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浙江省杭州市文海中学2024--2025学年七年级下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，以下四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．下列方程中，是二元一次方程的是(　　)
A． B． C． D．
2．若要调查下列问题，你认为适合采用全面调查的是（　　）
A．对全国中学生每天睡眠时长情况的调查
B．对一批节能灯的使用寿命的调查
C．对北仑区城湾水库水质情况的调查
D．对载人航天飞船发射前各零部件质量情况的调查
3．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
4．随着半导体芯片市场的不断发展，手机芯片的工艺也从到，再到如今最先进的工艺，性能也越来越强，已知，其中用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
5．如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍
C．不变 D．缩小为原来的
6．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．将一张两边平行的纸条如图折叠一下，若，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
8．多项式中，有一个因式为，则的值为（　　）
A． B． C．15 D．3
9．设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（　　）
A．521 B．1413 C．3721 D．1716
10．如图，在线段上取点，分别以，为边在的同侧作两个正方形，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．要使分式有意义，则x需满足的条件是　 　．
12．运动会上将名运动员按跳远成绩分组后，组界为米的一组有人，则该组的频率是　 　．
13．若，则A代表的整式是　 　．
14．若是关于x、y的方程和的公共解，则　 　．
15．已知x-y=1，则 的值为　 　.
16．图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则　 　．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．计算
（1）；
（2）．
18．解方程（组）
（1）；
（2）．
19．先化简，再求值：，其中从，，中选取一个合适的值代入．
20．某学习小组以“学生上学的主要交通方式”为主题，对全校学生进行抽样调查，根据结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（每位同学必选且仅选一项）：
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）若该校有1200名学生，则以电瓶车为主要交通方式的学生约有多少人？
21．临近期末，某校七年级一班打算购买一些记录本和笔作为休学式当天班内学期表彰的奖品．已知一本记录本的价格比一支笔的价格高1元，用180元可以购得的本子数量和用150元可以购得的笔的数量相同．
（1）求记录本和笔的单价．
（2）本次计划使用120元班费全部用于购买记录本和笔（经费无剩余且两种奖品都要购买），请问有哪几种购买方案？
22．如图，一束光线射到平面镜上，经平面镜反射到平面镜上，又经平面镜反射得到光线，反射过程中，，．
（1）若，且，求的度数．
（2）探究与有什么关系时，光线与光线平行．
23．【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法
（1）填空：因式分解________
【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为
．
（2）请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①；
②．
【应用尝试】
（3）已知实数a，b满足，求的值．
24．规定一种新的运算“”，其中，为正整数．其运算规则如下：
①；②（其中为常数）．
（1）计算：_______，______（其中为常数）；
（2）（其中，均不为0）．
①求，，的值；
②化简并计算：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A. 含有 2 个未知数x，y，含未知数的项的次数均为 1，且为整式方程，是二元一次方程，A符合题意；
B. xy项的次数为1+1=2，最高次数为 2，不是二元一次方程，B不符合题意；
C. y=1，是分式，所以-y=1不是二元一次方程，C不符合题意；
D. x 2 x 1=0，只含有 1 个未知数x，且x 2项的最高次数为 2，x 2 x 1=0不是二元一次方程，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】判断二元一次方程，需同时满足三个核心条件：①含有两个未知数（二元）；②含未知数的项的次数均为 1（一次）；③方程为整式方程（分母不含未知数）。三者缺一不可，解题时需紧扣定义逐一验证，避免遗漏条件。
2．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．对全国中学生每天睡眠时长情况的调查，适合抽样调查，A不符合题意；
B．对一批节能灯的使用寿命的调查，适合抽样调查，B不符合题意；
C．对北仑区城湾水库水质情况的调查，适宜采用抽样调查，C不符合题意；
D．对载人航天飞船发射前各零部件质量情况的调查，适合全面调查，D符合题意．
故答案选：D．
【分析】
判断调查方式的核心是紧扣两类调查的适用场景：
全面调查适用于范围小、无破坏、要求高、事关重大的场景；
抽样调查适用于范围广、有破坏、仅需了解整体趋势的场景。解题时需结合调查的实际意义，避免因忽略调查的破坏性或成本问题而误判。
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加：a2 a4=a2+4=a6，A正确；
B. a2与a6所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，无法合并，B错误；
C. 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘：(a2)4=a2×4=a8≠a6，C错误；
D. 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减：a8÷a4=a8 4=a4≠a2，D错误。
故答案选：A．
【分析】
乘号：指数相加（m+n）；除号：指数相减（m n）；括号乘方：指数相乘（m×n）；
加减号：先看是不是同类项，不是就不能合并。
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】绝对不能让a 小于 1 或大于等于 10，这是最常见的错误；
数 0 的时候，要从小数点后第一个 0数到第一个非零数字前，不要多数或少数。
5．【答案】D
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：
∴ 分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的。
故答案为：D .
【分析】本题考查分式的计算。
首先根据条件“ 把分式中的x和y都扩大为原来的3倍 ”，即原分式变为，与原分式进行除法计算，经过化简计算得出答案是。
6．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
解：① x2 y2= (x2+y2)，两项符号相同，不满足平方差公式，无法用公式法分解；
② 1 a2b2=12 ( ab)2，符合平方差公式，可用公式法分解；
③ a2+ab+b2，中间项不是首尾乘积的 2 倍，不满足完全平方公式，无法用公式法分解；
④ x2+2xy+y2=(x+y)2，符合完全平方和公式，可用公式法分解；
⑤ x2 x+ =(x )2，符合完全平方差公式，可用公式法分解。
综上，可用公式法分解的有②、④、⑤，共 3 个。
故答案为：B。
【分析】本题考查公式法分解因式，核心是掌握平方差公式 a2 b2=(a+b)(a b) 和完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 的结构特征，逐一分析每个式子即可。
7．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵纸条的两边平行，
∴
∴由折叠性质可得：，
，
故选：C．
【分析】 利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补）找到相等的角； 利用折叠的性质得到折叠前后对应角相等；结合平角为180 列方程求解，避免漏算折叠角
8．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：
∴
故选：C
【分析】
因为多项式的二次项系数为2，一次项系数为-13，若一个因式，则另一个因式只能为，根据因式分解的概念可将化为两个多项式化为以上两个因式的乘积，则b可求.
9．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
n-1、n、n+1是三个连续的自然数，且
∴必是偶数，
即是一个偶数．
故答案为：D．
【分析】先将因式分解得到，表示三个连续正整数的积，n-1、n、n+1其中一个数必为偶数，可知必是偶数，即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】∵AB=8，AC=m，则 BC=AB AC=8 m，
由于两个正方形的边长分别为 m 和 8 m，
因此，大正方形面积：m2，小正方形面积(8 m)2
两个正方形的总面积：m2+(8 m)2
∵直角三角形面积为12×8-m×m-8-m
∵空白部分是下底为m，上底为（8-m），高为AC的直角梯形，其面积为：S空白 =4m
∴S阴影 =m2+(8 m)2 +12×8-m×m-8-m - 4m=
【分析】
本题考查列代数式表示图形面积，解题关键是用整体面积减去空白面积表示阴影部分，或直接拆分阴影部分计算，再通过整式化简得到结果。
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵分式有意义 ，
∴x-5≠0，
∴x≠5，
故答案为：.
【分析】利用分式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵将人的跳远成绩分组后，组界为米的一组有6人，
∴该组的频率是：．
故答案为：．
【分析】频率的本质是该组数据在总体中所占的比例，取值范围在0到1之间，所有组的频率之和为1；解题时需注意区分频数（该组的数量）和频率（比例），避免概念混淆。
13．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】：多项式除以单项式，要先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，注意符号的变化。
14．【答案】7
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入方程，得：，
解得：m=4，
将代入方程，得：，
解得：n=3，
∴，
故答案为：7．
【分析】把x与y的值分别代入方程和计算出m与n的值，打入计算即可求出m+n的值.
15．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 =
∵
∴ = =1
所以答案为1
【分析】将原式前两项进行因式分解后得： ，然后将 代入将原式化为： 即 进而得出答案
16．【答案】12
【知识点】角平分线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：延长交于点H，如图，
已知 A'B'∥OE，∠CB'A'=129°，
根据两直线平行，同旁内角互补，得：∠OEB'=180° 129°=51°，
又 ∵∠CEO=90°，
∴ CE⊥OE，
∵ A'B'∥OE，得 CE⊥A'B'，即 ∠CEB'=90°，
∵∠OEB'=51°，
∴∠CEB' ∠OEB'=90° 51°=39°即 ∠CB'O=51°，
在 △CEB' 中，∠CEB'=90°，∠CB'E=51°，
∴∠ECB'=90° 51°=39°，
∵CB' 平分 ∠OCE，
∴∠OCE=2∠ECB'=2×39°=78°，
在 Rt△CEO 中，∠CEO=90°，根据直角三角形两锐角互余：∠COE=90° ∠OCE=90° 78°=12°
故答案为：12°.
【分析】
解题核心步骤：利用平行线性质求 ∠CB'O=51°；由直角三角形求 ∠ECB'=39°；结合角平分线得 ∠OCE=78°；最后由直角三角形两锐角互余求 ∠COE=12°；易错点：混淆平行线的内错角、同旁内角，或漏用角平分线的 “2 倍关系”。
17．【答案】（1）解：
=7
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）乘方运算： 12= 1（注意与( 1)2=1的区别）（2）负整数指数幂：a n= （a ≠ 0），因此( ) 2==9零指数幂：a0=1（a≠0），因此(π 1)0=1
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：
得，
解得：x=2
将代入①得，6+y=9
解得：y=3
∴原方程组的解为：
（2）解：
∴去分母两边同时乘以x-5，得2-x-1=x-5
解得x=3
经检验，当x=3，时x-5=-2≠0
∴x=3是原分式方程的解
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）二元一次方程组：代入消元法和加减消元法是核心方法，加减消元法更适合系数成倍数关系的方程组；（2）分式方程：必须检验，去分母时注意符号变化，避免漏乘常数项，同时要保证最简公分母不为 0。
（1）解：
得，，
解得：，
将代入①得，
解得：
∴原方程组的解为：；
（2）解：
∴
解得：，
经检验，是原方程的解
19．【答案】解：原式
∵分式的分母不等于，
∴，
把代入得，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】运算顺序：分式混合运算要先算括号内的，再将除法转化为乘法，利用因式分解进行约分，最后化为最简分式。条件限制：化简完成后，必须先确定 x 的取值范围。选取的 x 值必须使原分式所有分母都不为 0，且除式不为 0，否则计算出的数值是无效的。
20．【答案】（1）解：本次抽样调查的学生人数为（人）．
公共汽车的人数为（人），
统计图补全如图所示．
（2）解：．
（人）．
答：以电瓶车为主要交通方式的学生人数约有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）运用私家车人数除以占比得到总人数，用总人数乘以公共汽车占比求出其人数，补全条形统计图即可；
（2）利用1200×电瓶车的占比解答即可．
21．【答案】（1）解：设笔的单价为x元，记录本单价为（x+1）元，
，
解得x=5，
经检验x=5是分式方程的解，
答：笔的单价为5元，记录本单价为6元。
（2）解：设记录本a本，笔b支，
6a+5b=120，
∵a和b都是正整数，
则有a=15，b=6，或a=10，b=12，或a=5，b=18，
答：可以买记录本15本、笔6支；或记录本10本、笔12支；记录本5本、笔18支；共三种方案。
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查分式方程的实际运用及二元一次方程的列式与分析。
（1）根据条件可以列出笔的数量是，记录本的数量是，因为“ 用180元可以购得的本子数量和用150元可以购得的笔的数量相同 ”，这样可以列出分式方程，求出x的值之后进行检验，以免产生增根；
（2）根据（1）的计算结果，则记录本需要6a元，笔需要5b元，此时可以列出二元一次方程，然后在a和b均为正整数范围内逐个分析即可。
22．【答案】（1）解，，
．
，
．
，
．
．
，
．
，
．
（2）解： 当时，光线与光线平行．
理由如下：
，，
．
同理．
，
．
【知识点】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据平角的定义求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD的度数，进而利用平角解题即可；
（2）利用（1）的方法得到，，然后根据同旁内角互补，两直线平行解答即可．
23．【答案】（1）；
（2）①
．
②
．
（3）
，
∵，
∴，
∴，
∴解得，
∴．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用；二元一次方程组的其他应用；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】（1）解：3x2-6x+3
=3(x2-2x+1)
=3(x-1)2
【分析】本题考查因式分解的综合运用及偶次方的非负性。
(1)因式分解 3x2 6x+3：解题思路是 “先提公因式，再套公式”。观察多项式各项有公因式 3，先提取得到 3(x2 2x+1)，括号内符合完全平方公式结构，继续分解得到最终结果，关键是遵循 “先提公因式、再用公式” 的基本步骤，保证分解彻底。
(2)分组分解法因式分解：两小问分别对应两种常用分组方式，思路均为 “分组→组内化简→整体分解”。① x2 xy+6x 6y：四项式两两分组，分别提取公因式后出现新的公因式 (x y)，再次提取即可完成分解，重点是通过分组构造公因式。② m2 n2+6m+9：采用 “三一分组”，将三项凑成完全平方，再利用平方差公式继续分解，关键是合理分组凑出公式形式。
(3)已知 2a2 4a+4+2ab+b2=0，求 a b：解题步骤为 “配方→利用非负性求值→代入计算”。将等式左边拆分为两个完全平方式，得到平方和为 0 的形式；根据非负数性质列出方程求出 ，再代入计算结果，核心是正确配方并运用非负性构造方程。
24．【答案】（1），
（2）解：①由题意知，，，，
∴，整理得，，
∴，，，，
解得，，，
∴，，；
②解：由①可知，，整理得，
∴，
∴的值为3．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂
【解析】【解答】解：（1）由题意知，，，
故答案为：，；
【分析】（1），，求解作答；
（2）①先根据，，，得出，从而可得，，，，求解作答即可；
②先根据，得到，再代入化简即可．
1 / 1浙江省杭州市文海中学2024--2025学年七年级下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，以下四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．下列方程中，是二元一次方程的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A. 含有 2 个未知数x，y，含未知数的项的次数均为 1，且为整式方程，是二元一次方程，A符合题意；
B. xy项的次数为1+1=2，最高次数为 2，不是二元一次方程，B不符合题意；
C. y=1，是分式，所以-y=1不是二元一次方程，C不符合题意；
D. x 2 x 1=0，只含有 1 个未知数x，且x 2项的最高次数为 2，x 2 x 1=0不是二元一次方程，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】判断二元一次方程，需同时满足三个核心条件：①含有两个未知数（二元）；②含未知数的项的次数均为 1（一次）；③方程为整式方程（分母不含未知数）。三者缺一不可，解题时需紧扣定义逐一验证，避免遗漏条件。
2．若要调查下列问题，你认为适合采用全面调查的是（　　）
A．对全国中学生每天睡眠时长情况的调查
B．对一批节能灯的使用寿命的调查
C．对北仑区城湾水库水质情况的调查
D．对载人航天飞船发射前各零部件质量情况的调查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．对全国中学生每天睡眠时长情况的调查，适合抽样调查，A不符合题意；
B．对一批节能灯的使用寿命的调查，适合抽样调查，B不符合题意；
C．对北仑区城湾水库水质情况的调查，适宜采用抽样调查，C不符合题意；
D．对载人航天飞船发射前各零部件质量情况的调查，适合全面调查，D符合题意．
故答案选：D．
【分析】
判断调查方式的核心是紧扣两类调查的适用场景：
全面调查适用于范围小、无破坏、要求高、事关重大的场景；
抽样调查适用于范围广、有破坏、仅需了解整体趋势的场景。解题时需结合调查的实际意义，避免因忽略调查的破坏性或成本问题而误判。
3．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加：a2 a4=a2+4=a6，A正确；
B. a2与a6所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，无法合并，B错误；
C. 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘：(a2)4=a2×4=a8≠a6，C错误；
D. 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减：a8÷a4=a8 4=a4≠a2，D错误。
故答案选：A．
【分析】
乘号：指数相加（m+n）；除号：指数相减（m n）；括号乘方：指数相乘（m×n）；
加减号：先看是不是同类项，不是就不能合并。
4．随着半导体芯片市场的不断发展，手机芯片的工艺也从到，再到如今最先进的工艺，性能也越来越强，已知，其中用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】绝对不能让a 小于 1 或大于等于 10，这是最常见的错误；
数 0 的时候，要从小数点后第一个 0数到第一个非零数字前，不要多数或少数。
5．如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍
C．不变 D．缩小为原来的
【答案】D
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：
∴ 分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的。
故答案为：D .
【分析】本题考查分式的计算。
首先根据条件“ 把分式中的x和y都扩大为原来的3倍 ”，即原分式变为，与原分式进行除法计算，经过化简计算得出答案是。
6．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
解：① x2 y2= (x2+y2)，两项符号相同，不满足平方差公式，无法用公式法分解；
② 1 a2b2=12 ( ab)2，符合平方差公式，可用公式法分解；
③ a2+ab+b2，中间项不是首尾乘积的 2 倍，不满足完全平方公式，无法用公式法分解；
④ x2+2xy+y2=(x+y)2，符合完全平方和公式，可用公式法分解；
⑤ x2 x+ =(x )2，符合完全平方差公式，可用公式法分解。
综上，可用公式法分解的有②、④、⑤，共 3 个。
故答案为：B。
【分析】本题考查公式法分解因式，核心是掌握平方差公式 a2 b2=(a+b)(a b) 和完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 的结构特征，逐一分析每个式子即可。
7．将一张两边平行的纸条如图折叠一下，若，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵纸条的两边平行，
∴
∴由折叠性质可得：，
，
故选：C．
【分析】 利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补）找到相等的角； 利用折叠的性质得到折叠前后对应角相等；结合平角为180 列方程求解，避免漏算折叠角
8．多项式中，有一个因式为，则的值为（　　）
A． B． C．15 D．3
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：
∴
故选：C
【分析】
因为多项式的二次项系数为2，一次项系数为-13，若一个因式，则另一个因式只能为，根据因式分解的概念可将化为两个多项式化为以上两个因式的乘积，则b可求.
9．设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（　　）
A．521 B．1413 C．3721 D．1716
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
n-1、n、n+1是三个连续的自然数，且
∴必是偶数，
即是一个偶数．
故答案为：D．
【分析】先将因式分解得到，表示三个连续正整数的积，n-1、n、n+1其中一个数必为偶数，可知必是偶数，即可得出答案.
10．如图，在线段上取点，分别以，为边在的同侧作两个正方形，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】∵AB=8，AC=m，则 BC=AB AC=8 m，
由于两个正方形的边长分别为 m 和 8 m，
因此，大正方形面积：m2，小正方形面积(8 m)2
两个正方形的总面积：m2+(8 m)2
∵直角三角形面积为12×8-m×m-8-m
∵空白部分是下底为m，上底为（8-m），高为AC的直角梯形，其面积为：S空白 =4m
∴S阴影 =m2+(8 m)2 +12×8-m×m-8-m - 4m=
【分析】
本题考查列代数式表示图形面积，解题关键是用整体面积减去空白面积表示阴影部分，或直接拆分阴影部分计算，再通过整式化简得到结果。
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．要使分式有意义，则x需满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵分式有意义 ，
∴x-5≠0，
∴x≠5，
故答案为：.
【分析】利用分式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．运动会上将名运动员按跳远成绩分组后，组界为米的一组有人，则该组的频率是　 　．
【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵将人的跳远成绩分组后，组界为米的一组有6人，
∴该组的频率是：．
故答案为：．
【分析】频率的本质是该组数据在总体中所占的比例，取值范围在0到1之间，所有组的频率之和为1；解题时需注意区分频数（该组的数量）和频率（比例），避免概念混淆。
13．若，则A代表的整式是　 　．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】：多项式除以单项式，要先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，注意符号的变化。
14．若是关于x、y的方程和的公共解，则　 　．
【答案】7
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入方程，得：，
解得：m=4，
将代入方程，得：，
解得：n=3，
∴，
故答案为：7．
【分析】把x与y的值分别代入方程和计算出m与n的值，打入计算即可求出m+n的值.
15．已知x-y=1，则 的值为　 　.
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 =
∵
∴ = =1
所以答案为1
【分析】将原式前两项进行因式分解后得： ，然后将 代入将原式化为： 即 进而得出答案
16．图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则　 　．
【答案】12
【知识点】角平分线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：延长交于点H，如图，
已知 A'B'∥OE，∠CB'A'=129°，
根据两直线平行，同旁内角互补，得：∠OEB'=180° 129°=51°，
又 ∵∠CEO=90°，
∴ CE⊥OE，
∵ A'B'∥OE，得 CE⊥A'B'，即 ∠CEB'=90°，
∵∠OEB'=51°，
∴∠CEB' ∠OEB'=90° 51°=39°即 ∠CB'O=51°，
在 △CEB' 中，∠CEB'=90°，∠CB'E=51°，
∴∠ECB'=90° 51°=39°，
∵CB' 平分 ∠OCE，
∴∠OCE=2∠ECB'=2×39°=78°，
在 Rt△CEO 中，∠CEO=90°，根据直角三角形两锐角互余：∠COE=90° ∠OCE=90° 78°=12°
故答案为：12°.
【分析】
解题核心步骤：利用平行线性质求 ∠CB'O=51°；由直角三角形求 ∠ECB'=39°；结合角平分线得 ∠OCE=78°；最后由直角三角形两锐角互余求 ∠COE=12°；易错点：混淆平行线的内错角、同旁内角，或漏用角平分线的 “2 倍关系”。
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=7
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）乘方运算： 12= 1（注意与( 1)2=1的区别）（2）负整数指数幂：a n= （a ≠ 0），因此( ) 2==9零指数幂：a0=1（a≠0），因此(π 1)0=1
（1）解：
；
（2）解：
．
18．解方程（组）
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
得，
解得：x=2
将代入①得，6+y=9
解得：y=3
∴原方程组的解为：
（2）解：
∴去分母两边同时乘以x-5，得2-x-1=x-5
解得x=3
经检验，当x=3，时x-5=-2≠0
∴x=3是原分式方程的解
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）二元一次方程组：代入消元法和加减消元法是核心方法，加减消元法更适合系数成倍数关系的方程组；（2）分式方程：必须检验，去分母时注意符号变化，避免漏乘常数项，同时要保证最简公分母不为 0。
（1）解：
得，，
解得：，
将代入①得，
解得：
∴原方程组的解为：；
（2）解：
∴
解得：，
经检验，是原方程的解
19．先化简，再求值：，其中从，，中选取一个合适的值代入．
【答案】解：原式
∵分式的分母不等于，
∴，
把代入得，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】运算顺序：分式混合运算要先算括号内的，再将除法转化为乘法，利用因式分解进行约分，最后化为最简分式。条件限制：化简完成后，必须先确定 x 的取值范围。选取的 x 值必须使原分式所有分母都不为 0，且除式不为 0，否则计算出的数值是无效的。
20．某学习小组以“学生上学的主要交通方式”为主题，对全校学生进行抽样调查，根据结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（每位同学必选且仅选一项）：
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）若该校有1200名学生，则以电瓶车为主要交通方式的学生约有多少人？
【答案】（1）解：本次抽样调查的学生人数为（人）．
公共汽车的人数为（人），
统计图补全如图所示．
（2）解：．
（人）．
答：以电瓶车为主要交通方式的学生人数约有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）运用私家车人数除以占比得到总人数，用总人数乘以公共汽车占比求出其人数，补全条形统计图即可；
（2）利用1200×电瓶车的占比解答即可．
21．临近期末，某校七年级一班打算购买一些记录本和笔作为休学式当天班内学期表彰的奖品．已知一本记录本的价格比一支笔的价格高1元，用180元可以购得的本子数量和用150元可以购得的笔的数量相同．
（1）求记录本和笔的单价．
（2）本次计划使用120元班费全部用于购买记录本和笔（经费无剩余且两种奖品都要购买），请问有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设笔的单价为x元，记录本单价为（x+1）元，
，
解得x=5，
经检验x=5是分式方程的解，
答：笔的单价为5元，记录本单价为6元。
（2）解：设记录本a本，笔b支，
6a+5b=120，
∵a和b都是正整数，
则有a=15，b=6，或a=10，b=12，或a=5，b=18，
答：可以买记录本15本、笔6支；或记录本10本、笔12支；记录本5本、笔18支；共三种方案。
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查分式方程的实际运用及二元一次方程的列式与分析。
（1）根据条件可以列出笔的数量是，记录本的数量是，因为“ 用180元可以购得的本子数量和用150元可以购得的笔的数量相同 ”，这样可以列出分式方程，求出x的值之后进行检验，以免产生增根；
（2）根据（1）的计算结果，则记录本需要6a元，笔需要5b元，此时可以列出二元一次方程，然后在a和b均为正整数范围内逐个分析即可。
22．如图，一束光线射到平面镜上，经平面镜反射到平面镜上，又经平面镜反射得到光线，反射过程中，，．
（1）若，且，求的度数．
（2）探究与有什么关系时，光线与光线平行．
【答案】（1）解，，
．
，
．
，
．
．
，
．
，
．
（2）解： 当时，光线与光线平行．
理由如下：
，，
．
同理．
，
．
【知识点】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据平角的定义求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD的度数，进而利用平角解题即可；
（2）利用（1）的方法得到，，然后根据同旁内角互补，两直线平行解答即可．
23．【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法
（1）填空：因式分解________
【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为
．
（2）请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①；
②．
【应用尝试】
（3）已知实数a，b满足，求的值．
【答案】（1）；
（2）①
．
②
．
（3）
，
∵，
∴，
∴，
∴解得，
∴．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用；二元一次方程组的其他应用；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】（1）解：3x2-6x+3
=3(x2-2x+1)
=3(x-1)2
【分析】本题考查因式分解的综合运用及偶次方的非负性。
(1)因式分解 3x2 6x+3：解题思路是 “先提公因式，再套公式”。观察多项式各项有公因式 3，先提取得到 3(x2 2x+1)，括号内符合完全平方公式结构，继续分解得到最终结果，关键是遵循 “先提公因式、再用公式” 的基本步骤，保证分解彻底。
(2)分组分解法因式分解：两小问分别对应两种常用分组方式，思路均为 “分组→组内化简→整体分解”。① x2 xy+6x 6y：四项式两两分组，分别提取公因式后出现新的公因式 (x y)，再次提取即可完成分解，重点是通过分组构造公因式。② m2 n2+6m+9：采用 “三一分组”，将三项凑成完全平方，再利用平方差公式继续分解，关键是合理分组凑出公式形式。
(3)已知 2a2 4a+4+2ab+b2=0，求 a b：解题步骤为 “配方→利用非负性求值→代入计算”。将等式左边拆分为两个完全平方式，得到平方和为 0 的形式；根据非负数性质列出方程求出 ，再代入计算结果，核心是正确配方并运用非负性构造方程。
24．规定一种新的运算“”，其中，为正整数．其运算规则如下：
①；②（其中为常数）．
（1）计算：_______，______（其中为常数）；
（2）（其中，均不为0）．
①求，，的值；
②化简并计算：．
【答案】（1），
（2）解：①由题意知，，，，
∴，整理得，，
∴，，，，
解得，，，
∴，，；
②解：由①可知，，整理得，
∴，
∴的值为3．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂
【解析】【解答】解：（1）由题意知，，，
故答案为：，；
【分析】（1），，求解作答；
（2）①先根据，，，得出，从而可得，，，，求解作答即可；
②先根据，得到，再代入化简即可．
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