资源简介

四川省资阳市高中2023级高考适应性考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．5
3．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下：
设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．15 B．21 C．28 D．36
6．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点，，分别在棱，，上，其中，，，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为 B．
C． D．若将的图象向右平移个单位，则所得函数是偶函数
10．某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（ ）
A．与互斥 B．
C．与相互独立 D．
11．如图（1），菱形的边长为，，现将沿翻折至，连接，得到如图（2）所示的三棱锥，在该三棱锥中，下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．当三棱锥体积最大时，与平面所成角为
D．若在平面内的射影为的垂心，且，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为
三、填空题
12．在的展开式中，含项的系数为________．
13．已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长等于，则______．
14．给出如下定义：函数的定义域为，若，使得，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则实数的最小值为________．
四、解答题
15．记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
16．如图，在四棱锥中，平面，，，．
(1)证明：平面；
(2)若，为的中点，为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知函数在处有极大值．
(1)求实数的值；
(2)证明：．
18．甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：每次传球时，甲等可能地将球传给乙、丙；乙传给甲、丙的概率分别为，；丙传给甲、乙的概率分别为，．第1次由甲将球传出，记第次传递后球在甲手中的概率为．
(1)求，；
(2)求；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则．记前次（即从第1次到第次）传递后球在甲手中的次数为，求．
19．已知抛物线的焦点为，点．
条件①：动点在抛物线上，的最小值为3；
条件②：过点的直线交抛物线于，两点，且．
从条件①，②中再选一个作为已知条件，解答以下问题：
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点．
（i）点能否成为的重心（为坐标原点），若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由；
（ii）直线上是否存在定点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．A
5．B
6．C
7．D
8．D
9．ACD
10．BD
11．ABD
12．
13．
14．/
15．（1）根据正弦定理 ，可得，
结合已知条件，得，
即，
又，
代入整理得：，又，，
即，所以；
（2）由余弦定理，代入，，，
得： ，
化简得：，由边长为正得，则，
代入三角形面积公式 .
16．（1）因为平面，平面，所以，
又因为，所以，
又因为，所以是等腰直角三角形，所以，，
所以，
在中，由余弦定理得，，
即，所以，所以，
所以是等腰直角三角形，所以，
又因为，且，平面，所以平面
（2）因为平面，平面，所以，
又且，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
设，则有，，，，
则，因为为的中点，所以，，
因为为棱上靠近点的三等分点，所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以，
记平面与平面夹角的余弦值为，
所以.
17．（1）求导得，
又在处有极大值，，解得或，
当时，，
时，；时，，故为极大值点，符合题意，
当时，，
时，；时，，故为极小值点，不符合题意，
综上，实数的值为.
（2）由（1）得，
要证，即证对成立，
令则，
令，解得或，
令，解得或，
所以函数在和上单调递增，在和上单调递减，
所以函数的极大值为和,
且，,
即对所有成立，成立.
18（1）第1次由甲将球传出，第次传递后球在甲手中的概率为．
所以第次传球后，球在甲手中有两种情况：
第1次甲将球传给乙，第2次乙将球传给甲，其概率为；
第1次甲将球传给丙，第2次丙将球传给甲，其概率为；
所以；
第次传球后，球在甲手中，则第次传球后，球不在甲手中，
所以.
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
设次传球后球在甲手中的概率为，，
若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中，
那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生，
则有，，必有，即，
即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
（3）由题意次传球后球在甲手中的次数服从两点分布，且，
所以，，
由（2）得，
则.
19（1）若选条件①，
抛物线的准线方程为，焦点，
过点作垂直准线于，
根据抛物线的定义可知，则，
当，，三点共线时，取得最小值，即，解得，
所以抛物线的方程为；
若选条件②，
设直线的方程为，，，
联立，，则，，
由抛物线的焦点弦长公式，
又因为，根据抛物线的定义可得，即，
由，，且，
可得，，联立解得，，
代入，得，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）（i）假设点能成为的重心，
设，，由三角形重心的性质可知，，
即，，
设直线的方程为，
联立，，
则，解得，
此时直线的方程为，代入得，，矛盾，
所以点不能成为的重心；
（ii）当时，
联立，解得或，
此时为中点，又，则在的垂直平分线上，
的垂直平分线方程为，又在直线上，
，解得，则，
当时，直线的方程为，又，
则直线关于直线对称，
当直线过时，，
联立，解得或，
不妨取，此时直线关于直线对称，符合题意；
当直线不过时，设直线的斜率为，
由对称性可知，
又由（i）知，，，
，
，
，
所以直线上存在定点，使得．

展开更多......

收起↑