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复 习
第七章 随机变量及其分布
知识网络
A、B为互斥事件：
若P(AB)=P(A)P(B)
A、B为独立事件：
表示A、B两个事件同时发生.
3.积事件A∩B：
2.和事件A∪B：
表示A、B两个事件有发生.
若P(AB)≠P(A)P(B)
条件概率
1.古典概型：
有限,等可能;
在事件B发生的条件下,事件A发生的概率
4.条件概率：
在事件A发生的条件下,事件B发生的概率
5.概率的乘法公式：
6.全概率的公式：
贝叶斯公式
3.代公式:用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ).
2.写概率:由已知,写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai ));
1.设事件：把事件B(预测事件)看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An看作导致结果的若干个原因；
P(Ai)是实验之前就已知的概率,称为先验概率.
全概率公式求概率的步骤：
一般地,设A1,A2 ,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=W ,且P(Ai)>0,i=1,2,…n ,则对任意的事件B W,P(B)>0,有
贝叶斯公式
用来描述两个条件概率的关系.
2.随机变量的均值的性质
X x1 x2 … xi … xn
P P1 P2 … Pi … Pn
1.离散型随机变量的期望、方差
3.随机变量的均值的性质
E(aX+b)=aE(X)+b
D(aX+b)=a2D(X)
(1)若Y=2X+1,E(X)=3，则E(Y)=________.
(2)若Y=2X+1,D(X)=3，则D(Y)=________.
(3) ①若 E(X)=4.5,则 E(-X)= .D(-X)= .
②E(X－E(X))= .
E(X)=p
X 1 0
P p 1-p
1.两点分布
D(X)=p(1-p)
如果X～B(n，p),那么
2.二项分布
3.超几何分布的期望
4.正态分布
E(X)=u,D(X)=σ2
E(X)＝np,
D(X)＝np(1-p).
如果X~N(u,σ2),那么
特殊的分布及其期望、方差
m
m-s
m+s
A
B
0.6827
1s区间
m
m+2s
m-2s
0.9545
A
B
C
D
2s区间
m
m+3s
m-3s
0.9973
A
B
C
D
E
F
3s区间
正态分布概率(面积)计算
例4. 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水 时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000.为保护设备,有以下3种方案:
方案1:运走设备,搬运费为3800元.
方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水.
方案3:不采取措施.
工地的领导该如何决策呢
解:用X1,X2,X3分别表示方案1,2,3的损失
方案1,无论有无洪水,都损失3800元
方案2,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000;没有大洪水时损失2000元,
方案3,
X2 62000 2000
P 0.01 0.99
X3 0 2000 60000
P 0.74 0.25 0.01
采用方案2的平均损失最小,因此可以选择方案2
采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如
例 1
果这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各
含1个次品.求： (1)采购员拒绝购买的概率；
(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率.
(1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率.
反
思
感
悟
计算条件概率要注意以下三点
(2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化.
跟踪训练 1
√
1.均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表
明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实
生产生活中的应用比较广泛.
2.掌握离散型随机变量的分布列、均值和方差，重点提升逻辑推理与运算的核心素养.
例 2
角度1　二项分布的均值、方差
故X的分布列为
设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故
障时能及时进行维修”为X≤n，即为
X=0，X=1，X=2，…，X=n这n+1个互斥事件的和事件，则
(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.
　“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为规避风险、寻求发展制定科学方案，工作人员对前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.
例 3
角度2　超几何分布的均值、方差
该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用比例分配的分层随机抽样的方法在消费金额为[9，11)和[11，13)的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为[11，13)的人数的分布列和均值.
X 1 2 3
P
(1)关于二项分布的应用
反
思
感
悟
把握二项分布的关键是理解随机试验中n次、独立、重复这些字眼，即试验是
多次进行，试验之间是相互独立的，每次试验的概率是相同的，判定随机变
量符合二项分布后结合相应的公式进行计算.
(2)关于超几何分布的应用
不放回取次品是超几何分布的典型试验，可以将取球、选队员等试验归入超
几何分布问题，再利用其概率、均值公式进行计算.
跟踪训练 2
√
(2)随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高，也因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生进行了随机调查，询问他们每周的零花钱数额，将统计数据按照[0，20)，
[20，40)，…，[120，140]分组后绘制成如图所示
的频率分布直方图，已知a=3b.
①求图中a，b的值；
由题意知(a+0.012 5+0.007 5+2b+2×0.002 5)×20=1，
化简得a+2b=0.025，
又a=3b，所以a=0.015，b=0.005.
②若按比例分配的分层随机抽样的方法从每周零花钱在[60，120)内的人中抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记这3人中每周零花钱在[80，100)内的人数为X，求X的分布列与均值.
X 0 1 2 3
P
1.解决正态分布的实际应用题，关键是如何转化，同时要注意“3σ”原则及正态曲
线的对称性.
2.掌握正态分布的实际应用，重点提升直观想象和数学建模的核心素养.
　为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设，某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图.
例 4
由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6，
可得Z~B(20，0.226 6)，
所以Z的均值E(Z)=20×0.226 6=4.532.
反
思
感
悟
利用正态曲线解决实际问题时常利用其对称性解题，并注意借
助[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]三个区间内的概率值
求解，要注意正态曲线与频率分布直方图的结合.
跟踪训练 3
(2)从这100个苹果中随机挑出8个，
这8个苹果的重量情况如下：

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