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广西壮族自治区桂林市普通高中2026届毕业年级第一次适应性模拟考试数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，，若,方向相反，则（ ）
A． B．2 C． D．2或
4．等比数列的前项和为，且，，则此数列的公比为（ ）
A． B．2 C．1 D．1或
5．已知命题；命题成立，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在中，，，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则（ ）
A．2026 B．2025 C．1013 D．
8．当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别.信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德·艾尔伍德·香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为，其中表示随机变量的信息熵，随机变量所有可能的取值为，，且.若随机变量所有可能的取值为1，2，，若，则的信息熵的值所在的区间为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
二、多选题
9．记为等差数列的前项和，为的公差，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．草莓是深受广大消费者喜爱的水果之一.一家水果店的老板为了了解本店草莓的日销售情况，记录了过去一周（7天）的日销售量，结果如下（单位：kg）：43，52，46，55，45，53，49，则下列说法正确的有（ ）
A．该水果店过去7天草莓的平均日销售量为
B．这组数据的上四分位数（即75%分位数）是52
C．从这7天中任选两天，则这两天的草莓日销售量均大于平均日销售量的概率为
D．已知第8天的日销售量为，若将49加入这组数据，则这组数据的方差会变小
11．已知是双曲线上一点，且，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，下列说法正确的有（ ）
A．的离心率为
B．若，则的面积为1
C．若，则的取值范围是
D．过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则的斜率为
三、填空题
12．轴被圆截得的弦长为_____.
13．若，且，则_____.
14．一个正四棱台形状的石墩，其上、下底面边长分别为2和8，高为，现将其打磨成一个球体，则所得球体的表面积最大值为_____.
四、解答题
15．已知分别是函数图象上相邻的两个最高点和最低点.
(1)求的解析式：
(2)若的图象的对称中心只有一个落在区间上，求的取值范围.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是面积为2的等腰直角三角形.
(1)求的方程；
(2)直线与交于M、N两点，为坐标原点.若上存在点，使得四边形为平行四边形，求的值.
17．已知直三棱柱中，平面平面，点为线段上靠近点的三等分点，点为直线上的动点，且，.
(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值：
(3)求周长的最小值.
18．跳棋，是一项老少皆宜、流传广泛的益智型棋类游戏.有一种跳棋棋盘可简化为菱形网格（如图），棋子的“跳跃”遵循如下规则：
在同一直线上，若玩家棋子与另一棋子相邻，且相邻棋子的另一侧为空位，则玩家棋子可以直接跳到该空位上（如①），被跳过的棋子称为“桥”：若玩家棋子的相邻位置没有棋子（如⑨），或相邻位置有连续两枚棋子（如④），则不可跳跃（图③④用“×”表示）.
若跳跃后的位置满足上述跳跃的条件，则可以沿任意方向（不限原方向，但不能跳出边界）继续跳跃（如图②）.
玩家从起跳到由于不可跳跃或主动停下而停止跳跃，算作“一步棋”
为了方便，我们用表示每个格点的位置：棋盘最左端为起点，表示为，从出发，朝右下方移动一格，增加1，朝右上方移动一格，增加1，如，，，终点为（为奇数）.
(1)当，且限定玩家只能向右上或右下两个方向跳跃时：
（i）若棋盘上可根据需要摆放“桥”，则玩家从起点到点共有多少条路径
（ii）若棋盘上每个位置有棋子的概率为，且每个位置是否摆放棋子互不影响，现玩家从点出发，能一步到达终点的概率是多少
(2)小明在棋盘上摆放了颗棋子，然后他惊讶地发现：若棋子可沿任意直线方向跳跃（但不能跳出边界），则此时，棋盘上任意一个空位都可从起点一步到达，且这颗棋子都能作为“桥”，试写出与的关系式.
19．已知函数，其中.
(1)当时，求在上的单调性；
(2)若存在两个极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）当时，求的取值范围.
参考答案
1．A
2．B
3．C
4．D
5．A
6．B
7．D
8．C
9．ABD
10．ACD
11．BC
12．
13．
14．
15．（1），，，；
为相邻的两个最高点和最低点，
的最小正周期，，
，则，
，又，，
.
（2）令，解得，
的对称中心为，
的对称中心只有一个落在区间上，
，解得，
即的取值范围为.
16．（1）因为是面积为2的等腰直角三角形，
则，解得，可得，
所以椭圆的方程为.
（2）联立方程，消去y可得，
则，解得，
设，则，，
可得，
又因为，
若四边形为平行四边形，
则，即，
因为点在椭圆上，则，解得，
所以.
17．（1）在直三棱柱中面，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，所以.
（2）因为面，所以，因为平面，平面，所以，
如图所示，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由，，且点为线段上靠近点的三等分点，
可得，
可得，
所以，
设面的法向量为，
则，即，
令，解得，所以面的一个法向量为，
设面的法向量为，
则，即，
令，解得，所以面的一个法向量为，
设二面角为，
则.
（3）可知，设，，
则，解得，即，
所以，
，
可知当取得最小值时，同时取得最小值，
即，
所以，，
因为，所以周长的最小值为.
18．（1）（i）根据题设，从 到 的路径数需满足 x增加2， y 增加 4，
则向右下跳1 次，向右上跳2 次，即3次中选1次为右下，选2次为右上，所以路径数为 ；
（ii）从 到终点 需右下跳2次，右上跳1次，共3次跳跃．这3次跳跃的路径有 种；
①右下→右下→右上 ，经过格子：，有棋子的格子：，空格子：；
②右上→右下→右下 ，经过格子：，有棋子的格子：，空格子：；
③右下→右上→右下 ，经过格子： ，有棋子的格子：，空格子：；
每条路径要求3个指定格子有棋子，3个指定格子为空， 由题意，每个格子是否有棋相互独立，概率均为，
每条路径可行的概率为，又三条路径对应的棋盘布局互不相容， 从点出发，能一步到达终点的概率为 ；
（2）六个方向均可跳时，要使棋盘上任意一个空位都可从起点一步到达，且每颗棋子都能作为"桥"，
可构造如下摆法： 当且仅当 x 与 y 均为奇数时，格点为空，余下所有格点均摆放棋子．
由于奇偶相间，所以空位互不相邻，且空位之间一定有且只有一枚棋子．
所以从起点出发可通过跳跃到达所有空位，并跳过所有棋子（如图）.
棋盘总格数为：.
若在满足 x 为偶数或 y 为偶数的位置均摆放棋子占据， 则空位数为：.
因此棋盘上棋子数 ，
所以 ( n 为奇数）
19．（1）当时，，，
令，则，
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增.
（2）（i）由题意知：，
存在两个极值点，存在两个变号零点，
令，即，显然不是方程的根，
有两个不等实根，
设，则与有两个不同交点，
，当时，；当时，；
当时，；当从负方向趋近时，；
当从正方向趋近时，；当时，；；
由此可得图象如下图所示，
若与有两个不同交点，则.
（ii）由（i）知：，，，
令，，且，
则，，
，
设，则，，
，，，
设，则，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，
在上单调递增，，即，
在上单调递增，
又，，，
，即的取值范围为.

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