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广东省深圳市红岭教育集团2025-2026学年九年级下学期开学考数学试卷
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分)
1．在九三阅兵仪式上，新型无人机和反无人作战装备第一次对外展示，受到广泛关注．若一架无人机在飞行过程中上升5米，记作米，那么无人机在飞行过程中下降8米可记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】具有相反意义的量；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵飞机在飞行过程中，如果上升5米记作“米”，
∴下降8米应记作“米”．
故选：C．
【分析】根据正数和负数的意义，飞机在飞行过程中，如果上升5米记作“米”，则下降8米记作米。
2．米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图是一种无盈米斗，则这个几何体的俯视图是 （　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】非实心几何体的三视图
【解析】【解答】解： 俯视图是在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，其图形为：
所以，选项ACD错误，选项B正确，
故答案为：B.
【分析】
本题考查了三种视图，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．理解看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线是解题关键．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、， 故 A错误．
B、， 故 B错误．
C、， 故 C错误．
D、， 故 D正确．
故答案为：D．
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，积的乘方：各因式分别乘方的积，同底数幂的除法：底数不变，指数相减，同底数幂乘法，底数不变，指数相加，完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，同底数幂的乘除法等基本规则，逐项进行判断．
4．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=90° 50°=40°．
故答案为：C
【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠3=50°，则∠2=40°．
5． 如图， 在四边形ABCD中， AD∥BC， 对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应添加的条件是（　　)
A．AB=CD B．AO=CO C．∠ADB=∠CBD D．AC=BD
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】
解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误；
B、∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴AD=BC，
∴四边形为平行四边形．故B正确．
C、由无法判定为平行四边形，故C错误；
D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误；
故答案为：B.
【分析】
本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质， 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
6．图1 是某款篮球架，图2 是其部分示意图，立柱OA垂直地面OB，支架 CD 与OA 相交于点A，支架 CG⊥CD 交 OA 于点 G， AC=0.5 米、OG=1.8米， ∠AGC=α，则立柱的高OA为 （　　)米.
A． B． C． D．0.5sinα+1.8
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解： ∵，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴ ．
故答案为：A.
【分析】本题考查了解直角三角形， 先在中利用直角三角形的边角间关系表示出，再利用线段的和差关系得结论．
7．长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱.春耕时节，某播种队承接了 长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了15%，结果提前2天完成任务.设原计划每天种植的面积为xhm2，则下列方程正确的是 （　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】
解： 设原计划每天种植的面积为，
由题意得， ，
故答案为：D.
【分析】
本题考查了分式方程的实际应用， 根据题意，原计划每天种植面积为，实际工作效率提高15%，即每天种植面积为，总任务量固定为，实际完成时间比原计划少2天．通过比较原计划时间与实际时间的差值，建立方程即可求解．
8． 如图1， 在△ABC中， ∠A=30°， AC=4cm， AC+BC<2AB， 点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A-C-B运动，点Q从点A出发以 acm/s的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为 xs，△APQ的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，当运动时间为4s时， y的值是 （　　)
A．3 B．2 C． D．1
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点在上运动时，作交于，作交于，
由题意，当时，，，
∵，
∴，
∵当时，
∴，
∴，
∵，
∴点先到达点，
由图象可知，，
∵，
∴，.
∴．
当时，，，
此时，
如图，作交于F，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】
本题考查了30度角的性质，动点函数图象问题． 先求出，判断出运动时间为时，在上，再求出，，再根据三角形面积公式计算即可．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分)
9．关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k 的值为　 　.
【答案】-12
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 由条件可知，即，
解得．
故答案为：.
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意得，可得关于k的方程，求解即可．
10．点P （-5，1)向上平移3个单位得到点 P' 的坐标是　 　.
【答案】(-5， 4)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 由题知，
因为，
所以点向上平移3个单位得到点的坐标是．
故答案为：.
【分析】
本题主要考查了坐标与图形变化-平移， 根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可．
11．如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=　 　。
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： 画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，双方出现相同手势的有3种情况，
∴双方出现相同手势的概率
故答案为：.
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率的知识． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与双方出现相同手势的情况，再利用概率公式即可求得答案．
12．如图，反比例函数 和 均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若 则 　 　 .
【答案】-20
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，，
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴，即，
又∵ ，即，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义， 根据题意列式表示出点的坐标，然后在根据的几何意义即可求出答案．
13．如图，平面直角坐标系中有一点，在以为圆心，为半径的圆上有一点，将点绕点旋转后恰好落在轴上，则点的坐标是　 　．
【答案】或
【知识点】点的坐标；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，
∴点P的纵坐标为4
当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM
∵T(0，4)，M(0，3)，
∴OM=3，0T=4，
∴MT=1，
∴
∴
根据对称性可知，点P关于y轴的对称点P'也满足条件
综上所述，满足条件的点P的坐标为或
故答案为：或
【分析】根据旋转性质可得点P的纵坐标为4，当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM，解直角三角形即可求出答案.
三、解答题 （共7小题，共61分)
14．计算：
【答案】解：原式
=6.
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算；二次根式的乘法
【解析】【分析】本题考查实数的运算， 利用绝对值的性质，零指数幂，特殊锐角三角函数值，二次根式的运算法则计算后再算加减即可．
15．下面是小星同学进行分式化简的过程：
化简
解：原式 第一步
第二步
第三步
（1）小星同学的化简过程从第 　 　步开始出现错误；
（2）请写出正确的化简过程，并从-1，0，1，2中选择合适的数代入求值.
【答案】（1）二
（2）解：
=x+1，
∵x+1≠0， x-1≠0， x≠0，
∴x≠0， - 1， 1，
当x=2时， 原式=2+1=3.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号，
∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误，
故答案为：二；
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出的值，最后将的值代入进行计算即可．
16．今年央视春晚机器人表演，独树一帜，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界.科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量.
【数据收集与整理】
A 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件)条形统计图如图所示：
B 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件)如表所示：
分拣快递数量 （万件) 16 17 20 22 23
机器人台数 （台) 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
　 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2
A型号 14和16 b 15 1.4
B型号 a 20 20 4.2
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空： 表中a= 　 　 ， b= 　 　
（2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议.
（3）若某快递公司新购进A型号智能机器人2台，B型号智能机器人2台，随机抽取两台分拣快递，请使用列表法或树状图法求抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率.
【答案】（1）20；15
（2）解：从众数、平均数、中位数来看，B型机器人的数据都高于A型机器人，所以购买B型智能机器人；
（3）解：树状图如图所示，
共有12种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的结果有4种，
∴抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率为
(用列表法也给分)
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：型号的智能机器人每天可分拣20万件的机器人有5台，数量最多，
故众数；
型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是15，15，故中位数，
故答案为： 20， 15；
【分析】
本题主要考查了列表法与树状图法、方差、中位数、众数及条形统计图，熟知中位数、众数的定义及树状图是解题的关键．
（1）根据众数及中位数的定义进行计算即可；
（2）结合表格中的数据进行建立即可；
（3）利用树状图或列表，求出抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率即可．
17．“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍，
（1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？
（2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品
【答案】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，
∴，
解得，，
经检验，当时，原方程有意义，
∴，
∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元；
（2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，
∴，
解得，，
∴最多能购买个型号的纪念品．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，根据用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，根据所花费用不超过6400元建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，
∴，
解得，，
经检验，当时，原方程有意义，
∴，
∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元；
（2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，
∴，
解得，，
∴最多能购买个型号的纪念品．
18．如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°， AD是∠BAC的平分线.
（1）尺规作图：作⊙O，圆心O在线段AB上，且⊙O经过A， D两点（不写作法，保留作图痕迹)；
（2）在（1）的条件下，若OB=10， BD=8，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：如图，⊙O即为所求；

（2）解：如图， 连接OD.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD是∠BAC 的平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴BC为⊙O的切线.
在Rt△OBD中，OB=10， BD=8， 由勾股定理得
即⊙O的半径为6.
【知识点】勾股定理；切线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心为半径作即可；
（2）如图，连接．根据角平分线的定义得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，得到为的切线．根据勾股定理得到的半径为6．
19．情境如图，在跷跷板（自重忽略不计)的左端有一个固定质量为m0千克的靠背，质量为m千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为l米，选定支点右侧a米处为零刻度线.质量为M千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡.设大人与零刻度线的距离为y米，根据物理学的杠杆原理可得： （m0+m) l=M（a+y).
操作
（1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则l与a的关系式为：l=　 　；
②当跷跷板左端坐上质量为20千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则l与a的关系式为：l=　 　；
（2） 由（1） 可得： l=　 　， a=　 　；
（3）探究
根据“操作”的结果，
①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出y关于 m的函数关系式；（不必写m的取值范围)
②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加 5 千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离。
【答案】（1）5a；
（2）；
（3）解：①由题意得，
0.25 米.
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）解：①由题意， ∵，，，，
∴
∴，
故答案为：；
②由题意，∵，，，，
∴，
故答案为：
（2）解：由题意，结合 (1)，联立方程组
故答案为： ， ；
（3）解：②∵，
∴当时，；当时，；
∴相邻刻度线之间的距离为米．
【分析】
本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程；解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）①由题意可得：，，，，代入，可以得解；
②由题意可得：，，，，代入即可求解；
（2）联立，即可求解；
（3）①将，，，代入，即可求解；
②由可得：时，；当时，，即可判断．
20．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中， ∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6， AC=DE=8， 旋转角为α（0°<α<360°).
（1）【初步感知】
如图1， 将三角形纸片BDE绕点B旋转， 连接AE， CD， 求 的值；
（2）【深入探究】
如图2，在三角形纸片 BDE 绕点 B 旋转过程中，当点D 恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延长ED交AC于点G，求AG的长；
（3）【拓展延伸】
在三角形纸片 BDE绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形.若能，求线段AD的长度；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：∵∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6， AC=DE=8，∴AB=BE=10
由旋转得： ∠CBD=∠ABE，
∴△BCD∽△BAE，
（2）解：如图2， 延长CD交AE于 H， 连接BH交DE M，
由 (1) 知： △BCD∽△BAE，
∴∠BAE=∠BCD，
∵CF是直角三角形ABC 斜边AB的中线，
∴CF=AF=BF=5，
∴∠BCF=∠FBC，
∴∠FBC=∠BAE，
∵∠AFH=∠BFC，
∴△AFH≌△BFC (ASA)，
∴CF=FH，
∴四边形ACBH是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴ ACBH是矩形，
∴∠AHB=90°， BH=AC=8，
∵AB=BE，
∴AH=EH=BC=6，
设MH=x，
∵∠EHB=∠HAC=90°， ∠AEG=∠HEM，
∴△AEG∽△HEM，
∴AG=2x，
∵EH=BD=6， ∠EMH=∠BMD， ∠EHM=∠BDM=90°，
∴△EHM≌△BDM(AAS)，
∴BM=EM=8-x，
由勾股定理得： 即
解得
（3）解：分两种情况：
①如图3， 过点B作. 于Q，过点D作. 于P，
∴四边形ADPQ是矩形，
设AQ=PD=b，
∴△DAE∽△DPB，
即
在Rt△BPD中，
解得： (负值舍去)，
∵△DAE∽△DPB，
即
解得：
②如图4， ∠AED=90°， 过点B 作BQ⊥AE于Q，
∴∠BQE=∠AED=∠BDE=90°，
∴四边形BDEQ是矩形，
∴EQ=BD=6，
∵AB=BE， BQ⊥AE，
∴AE=2EQ=12，
由勾股定理得：
综上，AD的长是 或
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识．
（1）证明即可解答；
（2）如图2，通过延长交AE于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答；
（3）分两种情况：分别根据相似三角形和勾股定理即可解答．
1 / 1广东省深圳市红岭教育集团2025-2026学年九年级下学期开学考数学试卷
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分)
1．在九三阅兵仪式上，新型无人机和反无人作战装备第一次对外展示，受到广泛关注．若一架无人机在飞行过程中上升5米，记作米，那么无人机在飞行过程中下降8米可记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图是一种无盈米斗，则这个几何体的俯视图是 （　　)
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5． 如图， 在四边形ABCD中， AD∥BC， 对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应添加的条件是（　　)
A．AB=CD B．AO=CO C．∠ADB=∠CBD D．AC=BD
6．图1 是某款篮球架，图2 是其部分示意图，立柱OA垂直地面OB，支架 CD 与OA 相交于点A，支架 CG⊥CD 交 OA 于点 G， AC=0.5 米、OG=1.8米， ∠AGC=α，则立柱的高OA为 （　　)米.
A． B． C． D．0.5sinα+1.8
7．长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱.春耕时节，某播种队承接了 长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了15%，结果提前2天完成任务.设原计划每天种植的面积为xhm2，则下列方程正确的是 （　　)
A． B．
C． D．
8． 如图1， 在△ABC中， ∠A=30°， AC=4cm， AC+BC<2AB， 点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A-C-B运动，点Q从点A出发以 acm/s的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为 xs，△APQ的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，当运动时间为4s时， y的值是 （　　)
A．3 B．2 C． D．1
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分)
9．关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k 的值为　 　.
10．点P （-5，1)向上平移3个单位得到点 P' 的坐标是　 　.
11．如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=　 　。
12．如图，反比例函数 和 均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若 则 　 　 .
13．如图，平面直角坐标系中有一点，在以为圆心，为半径的圆上有一点，将点绕点旋转后恰好落在轴上，则点的坐标是　 　．
三、解答题 （共7小题，共61分)
14．计算：
15．下面是小星同学进行分式化简的过程：
化简
解：原式 第一步
第二步
第三步
（1）小星同学的化简过程从第 　 　步开始出现错误；
（2）请写出正确的化简过程，并从-1，0，1，2中选择合适的数代入求值.
16．今年央视春晚机器人表演，独树一帜，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界.科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量.
【数据收集与整理】
A 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件)条形统计图如图所示：
B 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件)如表所示：
分拣快递数量 （万件) 16 17 20 22 23
机器人台数 （台) 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
　 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2
A型号 14和16 b 15 1.4
B型号 a 20 20 4.2
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空： 表中a= 　 　 ， b= 　 　
（2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议.
（3）若某快递公司新购进A型号智能机器人2台，B型号智能机器人2台，随机抽取两台分拣快递，请使用列表法或树状图法求抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率.
17．“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍，
（1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？
（2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品
18．如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°， AD是∠BAC的平分线.
（1）尺规作图：作⊙O，圆心O在线段AB上，且⊙O经过A， D两点（不写作法，保留作图痕迹)；
（2）在（1）的条件下，若OB=10， BD=8，求⊙O的半径.
19．情境如图，在跷跷板（自重忽略不计)的左端有一个固定质量为m0千克的靠背，质量为m千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为l米，选定支点右侧a米处为零刻度线.质量为M千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡.设大人与零刻度线的距离为y米，根据物理学的杠杆原理可得： （m0+m) l=M（a+y).
操作
（1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则l与a的关系式为：l=　 　；
②当跷跷板左端坐上质量为20千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则l与a的关系式为：l=　 　；
（2） 由（1） 可得： l=　 　， a=　 　；
（3）探究
根据“操作”的结果，
①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出y关于 m的函数关系式；（不必写m的取值范围)
②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加 5 千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离。
20．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中， ∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6， AC=DE=8， 旋转角为α（0°<α<360°).
（1）【初步感知】
如图1， 将三角形纸片BDE绕点B旋转， 连接AE， CD， 求 的值；
（2）【深入探究】
如图2，在三角形纸片 BDE 绕点 B 旋转过程中，当点D 恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延长ED交AC于点G，求AG的长；
（3）【拓展延伸】
在三角形纸片 BDE绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形.若能，求线段AD的长度；若不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】具有相反意义的量；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵飞机在飞行过程中，如果上升5米记作“米”，
∴下降8米应记作“米”．
故选：C．
【分析】根据正数和负数的意义，飞机在飞行过程中，如果上升5米记作“米”，则下降8米记作米。
2．【答案】B
【知识点】非实心几何体的三视图
【解析】【解答】解： 俯视图是在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，其图形为：
所以，选项ACD错误，选项B正确，
故答案为：B.
【分析】
本题考查了三种视图，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．理解看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线是解题关键．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、， 故 A错误．
B、， 故 B错误．
C、， 故 C错误．
D、， 故 D正确．
故答案为：D．
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，积的乘方：各因式分别乘方的积，同底数幂的除法：底数不变，指数相减，同底数幂乘法，底数不变，指数相加，完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，同底数幂的乘除法等基本规则，逐项进行判断．
4．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=90° 50°=40°．
故答案为：C
【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠3=50°，则∠2=40°．
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】
解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误；
B、∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴AD=BC，
∴四边形为平行四边形．故B正确．
C、由无法判定为平行四边形，故C错误；
D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误；
故答案为：B.
【分析】
本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质， 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解： ∵，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴ ．
故答案为：A.
【分析】本题考查了解直角三角形， 先在中利用直角三角形的边角间关系表示出，再利用线段的和差关系得结论．
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】
解： 设原计划每天种植的面积为，
由题意得， ，
故答案为：D.
【分析】
本题考查了分式方程的实际应用， 根据题意，原计划每天种植面积为，实际工作效率提高15%，即每天种植面积为，总任务量固定为，实际完成时间比原计划少2天．通过比较原计划时间与实际时间的差值，建立方程即可求解．
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点在上运动时，作交于，作交于，
由题意，当时，，，
∵，
∴，
∵当时，
∴，
∴，
∵，
∴点先到达点，
由图象可知，，
∵，
∴，.
∴．
当时，，，
此时，
如图，作交于F，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】
本题考查了30度角的性质，动点函数图象问题． 先求出，判断出运动时间为时，在上，再求出，，再根据三角形面积公式计算即可．
9．【答案】-12
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 由条件可知，即，
解得．
故答案为：.
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意得，可得关于k的方程，求解即可．
10．【答案】(-5， 4)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 由题知，
因为，
所以点向上平移3个单位得到点的坐标是．
故答案为：.
【分析】
本题主要考查了坐标与图形变化-平移， 根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可．
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： 画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，双方出现相同手势的有3种情况，
∴双方出现相同手势的概率
故答案为：.
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率的知识． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与双方出现相同手势的情况，再利用概率公式即可求得答案．
12．【答案】-20
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，，
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴，即，
又∵ ，即，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义， 根据题意列式表示出点的坐标，然后在根据的几何意义即可求出答案．
13．【答案】或
【知识点】点的坐标；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，
∴点P的纵坐标为4
当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM
∵T(0，4)，M(0，3)，
∴OM=3，0T=4，
∴MT=1，
∴
∴
根据对称性可知，点P关于y轴的对称点P'也满足条件
综上所述，满足条件的点P的坐标为或
故答案为：或
【分析】根据旋转性质可得点P的纵坐标为4，当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM，解直角三角形即可求出答案.
14．【答案】解：原式
=6.
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算；二次根式的乘法
【解析】【分析】本题考查实数的运算， 利用绝对值的性质，零指数幂，特殊锐角三角函数值，二次根式的运算法则计算后再算加减即可．
15．【答案】（1）二
（2）解：
=x+1，
∵x+1≠0， x-1≠0， x≠0，
∴x≠0， - 1， 1，
当x=2时， 原式=2+1=3.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号，
∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误，
故答案为：二；
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出的值，最后将的值代入进行计算即可．
16．【答案】（1）20；15
（2）解：从众数、平均数、中位数来看，B型机器人的数据都高于A型机器人，所以购买B型智能机器人；
（3）解：树状图如图所示，
共有12种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的结果有4种，
∴抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率为
(用列表法也给分)
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：型号的智能机器人每天可分拣20万件的机器人有5台，数量最多，
故众数；
型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是15，15，故中位数，
故答案为： 20， 15；
【分析】
本题主要考查了列表法与树状图法、方差、中位数、众数及条形统计图，熟知中位数、众数的定义及树状图是解题的关键．
（1）根据众数及中位数的定义进行计算即可；
（2）结合表格中的数据进行建立即可；
（3）利用树状图或列表，求出抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率即可．
17．【答案】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，
∴，
解得，，
经检验，当时，原方程有意义，
∴，
∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元；
（2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，
∴，
解得，，
∴最多能购买个型号的纪念品．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，根据用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，根据所花费用不超过6400元建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，
∴，
解得，，
经检验，当时，原方程有意义，
∴，
∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元；
（2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，
∴，
解得，，
∴最多能购买个型号的纪念品．
18．【答案】（1）解：如图，⊙O即为所求；

（2）解：如图， 连接OD.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD是∠BAC 的平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴BC为⊙O的切线.
在Rt△OBD中，OB=10， BD=8， 由勾股定理得
即⊙O的半径为6.
【知识点】勾股定理；切线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心为半径作即可；
（2）如图，连接．根据角平分线的定义得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，得到为的切线．根据勾股定理得到的半径为6．
19．【答案】（1）5a；
（2）；
（3）解：①由题意得，
0.25 米.
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）解：①由题意， ∵，，，，
∴
∴，
故答案为：；
②由题意，∵，，，，
∴，
故答案为：
（2）解：由题意，结合 (1)，联立方程组
故答案为： ， ；
（3）解：②∵，
∴当时，；当时，；
∴相邻刻度线之间的距离为米．
【分析】
本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程；解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）①由题意可得：，，，，代入，可以得解；
②由题意可得：，，，，代入即可求解；
（2）联立，即可求解；
（3）①将，，，代入，即可求解；
②由可得：时，；当时，，即可判断．
20．【答案】（1）解：∵∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6， AC=DE=8，∴AB=BE=10
由旋转得： ∠CBD=∠ABE，
∴△BCD∽△BAE，
（2）解：如图2， 延长CD交AE于 H， 连接BH交DE M，
由 (1) 知： △BCD∽△BAE，
∴∠BAE=∠BCD，
∵CF是直角三角形ABC 斜边AB的中线，
∴CF=AF=BF=5，
∴∠BCF=∠FBC，
∴∠FBC=∠BAE，
∵∠AFH=∠BFC，
∴△AFH≌△BFC (ASA)，
∴CF=FH，
∴四边形ACBH是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴ ACBH是矩形，
∴∠AHB=90°， BH=AC=8，
∵AB=BE，
∴AH=EH=BC=6，
设MH=x，
∵∠EHB=∠HAC=90°， ∠AEG=∠HEM，
∴△AEG∽△HEM，
∴AG=2x，
∵EH=BD=6， ∠EMH=∠BMD， ∠EHM=∠BDM=90°，
∴△EHM≌△BDM(AAS)，
∴BM=EM=8-x，
由勾股定理得： 即
解得
（3）解：分两种情况：
①如图3， 过点B作. 于Q，过点D作. 于P，
∴四边形ADPQ是矩形，
设AQ=PD=b，
∴△DAE∽△DPB，
即
在Rt△BPD中，
解得： (负值舍去)，
∵△DAE∽△DPB，
即
解得：
②如图4， ∠AED=90°， 过点B 作BQ⊥AE于Q，
∴∠BQE=∠AED=∠BDE=90°，
∴四边形BDEQ是矩形，
∴EQ=BD=6，
∵AB=BE， BQ⊥AE，
∴AE=2EQ=12，
由勾股定理得：
综上，AD的长是 或
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识．
（1）证明即可解答；
（2）如图2，通过延长交AE于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答；
（3）分两种情况：分别根据相似三角形和勾股定理即可解答．
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