∵是的直径，与相切于点B，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】由切线的性质，得．由圆周角定理，得，则，最后由三角形内角和定理得．
7．如图，在矩形中，连接，点E是边的中点，，垂足为G，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；求正弦值；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴．
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，．
故答案为：A．
【分析】由矩形的性质得AD=BC，∠B=∠DAE=90°，结合AE=BE，得（SAS），则，由AB∥CD，得，则，则 。
8．我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设醇酒有瓶，薄酒有瓶，
由题意得，，
故选：．
【分析】设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了建立方程组即可求出答案.
9．直线的图象如图所示，则方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；数形结合
【解析】【解答】解：∵在的图象上，
∴方程的解是
故答案为：B．
【分析】 方程 ，可看成一次函数图象，当y=-3时，求x的值，由图象可知，x=-1．
10．为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：）的函数关系式为．则下列说法不正确的是（　　）
A．当时，的阻值为
B．在一定范围内，随的增大而减小
C．当托盘上货物的质量为时，
D．因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图 2 得，当时，的阻值为，故选项A说法正确；
在一定范围内，随的增大而减小，故选项B说法正确；
设与的函数关系为，
将代入得，
故与的函数关系为，
当托盘上货物的质量为时，令，，
则，故选项C说法错误，符合题意；
当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即，
解得：，
即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确；
故答案为：C．
【分析】根据图2，可判断与的是反比例函数关系，由待定系数法得解析式，判断A，B项正确；根据与m之间一次函数关系式，代入m=110，得=20，代入，则U1=6V，判断C项错误；当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算，判断选项D正确．
11．如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；已知正弦值求边长；已知余弦值求边长；分类讨论
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴当点到点时，；当到点时，；当到点时，，
当点在上，即时，如下图所示
此时，
∴，，
∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
当点在上，即时，如下图所示，过点作于，
此时，，
∴四边形为矩形，
在中，，，
∴，，
∴，
∴，此时图象为逐渐上升的一条线段；
当点在上，即时，如下图所示，
此时，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
综上：符合题意的图象为，
故答案为：．
【分析】 由菱形的性质得四边相等都为2， 则当点到点时，；当到点时，；当到点时，， 根据点的运动位置分类讨论，当点在上，即时，当点在上，即时当点在上，即时，利用锐角三角函数求出和，可求出与的函数关系式。
二、填空题（共12分，每题3分）
12．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零，解不等式解集的公共部分为实数x的取值范围 ．
13．如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】12
【知识点】菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；中心对称的性质；数形结合
【解析】【解答】解：连接、，
∵点O是菱形的对称中心，
∴，O是与的交点，
∴，，
∴，，
∵为过点O的一条直线，
∴四边形的面积四边形的面积菱形的面积，
∵菱形的面积，
∴四边形的面积，
∵阴影部分的面积四边形的面积，，
∴阴影部分的面积，
故答案为：12．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得菱形的面积，四边形的面积为24，因为阴影部分的面积四边形的面积，，则阴影部分的面积为12．
14．如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点C是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【分析】连接OC，根据有三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形，结合已知，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形OAB的面积减去正方形ODCE的面积即可求解．
15．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为　 　；若，则的值为　 　．
【答案】9；144
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：当时，只有一种取法，则；
当时，有和两种取法，则；
当时，有，，，四种取法，则；
故当时，有，，，，，六种取法，则；
当时，有，，，，，，，，九种取法，则；
依次类推，
当n为偶数时，，
故当时，，
故答案为：9，144．
【分析】根据题意，得当n为偶数 ，设n=2m，则k=m2 ，n为奇数时，设n=2m+1，则k=m(m+1)， 当时 ，代值k=144．
三、解答题（共75分）
16．计算：．
【答案】解：

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简，，除法法则计算，再合并同类项得．
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据平方差公式计算(a+3)（a-3）=a2-9，完全平方公式计算(a+2)2=a2+4a+4，合并同类项得2a+23， 把 代入2a+23=22．
18．解方程：
【答案】解：
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本道题大家可以采用配方法或公式法解。公式法的公式为：。
19．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，，解得，，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，令，则，
∴记直线与轴交点坐标为，连接，
联立方程组，
解得，（舍去），
∴，
由题意得：，
∴，同底等高，
∵，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数解析式，求解即可；
（2）先得到平移后直线解析式，，得到点D的坐标，连接，联立方程组求出点B坐标，根据三角形面积公式求解即可．
（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，，解得，，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，
令，则，
∴记直线与轴交点坐标为，连接，
联立方程组，
解得，（舍去），
∴，
由题意得：，
∴，同底等高，
∵，
∴．
20．掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求抛物线的表达式；
（2）根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
（3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分．
【答案】（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
解得．
∴关于的函数表达式为．
（2）解：该女生在此项考试中没有得满分．
理由如下：当时，即：，
解得，（舍去），
∵，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
（3）解：可设．
把，代入得，，
求出．
∴．
∴
令则y=，
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据当水平距离为时，实心球行进至最高点处设函数解析式为顶点式，再用待定系数法把代入解析式中求得a的值，写出函数解析式，解答即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离可令，用直接开平方法解得x的值，然后取符合条件的值，判断即可解答；
（3）根据题意设，把，代入计算得h的值，再将函数解析式化为一般式为，再令即可求解．
（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
解得．
∴关于的函数表达式为．
（2）解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下：
当时，即：，
解得，（舍去），
∵，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
（3）解：可设．
把，代入得，，
求出．
∴．
∴
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
21．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人(以下简称甲款)，抖音推出了“豆包”AI聊天机器人(以下简称乙款)．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：)，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ．
（2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）简称丙款推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
【答案】（1）、、
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）解：由题意画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
【分析】
（1）根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数.”可求得的值；根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可求得的值；根据各小组的百分比之和等于1可求得m的值；
（2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知“共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种”，然后由概率公式计算即可求解．
（1）解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
22．光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）：
项目 测量光岳楼的高度
方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角
说明 三点在同一条直线上 三点在同一条直线上
测量 示意图
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
【问题解决】
（1）求“方案一”两次测量塔影长的平均值；
（2）根据“方案一”的测量数据，求出光岳楼的高度；
（3）根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度．（参考数据：．结果保留1位小数）．
【答案】（1）解：“方案”两次测量塔影长的平均值是；
（2）解：根据题意得，∴，
∵，，，
∴；
答：光岳楼的高度约为34.0m．
（3）解：设，∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
答：光岳楼的高度约为．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据平均值计算DB；
（2）根据题意得，由相似三角形对应边成比例，得，根据方案一代入数值求AB；
（3）设，则，，解得，所以.
（1）解：“方案”两次测量塔影长的平均值是；
（2）解：根据题意得，
∴，
∵，，，
∴；
（3）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
答：光岳楼的高度约为．
23．用直尺和圆规作圆的内接正方形．
作法 图形
①作直径． ②过点作的垂线． ③作的平分线交于点． ④以为圆心，长为半径，作弧交于点． ⑤依次连接，，． 四边形就是所求作的正方形．
（1）完成作图；（保留作图痕迹）
（2）说明按作法求作的四边形是正方形的理由．
【答案】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：理由如下：
，
，
的平分线交于点，
，
是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）按照题中要求，作出图形即可；
（2）先证明四边形ABCD为矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形，即可求证．
（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：理由如下：
，
，
的平分线交于点，
，
是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形．
24．如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且，弦的延长线交切线于点E，连接．
（1）求度数；
（2）若的半径为3，，求的长．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，C为切点，
∴．
∴；
（2）解：在中，，，∴，
∴，
在中，，，
∴．
【知识点】切线的性质；解直角三角形；已知正弦值求边长；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质，由在同圆中等弧所对的圆周角相等，得，等量代换，得，则，根据平行线的性质得到．根据切线的性质，则 =90°；
（2）在中，运用三角函数值求得=5，在中，运用三角函数值，得．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，C为切点，
∴．
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
25．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）
【拓展运用】
（3）如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）证明：如图，连接，
当时，，即，
，
，，，
，，即，
，
，
在与中，
，
，
，
；
（2）解：①证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，
当时，，即，
是的中点，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
根据（1）中的结论可得，
；
故线段之间的数量关系为；
②当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，；
（3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，
如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，
，
，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
根据（2）中的结论，
，
，
，
，
，
．
【知识点】二次根式的混合运算；坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）②解：当点F在射线上时，
如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，
同①，可得，
，，
，，
同①可得，
，
即线段之间数量关系为；
当点F在延长线上时，
如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接
同（1）中原理，可证明，
可得，
，，
，，
同①可得，
即线段之间数量关系为，
综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，；
【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答；
（2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到；
②分类讨论，即当点F在射线上时；当点F在延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；
（3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度．
26．在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1，的半径为1，当时，直接写出直线l关于的“圆截距”；
（2）点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线l关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于的“圆截距”的最小值为，直接写出b的值．
【答案】（1）
（2）（2）解：①如图2-1所示，当直线l经过点时，
∴，
∴；
∵．
∴．
∴．
设与的另一个交点为C，连接，可知．
∴．即此时直线l关于的“圆截距”为．
结合图形可知．
如图2-2所示，当直线l经过点时，同理可得．
由对称性可知此时直线l关于的“圆截距”为．
结合图形可知．
综上，当或时直线l关于的“圆截距”小于；
②
【知识点】垂径定理；解直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：当时，则一次函数解析式为，
∴此时一次函数与坐标轴的交点坐标为，
∵到原点的距离都为1，
∴都在上，即与一次函数的交点坐标即为，
∴“圆截距”；
（2）解：②如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最小，即此时最小，
∵，
∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小，
∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
【分析】（1）先求出与一次函数的交点坐标即为，再根据“圆截距”的定义利用勾股定理求解即可；（2）①求出当直线l经过点时，，解直角三角形求出此时；求出当直线l经过点时，，由对称性可知此时直线l关于的“圆截距”为，两种情况结合函数图象求解即可．②如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，先证明当点E与点D重合时，最大，即此时最小，再由，求出，可得，解得．
（1）解：当时，则一次函数解析式为，
∴此时一次函数与坐标轴的交点坐标为，
∵到原点的距离都为1，
∴都在上，即与一次函数的交点坐标即为，
∴“圆截距”；
（2）解：①如图2-1所示，当直线l经过点时，
∴，
∴；
∵．
∴．
∴．
设与的另一个交点为C，连接，可知．
∴．即此时直线l关于的“圆截距”为．
结合图形可知．
如图2-2所示，当直线l经过点时，同理可得．
由对称性可知此时直线l关于的“圆截距”为．
结合图形可知．
综上，当或时直线l关于的“圆截距”小于；
②如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最小，即此时最小，
∵，
∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小，
∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
1 / 1甘肃省兰州市交大附中总分校联考2024-2025下学期九年级数学期中考试试卷
一、单选题（共33分，每题3分）
1．一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，，点、分别在、上，将沿直线翻折得到，点的对应点为点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，是的直径，与相切于点B，，半径的延长线交于点M，则的度数是（　　）．
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，连接，点E是边的中点，，垂足为G，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．直线的图象如图所示，则方程的解是（　　）
A． B． C． D．
10．为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：）的函数关系式为．则下列说法不正确的是（　　）
A．当时，的阻值为
B．在一定范围内，随的增大而减小
C．当托盘上货物的质量为时，
D．因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是
11．如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共12分，每题3分）
12．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
13．如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为　 　．
14．如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
15．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为　 　；若，则的值为　 　．
三、解答题（共75分）
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．解方程：
19．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积．
20．掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求抛物线的表达式；
（2）根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
（3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分．
21．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人(以下简称甲款)，抖音推出了“豆包”AI聊天机器人(以下简称乙款)．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：)，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ．
（2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）简称丙款推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
22．光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）：
项目 测量光岳楼的高度
方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角
说明 三点在同一条直线上 三点在同一条直线上
测量 示意图
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
【问题解决】
（1）求“方案一”两次测量塔影长的平均值；
（2）根据“方案一”的测量数据，求出光岳楼的高度；
（3）根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度．（参考数据：．结果保留1位小数）．
23．用直尺和圆规作圆的内接正方形．
作法 图形
①作直径． ②过点作的垂线． ③作的平分线交于点． ④以为圆心，长为半径，作弧交于点． ⑤依次连接，，． 四边形就是所求作的正方形．
（1）完成作图；（保留作图痕迹）
（2）说明按作法求作的四边形是正方形的理由．
24．如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且，弦的延长线交切线于点E，连接．
（1）求度数；
（2）若的半径为3，，求的长．
25．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）
【拓展运用】
（3）如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
26．在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1，的半径为1，当时，直接写出直线l关于的“圆截距”；
（2）点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线l关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于的“圆截距”的最小值为，直接写出b的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上往下看，是一个正方形，正方形的内部有两个纵向的虚线．
故答案为：D．
【分析】俯视图是从上往下看，能看到的面与线用实线表示，看不到又确实存在的用虚线表示，根据图形对选项进行判断．
2．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：，
∴在数轴上表示为：
，
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质，解得不等式组的解集为，在数轴上表示解集带等号用实心表示，不带等号用空心表示．
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A. 是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B. 是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C. 把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D. 等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解，逐项判断符合题意的为C项。
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵在中，，，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和性质得，由折叠前后的图形全等，得，由，根据两直线平行，同位角相等，得，由三角形的外角性质可知，则．
5．【答案】A
【知识点】猪蹄模型；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，
∵从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A ．
【分析】由平行线的性质，得到，由等角代换，得=45°．
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质；数形结合
【解析】【解答】解：∵是的直径，与相切于点B，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】由切线的性质，得．由圆周角定理，得，则，最后由三角形内角和定理得．
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；求正弦值；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴．
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，．
故答案为：A．
【分析】由矩形的性质得AD=BC，∠B=∠DAE=90°，结合AE=BE，得（SAS），则，由AB∥CD，得，则，则 。
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设醇酒有瓶，薄酒有瓶，
由题意得，，
故选：．
【分析】设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了建立方程组即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；数形结合
【解析】【解答】解：∵在的图象上，
∴方程的解是
故答案为：B．
【分析】 方程 ，可看成一次函数图象，当y=-3时，求x的值，由图象可知，x=-1．
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图 2 得，当时，的阻值为，故选项A说法正确；
在一定范围内，随的增大而减小，故选项B说法正确；
设与的函数关系为，
将代入得，
故与的函数关系为，
当托盘上货物的质量为时，令，，
则，故选项C说法错误，符合题意；
当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即，
解得：，
即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确；
故答案为：C．
【分析】根据图2，可判断与的是反比例函数关系，由待定系数法得解析式，判断A，B项正确；根据与m之间一次函数关系式，代入m=110，得=20，代入，则U1=6V，判断C项错误；当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算，判断选项D正确．
11．【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；已知正弦值求边长；已知余弦值求边长；分类讨论
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴当点到点时，；当到点时，；当到点时，，
当点在上，即时，如下图所示
此时，
∴，，
∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
当点在上，即时，如下图所示，过点作于，
此时，，
∴四边形为矩形，
在中，，，
∴，，
∴，
∴，此时图象为逐渐上升的一条线段；
当点在上，即时，如下图所示，
此时，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
综上：符合题意的图象为，
故答案为：．
【分析】 由菱形的性质得四边相等都为2， 则当点到点时，；当到点时，；当到点时，， 根据点的运动位置分类讨论，当点在上，即时，当点在上，即时当点在上，即时，利用锐角三角函数求出和，可求出与的函数关系式。
12．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零，解不等式解集的公共部分为实数x的取值范围 ．
13．【答案】12
【知识点】菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；中心对称的性质；数形结合
【解析】【解答】解：连接、，
∵点O是菱形的对称中心，
∴，O是与的交点，
∴，，
∴，，
∵为过点O的一条直线，
∴四边形的面积四边形的面积菱形的面积，
∵菱形的面积，
∴四边形的面积，
∵阴影部分的面积四边形的面积，，
∴阴影部分的面积，
故答案为：12．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得菱形的面积，四边形的面积为24，因为阴影部分的面积四边形的面积，，则阴影部分的面积为12．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点C是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【分析】连接OC，根据有三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形，结合已知，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形OAB的面积减去正方形ODCE的面积即可求解．
15．【答案】9；144
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：当时，只有一种取法，则；
当时，有和两种取法，则；
当时，有，，，四种取法，则；
故当时，有，，，，，六种取法，则；
当时，有，，，，，，，，九种取法，则；
依次类推，
当n为偶数时，，
故当时，，
故答案为：9，144．
【分析】根据题意，得当n为偶数 ，设n=2m，则k=m2 ，n为奇数时，设n=2m+1，则k=m(m+1)， 当时 ，代值k=144．
16．【答案】解：

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简，，除法法则计算，再合并同类项得．
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据平方差公式计算(a+3)（a-3）=a2-9，完全平方公式计算(a+2)2=a2+4a+4，合并同类项得2a+23， 把 代入2a+23=22．
18．【答案】解：
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本道题大家可以采用配方法或公式法解。公式法的公式为：。
19．【答案】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，，解得，，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，令，则，
∴记直线与轴交点坐标为，连接，
联立方程组，
解得，（舍去），
∴，
由题意得：，
∴，同底等高，
∵，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数解析式，求解即可；
（2）先得到平移后直线解析式，，得到点D的坐标，连接，联立方程组求出点B坐标，根据三角形面积公式求解即可．
（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，，解得，，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，
令，则，
∴记直线与轴交点坐标为，连接，
联立方程组，
解得，（舍去），
∴，
由题意得：，
∴，同底等高，
∵，
∴．
20．【答案】（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
解得．
∴关于的函数表达式为．
（2）解：该女生在此项考试中没有得满分．
理由如下：当时，即：，
解得，（舍去），
∵，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
（3）解：可设．
把，代入得，，
求出．
∴．
∴
令则y=，
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据当水平距离为时，实心球行进至最高点处设函数解析式为顶点式，再用待定系数法把代入解析式中求得a的值，写出函数解析式，解答即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离可令，用直接开平方法解得x的值，然后取符合条件的值，判断即可解答；
（3）根据题意设，把，代入计算得h的值，再将函数解析式化为一般式为，再令即可求解．
（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
解得．
∴关于的函数表达式为．
（2）解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下：
当时，即：，
解得，（舍去），
∵，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
（3）解：可设．
把，代入得，，
求出．
∴．
∴
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
21．【答案】（1）、、
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）解：由题意画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
【分析】
（1）根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数.”可求得的值；根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可求得的值；根据各小组的百分比之和等于1可求得m的值；
（2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知“共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种”，然后由概率公式计算即可求解．
（1）解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
22．【答案】（1）解：“方案”两次测量塔影长的平均值是；
（2）解：根据题意得，∴，
∵，，，
∴；
答：光岳楼的高度约为34.0m．
（3）解：设，∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
答：光岳楼的高度约为．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据平均值计算DB；
（2）根据题意得，由相似三角形对应边成比例，得，根据方案一代入数值求AB；
（3）设，则，，解得，所以.
（1）解：“方案”两次测量塔影长的平均值是；
（2）解：根据题意得，
∴，
∵，，，
∴；
（3）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
答：光岳楼的高度约为．
23．【答案】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：理由如下：
，
，
的平分线交于点，
，
是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）按照题中要求，作出图形即可；
（2）先证明四边形ABCD为矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形，即可求证．
（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：理由如下：
，
，
的平分线交于点，
，
是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形．
24．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，C为切点，
∴．
∴；
（2）解：在中，，，∴，
∴，
在中，，，
∴．
【知识点】切线的性质；解直角三角形；已知正弦值求边长；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质，由在同圆中等弧所对的圆周角相等，得，等量代换，得，则，根据平行线的性质得到．根据切线的性质，则 =90°；
（2）在中，运用三角函数值求得=5，在中，运用三角函数值，得．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，C为切点，
∴．
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
25．【答案】（1）证明：如图，连接，
当时，，即，
，
，，，
，，即，
，
，
在与中，
，
，
，
；
（2）解：①证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，
当时，，即，
是的中点，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
根据（1）中的结论可得，
；
故线段之间的数量关系为；
②当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，；
（3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，
如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，
，
，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
根据（2）中的结论，
，
，
，
，
，
．
【知识点】二次根式的混合运算；坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）②解：当点F在射线上时，
如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，
同①，可得，
，，
，，
同①可得，
，
即线段之间数量关系为；
当点F在延长线上时，
如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接
同（1）中原理，可证明，
可得，
，，
，，
同①可得，
即线段之间数量关系为，
综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，；
【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答；
（2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到；
②分类讨论，即当点F在射线上时；当点F在延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；
（3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度．
26．【答案】（1）
（2）（2）解：①如图2-1所示，当直线l经过点时，
∴，
∴；
∵．
∴．
∴．
设与的另一个交点为C，连接，可知．
∴．即此时直线l关于的“圆截距”为．
结合图形可知．
如图2-2所示，当直线l经过点时，同理可得．
由对称性可知此时直线l关于的“圆截距”为．
结合图形可知．
综上，当或时直线l关于的“圆截距”小于；
②
【知识点】垂径定理；解直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：当时，则一次函数解析式为，
∴此时一次函数与坐标轴的交点坐标为，
∵到原点的距离都为1，
∴都在上，即与一次函数的交点坐标即为，
∴“圆截距”；
（2）解：②如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最小，即此时最小，
∵，
∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小，
∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
【分析】（1）先求出与一次函数的交点坐标即为，再根据“圆截距”的定义利用勾股定理求解即可；（2）①求出当直线l经过点时，，解直角三角形求出此时；求出当直线l经过点时，，由对称性可知此时直线l关于的“圆截距”为，两种情况结合函数图象求解即可．②如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，先证明当点E与点D重合时，最大，即此时最小，再由，求出，可得，解得．
（1）解：当时，则一次函数解析式为，
∴此时一次函数与坐标轴的交点坐标为，
∵到原点的距离都为1，
∴都在上，即与一次函数的交点坐标即为，
∴“圆截距”；
（2）解：①如图2-1所示，当直线l经过点时，
∴，
∴；
∵．
∴．
∴．
设与的另一个交点为C，连接，可知．
∴．即此时直线l关于的“圆截距”为．
结合图形可知．
如图2-2所示，当直线l经过点时，同理可得．
由对称性可知此时直线l关于的“圆截距”为．
结合图形可知．
综上，当或时直线l关于的“圆截距”小于；
②如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最小，即此时最小，
∵，
∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小，
∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
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