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7.2 离散型随机变量及其分布
1.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果：
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X;
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数X;
(3)抛掷两个骰子，所得点数之和X;
(4)接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数X;
(5)某一自动装置无故障运转的时间X;
(6)某林场树木最高达30米，此林场树木的高度X．
X＝1, 2, 3, ···, n, ···
X＝2, 3, 4, ···, 12
X取(0, +∞)内的一切值
X取(0, 30]内的一切值
X ＝1, 2, 3, ···, 10
X＝0, 1, 2, 3
预习检测
2．篮球比赛中每次罚球命中得 1 分，不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，求他一次罚球得分的分布列．
1
0
X
P
0.7
0.3
3．抛掷一枚质地均匀的硬币 2 次，写出正面向上次数 X 的分布列．
1
0
2
X
P
知识回顾
必然事件
不可能事件
互斥事件
对立事件
复习引入
一般地，一个试验如果满足下列条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果;
这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验.
1.随机试验的概念
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.
2.样本点与样本空间的概念
问题1：请为以下随机试验的样本点与实数建立对应关系：
(1) 掷一枚骰子，观察出现的点数；
(2) 掷两枚骰子，观察两个点数之和；
(3) 掷一枚硬币，观察出现正、反面的情况；
(4) 随机抽取一件产品，观察出现“抽到次品”和“抽到正品”的情况.
　　求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题．类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随机试验．
探究新知
探究新知
　　对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应．即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化．
因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性．
探究新知
　　考察下列随机试验及其引入的变量：
　　试验1：从 100 个电子元件（至少含 3 个以上次品）中随机抽取三个进行检验，变量 X 表示三个元件中的次品数；
　　试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量 Y 表示需要的抛掷次数.
　　这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量 X，Y 有哪些共同的特征？
探究
探究新知
th
h
tth
ttth
t
h
h
2
1
3
4
t
h
h
Ω2
Y
t
t
探究新知
　　对于试验 1，如果用 0 表示“元件为合格品”，1 表示“元件为次品”，用 0 和 1 构成的长度为 3 的字符串表示样本点，则样本空间
Ω1＝{000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}
各样本点与变量 X 的值的对应关系如图所示．
001
000
010
011
100
101
110
111
1
0
1
2
1
2
2
3
Ω1
X
　　在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应．
变量X，Y 有如下共同点：
(1)取值依赖于样本点；
(2)所有可能取值是明确的．
概念形成
随机变量的定义:
一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称 X 为随机变量(random variable)．
说明: (1)随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点 ω 相当于函数定义中的自变量，而样本空间 Ω 相当于函数的定义域.
(2)随机变量的定义与函数的定义的不同之处在于 Ω 不一定是数集．
作用：随机变量将随机事件的结果数量化.
像这样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量(discrete random variable)．
通常用大写英文字母表示随机变量，例如 X, Y, Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如 x, y, z．
探究新知
离散型随机变量的定义:
例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球，若从中任取3个，
则其中所含白球的个数X就是一个随机变量，求X的取值
范围，并说明X的不同取值所表示的事件。
解：X的取值范围是{0，1，2，3} ，其中
{X=0}表示的事件是“取出0个白球，3个黑球”；
{X=1}表示的事件是“取出1个白球，2个黑球”；
{X=2}表示的事件是“取出2个白球，1个黑球”；
{X=3}表示的事件是“取出3个白球，0个黑球”；
变题：{X < 3}在这里又表示什么事件呢？
“取出的3个球中，白球不超过2个”
写出下列各随机变量可能的取值，并说明它们各自
所表示的随机试验的结果：
练一练
（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，
被取出的卡片的号数x ；
（2）抛掷两个骰子，所得点数之和Y；
（3）某城市1天之中发生的火警次数X；
（4）某品牌的电灯泡的寿命X；
（5）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场
任意一棵树木的高度x．
（x=1、2、3、···、10）
（Y=2、3、···、12）
（X=0、1、2、3、···）
[0，+∞)
[0.5，30]
思考：前3个随机变量与最后两个有什么区别？
三、离散型随机变量的分布列：
一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为：
x1，x2，…，xi，…，xn
X取每一个xi (i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=Pi，则称表：
X x1 x2 … xi … xn
P P1 P2 … Pi … Pn
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
有时为了表达简单，也用等式
P(X=xi)=Pi i=1，2，…，n
来表示X的分布列
离散型随机变量的分布列应注意问题：
1、分布列的构成：
1）列出了离散型随机变量X的所有取值；
2）求出了X的每一个取值的概率；
2、分布列的性质:
X x1 x2 … xi … xn
P P1 P2 … Pi … Pn
例3、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，求正面向上次数X的分布列。
解：正面朝上的次数 X 的取值范围是{0，1，2} ，
∴正面向上次数X的分布为：
第1步：确定随机变量的所有可能的值xi
第2步：求出取得各值的概率P(X=xi)=Pi
第3步：列出对应表格
X
例4、在掷一枚图钉的随机试验中，令
如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列。
解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是(1-p),于是，随机变量X的分布列是
X 0 1
P 1-p p
像上面这样的分布列称为两点分布列。
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布或0-1分布，而称p=P(X=1)为成功概率。
例5、袋子中有3个红球，2个白球，1个黑球，这些球
除颜色外完全相同，现要从中摸一个球出来，若摸到
黑球得1分，摸到白球得0分，摸到红球倒扣1分，试写
出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列.
解：因为只取1球，所以X的取值只能是1，0，-1
∴从袋子中随机取出一球所得分数X的分布列为：
X 1 0 -1
P
求离散型随机变量分布列的基本步骤：
（1）确定随机变量的所有可能的值xi
（2）求出各取值的概率P(X=xi)=pi
（3）列出表格
定值 求概率 列表
课堂练习：
0.3
0.16
P
3
2
1
0
-1
ξ
2、若随机变量ξ的分布列如下表所示，则常数a=_____
C
课堂练习：
0.88
X
4. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.
如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
5.
思考：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2，
3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的
号码，求X的分布列。
解：因为同时取出3个球，故X的取值只能是1，2，3
当X=1时，其他两球可在剩余的4个球中任选
故其概率为
当X=2时，其他两球的编号在3，4，5中选，
故其概率为
当X=3时，只可能是3，4，5这种情况，
概率为
X 1 2 3
P
∴随机变量X的分布列为
思考：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2，
3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的
号码，求X的分布列。
小结：
一、随机变量的定义：
二、离散型随机变量的定义：
三、离散型随机变量的分布列：
1、分布列的性质:
2、求分布列的步骤:
定值 求概率 列表
3.18第十三次作业
1.教材P60练习T3
2.若离散型随机变量X的所有可能取值为1,2,3，…，10，且
P(X=k)=ak(k=1,2,3,…，10)，求a的值
3.湖南师范大学数统院决定从n位优秀毕业生（包括x位女生，
3位男生）中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任实习教师。每
一位学生被派的机会是相同的。
(1)若选派的2位学生中恰有1位女生的概率为0.6，试求n与x的值；
(2)在（1）的条件下，记X为选派的2位学生中女生的人数，请
写出X的分布列。
4.在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件
进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3x3的表格，其中
1格设奖300元，4格设奖200元，4格设奖100元，点击一格即
显示相应金额。某人在表中随机不重复地点击3格，设中奖的
金额为X元。求X的分布列。

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