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2025-2026学年湘教版八年级数学上册12月质量检测卷
一、单选题（每题3分，共36分）
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：选项A是整式乘法，不是因式分解；
选项B中，是乘积形式，属于因式分解；
选项C和D的右边均含有加法运算，不是纯乘积形式，不是因式分解；
∴属于因式分解的是B．
故答案为：B
【分析】本题核心考察因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式相乘的形式。判断时需关注变形后的结果是否为纯乘积形式，排除整式乘法运算和含有加法运算的变形。对于选项A，其是将两个整式相乘得到多项式，属于整式乘法，不符合因式分解定义；选项B中变形为，是两个整式的乘积形式，符合要求；选项C和D的右边均存在加法运算，未转化为纯粹的整式相乘，因此不属于因式分解。
2．把多项式a2-4a分解因式，结果正确的是（　　）
A．a(a-4) B．(a+2)(a-2) C．a(a+2)(a-2) D．(a-2)2-4
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2-4a=a（a-4）．
故答案为：A
【分析】观察此多项式，含有公因式a，利用提取公因式法分解即可。
3．下列各式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：、是整式，不是分式，此选项不符合题意，排除；
、是整式，不是分式，此选项不符合题意，排除；
、是整式，不是分式，此选项不符合题意，排除；
、是分式，此选项符合题意；
故答案为：
【分析】本题考查分式的定义，区分分式与整式的关键在于分母是否含有字母（常数不含字母，为常数）。分析各选项，选项A的分母是2，为常数，属于整式；选项B的分母是，虽为无理数但仍是常数，不是字母，因此也是整式；选项C的分母是5，同样为常数，化简后是整式形式；选项D的分母是，含有字母和，符合分式的定义。
4．在分式中，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故的取值范围是．
故答案为：C
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的前提是分母不能为零，因为分母为零时分式无意义。针对分式，需保证分母不为零，由此列出不等式，解这个简单的一元一次不等式，即可得到，无需考虑分子的取值，也不需要对x进行大小限制。
5．若分式的值为0，则x应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式值为0，
∴且．
解得，
即或．
又∵，
∴．
∴．
故答案为：A．
【分析】根据分式的值为0求出且，再求出或，最后根据计算求解即可.
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵ 选项A：不是同类项，不能合并，故本选项错误；
∵ 选项B：，故本选项错误；
∵ 选项C：，故本选项正确；
∵ 选项D：，故本选项错误．
故答案为：C
【分析】本题考查同底数幂的四则运算及幂的乘方法则，需对每个选项逐一应用对应法则计算判断。选项A中和的指数不同，不是同类项，根据同类项合并法则，非同类项不能直接相加，因此该选项错误；选项B是同底数幂相乘，法则为底数不变、指数相加，即，而非，故错误；选项C是同底数幂相除，法则为底数不变、指数相减，即，计算正确；选项D是幂的乘方，法则为底数不变、指数相乘，即，而非，故错误。
7．三角形的角平分线、中线、高都是（　　）
A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段
【答案】A
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：由三角形的角平分线是顶点到对边的线段，平分内角；三角形的中线是顶点到对边中点的线段；三角形的高是顶点到对边（或对边延长线）的垂足之间的线段；可知三角形的角平分线、中线、高都是线段；
故答案为：A
【分析】本题考查三角形角平分线、中线和高的几何定义与形态特征。三角形的角平分线是从顶点出发，连接对边并平分该内角的线段，端点为顶点和对边上的点；中线是从顶点连接对边中点的线段，端点为顶点和对边中点；高是从顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段，端点为顶点和垂足。三者均有两个明确的端点，符合线段的定义，而非无端点的直线或只有一个端点的射线。
8．已知三角形的两边长分别为3和6，则第三边长可能是（　　）
A．9 B．6 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
则，即，
选项中，只有6满足条件，
故答案为：B．
【分析】本题考查三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。设第三边长为，根据三边关系可列出不等式，化简后得到。接下来判断各选项是否在该取值范围内，选项A的9、选项C的3、选项D的2均不在此区间内，只有选项B的6满足，因此是符合条件的第三边长。
9．已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是（　　）
A．11 B．14 C．19 D．14或19
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：设等腰三角形两边长分别为3和8；
①若腰为3，底为8，则三边为3、3、8；
∵，不满足两边之和大于第三边，
∴ 不能构成三角形；
②若腰为8，底为3，则三边为8、8、3；
∵，，满足三边关系，
∴ 可以构成三角形；
周长为.
故选：C.
【分析】
本题考查三角形三边关系以及等腰三角形的定义；分两种情况讨论：①若腰为3，底为8；②若腰为8，底为3.结合三边关系验证能否构成三角形，排除不符合的情况后计算周长.
10．下列句子中，是命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线
【答案】A
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：A. 对顶角相等，符合命题的概念；B. a，b两条直线平行吗，是问句，未做判断，不符合命题的概念；
C. 画一个角等于已知角，不符合命题的概念；
D. 过一点画已知直线的垂线，不符合命题的概念；
故答案为：A.
【分析】命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．根据命题的定义对每个选项逐一判断求解即可.
11．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： A．，，但，
∴ 该选项是反例；符合题意；
B．，不大于 16，不符合题意；
C．， 且，不符合题意；
D．，不大于 16，不符合题意．
故答案为：A
【分析】本题考查假命题的反例构造，反例需满足命题的条件但不满足命题的结论。该命题的条件是，结论是。逐一验证选项，选项A中，计算可得，满足条件，但，不满足结论，符合反例要求；选项B中，，不满足，排除；选项C中，且，满足结论，不是反例；选项D中，，不满足条件，排除。
12．池塘两端A，B的距离无法直接测量，某校数学兴趣小组的学生设计了如下甲、乙两种方案测量A，B的距离：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，，，连接，测量出的长即为A，B的距离．
乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，测量出的长即为A，B的距离．
下列判断正确的是（　　）
A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行
C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：甲同学方案：
由题意得，
在与中，
，
∴，
．故甲同学的方案可行．
乙同学方案：
在与中，只能知道，不能判定与全等，故方案不可行．
故答案为：A．
【分析】结合图形，利用全等三角形的判定与性质求解即可.
二、填空题（每题3分，共12分）
13．计算：　 　．
【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：；
故答案为：1．
【分析】本题考查同分母分式的加法运算，根据同分母的分式的加法法则，分母不变，分子相加，进行计算即可．
14．若，，则　 　．
【答案】2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：．
故答案为：2．
【分析】利用同底数幂的除法的逆运算解答即可．
15．牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设　 　．
【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设，
故答案为：．
【分析】本题考查反证法的基本步骤，反证法的核心思路是先假设命题的结论不成立，再通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立。该命题的结论是，因此按照反证法的第一步，需要对这个结论进行否定，即假设，后续再基于这个假设展开推理。
16．已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为　 　秒时，和全等．
【答案】或
【知识点】一元一次方程的其他应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：根据题意，可知，
分两种情况讨论，
①当时，如图，
∵，
∴，
由题意得，解得（秒）；
②当时，如图，
∵，
∴，
由题意得，解得（秒）．
综上所述，当的值为1或7秒时，和全等．
故答案为：或．
【分析】本题考查全等三角形的判定（SAS）与动点问题的结合应用，解题需结合长方形的性质和动点运动轨迹分析。长方形中，，要使，根据SAS判定，需一组对应边相等。第一种情况，当时，动点P在上运动，速度为每秒2个单位，因此，解得；第二种情况，当时，动点P运动的总路程为长方形周长的一部分，总路线，此时，解得，两种情况均满足全等条件，因此t的值为1或7。
三、解答题（共72分）
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，核心是灵活运用平方差公式和完全平方公式简化计算。式子分为两部分，第一部分符合平方差公式，代入可得；第二部分符合完全平方公式，展开可得；再用第一部分的结果减去第二部分的结果，即。
18．先化简，再求值：已知，，求的值．
【答案】解：，
当，时，
，
，
，
原式
．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查分式的化简与二次根式的混合运算，化简分式时可利用因式分解简化计算。首先对进行通分，得到，分子符合平方差公式，分解为，此时式子化简为；接着计算、和的值，，，；最后将这些值代入化简后的式子，计算。
19．解分式方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：方程两边同时乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为：；
（2）解：方程两边同时乘以得：，
解得：
检验：当时，，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）本题考察分式方程的求解，核心步骤是去分母转化为整式方程。该方程的最简公分母是，方程两边同时乘以，可消去分母得到，展开括号得，移项求解得；最后需检验，将代入最简公分母，因此是原方程的解。
（2）本题考察分式方程的求解，首先确定最简公分母，，因此最简公分母为。方程两边同乘该式，消去分母得，展开并化简：，整理得，解得；检验时发现使最简公分母，分式无意义，因此原方程无解。
（1）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为：；
（2）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：
检验：当时，，
∴原方程无解．
20．某书店销售精装和简装两种版本的名著，精装版单价比简装版贵15元．用450元购买简装版的数量与用720元购买精装版的数量相同．
（1）求简装版和精装版名著的单价分别是多少元？
（2）该书店计划一次性购进两种版本共40本，且总进货费用不超过1200元，则最多能购进精装版多少本？
【答案】（1）解：设简装版名著单价为元，则精装版名著单价为元．
根据题意，．
解得：，经检验是原方程的解，且符合实际；
因此简装版单价为元，精装版单价为元．
（2）设购进精装版本，则购进简装版本，
总进货费用为元，
由题意得：
解得：
由于为整数，因此，
故最多能购进精装版本．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先求出精装版名著单价为元，再找出等量关系列方程，最后解方程计算求解即可；
（2）根据题意找出不等关系求出，再求出，最后作答求解即可.
（1）解：设简装版名著单价为元，则精装版名著单价为元．
根据题意，．
解得：，经检验是原方程的解，且符合实际；
因此，简装版单价为元，精装版单价为元．
（2）设购进精装版本，则购进简装版本．
总进货费用为元．
根据总进货费用不超过1200元，得不等式：
解得：
由于为整数，因此．
故最多能购进精装版本．
21．风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架，底部骨架，点在的延长线上．求证：．
【答案】解：依题意，在和中，
．
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定（SSS）与补角性质的综合应用，要证明，需先证明对应角。已知，，且为公共边，满足SSS全等判定条件，可证明，因此对应角；又因为与、与分别构成邻补角，邻补角的和为，根据“相等角的邻补角相等”，可推出。
22．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E．
（1）如图1，求证：①；②；
（2）如图2，求证：；
（3）如图3，直接写出线段之间的数量关系．
【答案】（1）证明：①，，
，
，
，
，
，
，
；
②由①知，
，，
．
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（3）解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【分析】（1）①本题考察全等三角形的判定（AAS），由和可得，根据三角形内角和为，；又因为，所以，由此推出（同角的余角相等），结合，满足AAS判定条件，可证明。②由①的全等结论可得，，观察线段，其由和组成，即，将和代入，可得。
（2）本题考察全等三角形的判定（AAS）与线段差的推导，与（1）思路一致，由垂直可得，推出，结合得到，故，证明（AAS），得到，，此时，代入得。
（3）本题考察全等三角形的判定与线段关系推导，沿用前面的思路，先证明（AAS），得到，，观察图形可知，将和代入，可得.
（1）证明：①，，
，
，
，
，
，
，
；
②由①知，
，，
．
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
（3）解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
23．【数学建模】
某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线、直线，垂足分别为点．
（1）请直接写出，和之间的关系_____．
【变式探究】
（2）小丽认为当不是直角三角形时，上述结论仍然成立。如图，在中，，，，三点都在直线上，并且有，可得．你同意小丽的说法吗 请说明理由．
【拓展应用】
（3）小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题．如图3，和均为等边三角形，点，，是同一直线上不重合的三点，，请说明为等腰三角形．
【答案】（1）；
（2）小丽的说法正确，理由如下：
在中，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）由（2）可得，，
和为等边三角形，
，．
，即．
在和中，
，
，
，
为等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【解答】（1），和之间的关系为：；
，
，
直线、直线，
，，
，
在和中：
，
，
，，
，
故答案为：
【分析】（1）本题考察直角三角形中全等三角形的判定（AAS）与线段和的关系，由可得，由垂直可得，进而推出，因此（同角的余角相等）；结合，证明（AAS），得到，，而，代入得。
（2）本题考察非直角三角形中全等三角形的判定（AAS），同意小丽的说法。根据三角形内角和，，，又因为，所以；结合和，证明（AAS），得到，，因此。
（3）本题考察等边三角形性质与全等三角形的判定（SAS），由（2）可知，；因为和是等边三角形，所以，，进而推出，即；结合和，证明（SAS），得到，根据等腰三角形的定义，为等腰三角形。
1 / 12025-2026学年湘教版八年级数学上册12月质量检测卷
一、单选题（每题3分，共36分）
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．把多项式a2-4a分解因式，结果正确的是（　　）
A．a(a-4) B．(a+2)(a-2) C．a(a+2)(a-2) D．(a-2)2-4
3．下列各式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
4．在分式中，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．若分式的值为0，则x应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．三角形的角平分线、中线、高都是（　　）
A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段
8．已知三角形的两边长分别为3和6，则第三边长可能是（　　）
A．9 B．6 C．3 D．2
9．已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是（　　）
A．11 B．14 C．19 D．14或19
10．下列句子中，是命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线
11．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
12．池塘两端A，B的距离无法直接测量，某校数学兴趣小组的学生设计了如下甲、乙两种方案测量A，B的距离：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，，，连接，测量出的长即为A，B的距离．
乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，测量出的长即为A，B的距离．
下列判断正确的是（　　）
A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行
C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行
二、填空题（每题3分，共12分）
13．计算：　 　．
14．若，，则　 　．
15．牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设　 　．
16．已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为　 　秒时，和全等．
三、解答题（共72分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：已知，，求的值．
19．解分式方程
（1）；
（2）．
20．某书店销售精装和简装两种版本的名著，精装版单价比简装版贵15元．用450元购买简装版的数量与用720元购买精装版的数量相同．
（1）求简装版和精装版名著的单价分别是多少元？
（2）该书店计划一次性购进两种版本共40本，且总进货费用不超过1200元，则最多能购进精装版多少本？
21．风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架，底部骨架，点在的延长线上．求证：．
22．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E．
（1）如图1，求证：①；②；
（2）如图2，求证：；
（3）如图3，直接写出线段之间的数量关系．
23．【数学建模】
某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线、直线，垂足分别为点．
（1）请直接写出，和之间的关系_____．
【变式探究】
（2）小丽认为当不是直角三角形时，上述结论仍然成立。如图，在中，，，，三点都在直线上，并且有，可得．你同意小丽的说法吗 请说明理由．
【拓展应用】
（3）小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题．如图3，和均为等边三角形，点，，是同一直线上不重合的三点，，请说明为等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：选项A是整式乘法，不是因式分解；
选项B中，是乘积形式，属于因式分解；
选项C和D的右边均含有加法运算，不是纯乘积形式，不是因式分解；
∴属于因式分解的是B．
故答案为：B
【分析】本题核心考察因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式相乘的形式。判断时需关注变形后的结果是否为纯乘积形式，排除整式乘法运算和含有加法运算的变形。对于选项A，其是将两个整式相乘得到多项式，属于整式乘法，不符合因式分解定义；选项B中变形为，是两个整式的乘积形式，符合要求；选项C和D的右边均存在加法运算，未转化为纯粹的整式相乘，因此不属于因式分解。
2．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2-4a=a（a-4）．
故答案为：A
【分析】观察此多项式，含有公因式a，利用提取公因式法分解即可。
3．【答案】D
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：、是整式，不是分式，此选项不符合题意，排除；
、是整式，不是分式，此选项不符合题意，排除；
、是整式，不是分式，此选项不符合题意，排除；
、是分式，此选项符合题意；
故答案为：
【分析】本题考查分式的定义，区分分式与整式的关键在于分母是否含有字母（常数不含字母，为常数）。分析各选项，选项A的分母是2，为常数，属于整式；选项B的分母是，虽为无理数但仍是常数，不是字母，因此也是整式；选项C的分母是5，同样为常数，化简后是整式形式；选项D的分母是，含有字母和，符合分式的定义。
4．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故的取值范围是．
故答案为：C
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的前提是分母不能为零，因为分母为零时分式无意义。针对分式，需保证分母不为零，由此列出不等式，解这个简单的一元一次不等式，即可得到，无需考虑分子的取值，也不需要对x进行大小限制。
5．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式值为0，
∴且．
解得，
即或．
又∵，
∴．
∴．
故答案为：A．
【分析】根据分式的值为0求出且，再求出或，最后根据计算求解即可.
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵ 选项A：不是同类项，不能合并，故本选项错误；
∵ 选项B：，故本选项错误；
∵ 选项C：，故本选项正确；
∵ 选项D：，故本选项错误．
故答案为：C
【分析】本题考查同底数幂的四则运算及幂的乘方法则，需对每个选项逐一应用对应法则计算判断。选项A中和的指数不同，不是同类项，根据同类项合并法则，非同类项不能直接相加，因此该选项错误；选项B是同底数幂相乘，法则为底数不变、指数相加，即，而非，故错误；选项C是同底数幂相除，法则为底数不变、指数相减，即，计算正确；选项D是幂的乘方，法则为底数不变、指数相乘，即，而非，故错误。
7．【答案】A
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：由三角形的角平分线是顶点到对边的线段，平分内角；三角形的中线是顶点到对边中点的线段；三角形的高是顶点到对边（或对边延长线）的垂足之间的线段；可知三角形的角平分线、中线、高都是线段；
故答案为：A
【分析】本题考查三角形角平分线、中线和高的几何定义与形态特征。三角形的角平分线是从顶点出发，连接对边并平分该内角的线段，端点为顶点和对边上的点；中线是从顶点连接对边中点的线段，端点为顶点和对边中点；高是从顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段，端点为顶点和垂足。三者均有两个明确的端点，符合线段的定义，而非无端点的直线或只有一个端点的射线。
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
则，即，
选项中，只有6满足条件，
故答案为：B．
【分析】本题考查三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。设第三边长为，根据三边关系可列出不等式，化简后得到。接下来判断各选项是否在该取值范围内，选项A的9、选项C的3、选项D的2均不在此区间内，只有选项B的6满足，因此是符合条件的第三边长。
9．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：设等腰三角形两边长分别为3和8；
①若腰为3，底为8，则三边为3、3、8；
∵，不满足两边之和大于第三边，
∴ 不能构成三角形；
②若腰为8，底为3，则三边为8、8、3；
∵，，满足三边关系，
∴ 可以构成三角形；
周长为.
故选：C.
【分析】
本题考查三角形三边关系以及等腰三角形的定义；分两种情况讨论：①若腰为3，底为8；②若腰为8，底为3.结合三边关系验证能否构成三角形，排除不符合的情况后计算周长.
10．【答案】A
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：A. 对顶角相等，符合命题的概念；B. a，b两条直线平行吗，是问句，未做判断，不符合命题的概念；
C. 画一个角等于已知角，不符合命题的概念；
D. 过一点画已知直线的垂线，不符合命题的概念；
故答案为：A.
【分析】命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．根据命题的定义对每个选项逐一判断求解即可.
11．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： A．，，但，
∴ 该选项是反例；符合题意；
B．，不大于 16，不符合题意；
C．， 且，不符合题意；
D．，不大于 16，不符合题意．
故答案为：A
【分析】本题考查假命题的反例构造，反例需满足命题的条件但不满足命题的结论。该命题的条件是，结论是。逐一验证选项，选项A中，计算可得，满足条件，但，不满足结论，符合反例要求；选项B中，，不满足，排除；选项C中，且，满足结论，不是反例；选项D中，，不满足条件，排除。
12．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：甲同学方案：
由题意得，
在与中，
，
∴，
．故甲同学的方案可行．
乙同学方案：
在与中，只能知道，不能判定与全等，故方案不可行．
故答案为：A．
【分析】结合图形，利用全等三角形的判定与性质求解即可.
13．【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：；
故答案为：1．
【分析】本题考查同分母分式的加法运算，根据同分母的分式的加法法则，分母不变，分子相加，进行计算即可．
14．【答案】2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：．
故答案为：2．
【分析】利用同底数幂的除法的逆运算解答即可．
15．【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设，
故答案为：．
【分析】本题考查反证法的基本步骤，反证法的核心思路是先假设命题的结论不成立，再通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立。该命题的结论是，因此按照反证法的第一步，需要对这个结论进行否定，即假设，后续再基于这个假设展开推理。
16．【答案】或
【知识点】一元一次方程的其他应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：根据题意，可知，
分两种情况讨论，
①当时，如图，
∵，
∴，
由题意得，解得（秒）；
②当时，如图，
∵，
∴，
由题意得，解得（秒）．
综上所述，当的值为1或7秒时，和全等．
故答案为：或．
【分析】本题考查全等三角形的判定（SAS）与动点问题的结合应用，解题需结合长方形的性质和动点运动轨迹分析。长方形中，，要使，根据SAS判定，需一组对应边相等。第一种情况，当时，动点P在上运动，速度为每秒2个单位，因此，解得；第二种情况，当时，动点P运动的总路程为长方形周长的一部分，总路线，此时，解得，两种情况均满足全等条件，因此t的值为1或7。
17．【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，核心是灵活运用平方差公式和完全平方公式简化计算。式子分为两部分，第一部分符合平方差公式，代入可得；第二部分符合完全平方公式，展开可得；再用第一部分的结果减去第二部分的结果，即。
18．【答案】解：，
当，时，
，
，
，
原式
．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查分式的化简与二次根式的混合运算，化简分式时可利用因式分解简化计算。首先对进行通分，得到，分子符合平方差公式，分解为，此时式子化简为；接着计算、和的值，，，；最后将这些值代入化简后的式子，计算。
19．【答案】（1）解：方程两边同时乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为：；
（2）解：方程两边同时乘以得：，
解得：
检验：当时，，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）本题考察分式方程的求解，核心步骤是去分母转化为整式方程。该方程的最简公分母是，方程两边同时乘以，可消去分母得到，展开括号得，移项求解得；最后需检验，将代入最简公分母，因此是原方程的解。
（2）本题考察分式方程的求解，首先确定最简公分母，，因此最简公分母为。方程两边同乘该式，消去分母得，展开并化简：，整理得，解得；检验时发现使最简公分母，分式无意义，因此原方程无解。
（1）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为：；
（2）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：
检验：当时，，
∴原方程无解．
20．【答案】（1）解：设简装版名著单价为元，则精装版名著单价为元．
根据题意，．
解得：，经检验是原方程的解，且符合实际；
因此简装版单价为元，精装版单价为元．
（2）设购进精装版本，则购进简装版本，
总进货费用为元，
由题意得：
解得：
由于为整数，因此，
故最多能购进精装版本．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先求出精装版名著单价为元，再找出等量关系列方程，最后解方程计算求解即可；
（2）根据题意找出不等关系求出，再求出，最后作答求解即可.
（1）解：设简装版名著单价为元，则精装版名著单价为元．
根据题意，．
解得：，经检验是原方程的解，且符合实际；
因此，简装版单价为元，精装版单价为元．
（2）设购进精装版本，则购进简装版本．
总进货费用为元．
根据总进货费用不超过1200元，得不等式：
解得：
由于为整数，因此．
故最多能购进精装版本．
21．【答案】解：依题意，在和中，
．
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定（SSS）与补角性质的综合应用，要证明，需先证明对应角。已知，，且为公共边，满足SSS全等判定条件，可证明，因此对应角；又因为与、与分别构成邻补角，邻补角的和为，根据“相等角的邻补角相等”，可推出。
22．【答案】（1）证明：①，，
，
，
，
，
，
，
；
②由①知，
，，
．
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（3）解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【分析】（1）①本题考察全等三角形的判定（AAS），由和可得，根据三角形内角和为，；又因为，所以，由此推出（同角的余角相等），结合，满足AAS判定条件，可证明。②由①的全等结论可得，，观察线段，其由和组成，即，将和代入，可得。
（2）本题考察全等三角形的判定（AAS）与线段差的推导，与（1）思路一致，由垂直可得，推出，结合得到，故，证明（AAS），得到，，此时，代入得。
（3）本题考察全等三角形的判定与线段关系推导，沿用前面的思路，先证明（AAS），得到，，观察图形可知，将和代入，可得.
（1）证明：①，，
，
，
，
，
，
，
；
②由①知，
，，
．
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
（3）解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
23．【答案】（1）；
（2）小丽的说法正确，理由如下：
在中，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）由（2）可得，，
和为等边三角形，
，．
，即．
在和中，
，
，
，
为等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【解答】（1），和之间的关系为：；
，
，
直线、直线，
，，
，
在和中：
，
，
，，
，
故答案为：
【分析】（1）本题考察直角三角形中全等三角形的判定（AAS）与线段和的关系，由可得，由垂直可得，进而推出，因此（同角的余角相等）；结合，证明（AAS），得到，，而，代入得。
（2）本题考察非直角三角形中全等三角形的判定（AAS），同意小丽的说法。根据三角形内角和，，，又因为，所以；结合和，证明（AAS），得到，，因此。
（3）本题考察等边三角形性质与全等三角形的判定（SAS），由（2）可知，；因为和是等边三角形，所以，，进而推出，即；结合和，证明（SAS），得到，根据等腰三角形的定义，为等腰三角形。
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