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湘教版 八年级 数学（下）
第2章　图形与坐标
2．1　平面直角坐标系
第1课时　平面直角坐标系
情景导入
在生活中，我们经常需要确定物体的位置，而利用有序数对来描述位置是最常用的方法之一.
在电影院内如何找到电影票上所指的位置？
“8排7号”与“7排8号”中的“7”的含义相同吗？
你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？
知识模块一　平面直角坐标系的有关概念
自学互研
下图是某教室部分座位的平面示意图，如何确定小楠的位置？
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第6列
第7列
第1排
第2排
第3排
第4排
第5排
讲 台
小 楠
小楠坐在第4列第2排.
约定“列数在前，排数在后”，试着表示一下教室里同学的位置.
为了确定物体在平面上的位置，可以用一对有顺序的实数（简称为有序实数对）来表示.
例如，小楠在教室里的座位可以简单地记作（4，2）.
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第6列
第7列
第1排
第2排
第3排
第4排
第5排
讲 台
小 楠
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第6列
第7列
第1排
第2排
第3排
第4排
第5排
讲 台
小 楠
如何用有序实数对来表示平面上任一点的位置？
横轴
纵轴
x
y
O
通常，我们取横轴向右为正方向.
纵轴向上为正方向.
原点
这样建立的两条数轴构成平面直角坐标系，记作xOy.
横轴与纵轴的单位长度通常取一样的长度（有时也可以取不同长度）.
这样建立的两条数轴构成平面直角坐标系，记作xOy.
M
C
D
（-4，5）
过点M作x轴的垂线，与x轴相交于点C，点C在x轴上表示-4；
再过点M作y轴的垂线，与y轴相交于点D，点D在y轴上表示5；
则（-4，5）表示点M位置，并称为点M的坐标，其中-4称为横坐标，5称为纵坐标.
若以点M为原点建立平面直角坐标系，则点M的坐标是多少？
反之，为了找出坐标为(4，2)的点，在x轴上找到表示4的点A.
A
过点A作x轴的垂线
再在y轴上找到表示2的点B，过点B作y轴的垂线.
B
P（4，2）
这两条垂线的交点P就是坐标为（4，2）的点.
综上所述，在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应.
在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，我们把这四个区域分别称为第一，二，三，四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限.
练
练
一
1．下列关于有序数对的说法正确的是 ( )
A．(2，3)与(3，2)表示的位置相同
B．(m，n)与(n，m)表示的位置一定不同
C．(2，－3)与(－3，2)是表示不同位置的两个有序数对
D.(－1，－1)与(－1，－1)不是同一位置的点
C
2．如图，如果点A的位置为(3，2)，点C的位置为(5，4)，那么点B的位置为_________，点D的位置为________，点E的位置为_________．
(2，5)
(7，3)
(2，3)
x 轴和y轴上的点的坐标分别有什么特征？
知识模块二　平面直角坐标系内点的坐标及各象限内点的坐标的特征
例1 （1）如图，写出平面直角坐标系中点A，B，C，D，E，F的坐标.
解 （1）由图可知，所求各点的坐标分别为：
A（3，4），B （-4，3）， C（-3，0），D（-2，-4），E（0，-3），F（3，-3）.
点P在第一象限，点Q在第二象限，点M在第三象限，点N在第四象限.
（2）如图，先在x轴上找到表示5的点，再在y轴上找出表示4的点，过这两个点分别作x轴，y轴的垂线，垂线的交点就是点P. 类似地，可以找到点Q，M，N的位置，如图所示.
（2）在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限.
P(5，4)，Q(-3，4)，
M (-4 ，-1)，N(2，-4).
P
Q
M
N
填写下表：
点的位置 横坐标符号 纵坐标符号
在第一象限
在第二象限
在第三象限
在第四象限
+
+
-
+
-
-
+
-
根据上表，概括出平面直角坐标系中四个象限的点的坐标特征.
练
练
一
1.在平面直角坐标系内，下列各点在第二象限的是 ( )
A．(2，1)　　　　
B．(－2，1)　　　　
C．(－3，－5)　　　　
D．(5，－5)
B
2.若点A的坐标(x，y)满足(x＋3)2＋|y＋2|＝0，则点A的位置在 ( )
A．第一象限　　　
B．第二象限　　　
C．第三象限　　　
D．第四象限
C
知识模块三　平面直角坐标系的综合应用
在平面直角坐标系内，已知点A(1－2k，k－2)在第三象限，且k为整数，求k的值．
解：∵点A(1－2k，k－2)在第三象限，
又∵k为整数，
∴k＝1.
∴ 解得0.51－2k<0，
k－2<0.
练
练
一
写出下图中A，B，C，D，E，F各个顶点的坐标．
(1)判断线段BC所在直线与x轴的位置关系？B，C两点的坐标有什么特征？
解：A(－2，0)，
(1)平行，纵坐标相等．
B(0，－3)，
C(3，－3)，
D(4，0)，
E(3，3)，
F(0，3)
写出下图中A，B，C，D，E，F各个顶点的坐标．
(2)判断线段CE所在直线与y轴
的位置关系？C，E两点的坐标
有什么特征？
(3)由(1)(2)的结论，你能得到什
么规律？
(2)平行，横坐标相等．
(3)如果两个点的纵(横)坐标相等，那么两个点的连线与x轴(y轴)平行．
课堂小结
平面直角坐标系
定义：原点、坐标轴
点的坐标
定义与符号特征
描点
点的坐标的确定
随堂练习
1.已知坐标平面内点A（m, n）在第二象限，那么点B（n, m）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
2.点M位于x轴上方，距x轴3个单位长度，且位于y轴左侧，距y轴2个单位长度，则M点的坐标是_________.
(-2, 3)
解 所求各点的坐标为：
A（3，3），B （-5，2）， C（-4，-3），D（4，-3），E（5，0）.
【选自教材P57 练习 第1题】
3. 平面直角坐标系xOy如图所示.
（1）写出点A， B， C， D， E的坐标；
（2）描出点P(-2,-1)， Q(3,-2)，S(2,5)， T(-4,3)， 并指出各点分别在哪个象限.
第一象限：S 第二象限：T
第三象限：P 第四象限：Q
P
Q
S
T
3. 平面直角坐标系xOy如图所示.
【选自教材P57 练习 第1题】
（1）写出点A， B， C， D， E的坐标；
（2）描出点P(-2,-1)， Q(3,-2)，S(2,5)， T(-4,3)， 并指出各点分别在哪个象限.
4. 在平面直角坐标系中，已知点 P 在第四象限，距离 x 轴 2 个单位长度，距离 y 轴 3 个单位长度.
（1）画出一个平面直角坐标系，并在坐标系中描出点 P 的位置；（2）写出点 P 的坐标.
P
点 P 的坐标为(3, -2)
【选自教材P57 练习 第2题】
5. 在图中的直角坐标系中描出下列各点：A（2，3），B（-2，3），C（0，-4），D（-2，0），E（-3，-1），F（3，-2），并指出它们所在的象限.
A
B
C
D
E
F
第一象限：A
第二象限：B
第三象限：E
第四象限：F
湘教版 八年级 数学（下）
第2章　图形与坐标
2．1　平面直角坐标系
第2课时　利用直角坐标或方位刻画物体的相对位置
情景导入
在平面直角坐标系中，标出下列各点的坐标
A(－5，3)，B(4，－2)，
C(1，4)，D(－3，－4)，
E(0，3)，F(－2，0).
y
x
A
B
C
D
E
F
知识模块一　平面直角坐标系的有关概念
自学互研
右图是某中学的校区平面示意图（小方格的边长代表1个单位长度），试建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示校门、图书馆、花坛、体育场、教学大楼、国旗杆、实验楼和体育馆的位置.
今天我们学习如何用直角坐标系表示地理位置，对于上面的问题，思考：
（1）如何建立平面直角坐标系？以何参照点为原点？如何确定x轴、y轴？
（2）如何选用比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？
（3）选取校门所在位置为原点，并以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向有什么优点？
以校门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x 轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy.
校门(0,0)
图书馆(3,1)
教学大楼(0,7)
体育场(4,7)
国旗杆(0,3)
实验楼(-4,6)
花坛(3,4)
体育馆(-3,2)
若以国旗杆所在位置为原点建立平面直角坐标系，则校区内各建筑物的坐标会发生变化吗？若发生变化，试写出此时各点的坐标.
x
y
O
校门(0,-3)
图书馆(3,-2)
教学大楼(0,4)
体育场(4,4)
国旗杆(0,0)
实验楼(-4,3)
花坛(3,1)
体育馆(-3,-1)
在平面内，不同的坐标系中（不同原点）同一点的坐标不同.
例2 根据以下条件画一幅示意图， 并分别标出学校、书店、电影院、汽车站的位置.
（1）从学校向东走 500 m，再向北走 450 m 到书店.
（2）从学校向西走 300 m，再向南走 300 m，最后向东走 50 m 到电影院.
（3）从学校向南走 600 m，再向东走 400 m 到汽车站.
y
x
北
解 如图所示，以学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，规定1个单位长度代表100 m.
根据已知条件可得，书店位于点A(5,4.5)处，电影院位于点B(-2.5,-3)处，汽车站位于点C(4,-6)处.
y
x
学校
北
A 书店
B
电影院
C
汽车站
归纳：在日常生活中， 除了可以用平面直角坐标系刻画物体之间的位置关系外，有时还可借助方向和距离（或称方位） 来刻画两物体的相对位置.
某学校的平面示意图如图所示，如果实验楼所在位置的坐标为
(－2，－3)，教学楼所在位置的坐标为(－1，2)，那么图书馆所在位置的坐标为_________．
(－4，3)
根据已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系，然后确定其他点的坐标．
合
探
作
究
（1）如图，小婷家距学校1000m，如何用方向和距离来描述小婷家相对于学校的位置？
（2）反过来，学校相对于小婷家的位置应怎样用方向与距离来描述呢？
（1）小婷家在学校的北偏西60°的方向上，
与学校的距离为1000m；
（2）反过来，学校在小婷家南偏东60°的方
向上，与小婷家的距离为1000m.
像北偏西60°、南偏东60°这样的角称为方位角.
小婷家
知识模块二　用方位角和距离刻画两物体的相对位置
练
练
一
1.如图，货轮与灯塔相距40 n mile.
(1)可以用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置：灯塔在货轮的南偏东________°，40 n mile处；
(2)反过来，如何用方向和距离描述货轮
相对于灯塔的位置；
(3)客轮在货轮的正南方向，在灯塔的
南偏西40°方向，请你在图中标出客
轮位置．
解：(1)50
货轮
北
灯塔
50°
(2)由图可知相对于灯塔，货轮的位置为北偏西50°，40 n mile处．
(3)如图即为客轮位置．
货轮
北
灯塔
客轮
南
50°
40°
1．描述李亮家相对于学校的位置最重要的两个条件是______和_______．
2．教材P59议一议(1)，(2)中变化的是______，不变的是______和______大小．
合
探
作
究
方向
距离
方位
距离
角度
归纳
(1)在日常生活中，除了用平面直角坐标系刻画物体之间的位置关系外，有时还可借助_______和______(或称方位)来刻画两物体的相对位置．
(2)像北偏西60°、南偏东60°这样的角称为_______．
方位
距离
方位角
例3 如图，12时某渔政船在海岛（C处）正南方向、距海岛30海里的A处.渔政船以每小时20海里的速度向东航行，14时到达B处，并测得海岛的方向是北偏西53°8′. 那么此时渔政船相对于海岛的位置怎样描述呢？
分析 如图，设海岛所在处为C，△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，利用勾股定理可以求出BC间的距离.
海岛
北
53°8′
知识模块三　平面直角坐标系的综合应用
海岛
北
53°8′
解 如图连接AB，BC，AC，
则△ABC是直角三角形，∠CAB=90°.
在Rt△ABC中，
∵ AC=30海里，AB=20×2=40（海里），
由于在点B处测得海岛在北偏西53°8′的方向上，则∠BCA = 53°8′.
故此时，渔政船在海岛南偏东53°8′的方向上，距海岛50海里的位置.
= =50(海里),
自
探
主
究
如图，线段OB，OC，OA的长度分别是1，2，3，OA⊥OB，且OC平分∠AOB，若点A表示为(3，30°)，点B表示为(1，120°)，则点C可以表示为_________．
(2，75°)
合
探
作
究
(1)已知M(2，0)，MN＝4，点N与点M在同一坐标轴上，求点N的坐标；
解：(1)设点N坐标为(m，0)，MN＝|m－2|＝4，
∴m＝6或m＝－2，
∴N(6，0)或(－2，0).
(2)已知M(0，0)，MN＝4，点N与点M在同一坐标轴上，求点N的坐标；
(2)若点N在x轴上，则N(4，0)或(－4，0)，若点N在y轴上，则N(0，4)或(0，－4)，
∴点N坐标为(4，0)或(－4，0)或(0，4)或(0，－4).
(3)已知M(－1，－1)，MN＝4，且MN∥y轴，求点N坐标．
(3)∵MN∥y轴，则M，N两点横坐标相同，设点N坐标为(－1，n)，则|－1－n|＝4，
∴n＝3或n＝－5，
∴点N坐标为(－1，3)或(－1，－5).
1.如图是某动物园的部分平面示意图，其中小方格边长为1个单位长度. 试建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示大门、百鸟园、大象馆、狮子馆和猴山的位置.
x
y
O
(0,0)
(-2,7)
(-6,3)
(3,11)
(5,3)
【选自教材P60 练习 第1题】
2.如图，若每个小方格的边长表示50m，借助量角器回答下列问题：
（1）猴山在大门的北偏西____°
的方向上，到大门的距离为
_______m.
（2）百鸟园在狮子馆的南偏东
____°的方向上，到狮子馆的距
离为________m.
（3）大象馆在大门的北偏东___°
的方向上，到大门的距离为
_______m.
63.5
60
225
15
270
385
【选自教材P60 练习 第2题】
3.为发展海洋经济，保护海洋生态环境，某单位派遣一
艘海洋科考船对某海域进行考察.如图，已知该科考船在O点用声纳发现了几群鲸鱼，若规定1个单位长度代表10km长，试用适当的方法来表示A，B，C，D，E这5个目标鲸鱼群相对于点O的位置.
解：A相对点O的位置是南偏东45°30km处；
【选自教材P60 练习 第3题】
B北偏东60°30km处；
C北偏东45°20km处；
D南偏西60°20km处；
E北偏西30°50km处.
课堂小结
确定位置
平面直角坐标系
方位法
经纬度法
区域定位法
随堂练习
1.如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（-40，-30）表示，那么（10，20）表示的位置是（ ）
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
B
2.芳芳放学从校门向东走400米，再往北走200米到家，丽丽出校门向东走200米到家，则丽丽家在芳芳家的（ ）
A.东南方向 B.西南方向
C.东北方向 D.西北方向
B
3.某学校的平面示意图如图所示，为了管理的方便，在该平面图上建立了一个直角坐标系，如果实验楼所在位置的坐标为（2，-3），教学楼所
在位置的坐标为（3，2），那么
图书馆所在位置的坐标为_______.
（0，3）
4.根据以下条件在图中画出小玲、小敏、小凡家的位置，并写出它们的坐标.（1个单位长度代表50m长）
小玲家：出校门向西走150m，
再向北走100m；
小敏家：出校门向东走200m，
再向北走300m；
小凡家：出校门向南走100m，
再向西走300m，最后向北走250m.
小玲家（-3，2），
小敏家（4，6），
小凡家（-6，3）.
湘教版 八年级 数学（下）
第2章　图形与坐标
习题2.1
解：A(5, 2)，B(0, 4)，C(-3, 3)，D(-5, 0)，E(-3, -4)，F(4, -3).
1.如图，写出平面直角坐标系中点A，B，C，D，E，F的坐标.
【选自教材P61 习题2.1 第1题】
解：建立平面直角坐标系，描出各点如右图所示.
A(1, 3)在第一象限，
B(-2, 1)在第二象限，
C(3, -4)在第四象限，
D(-4, -2)在第三象限，
E(-3, 0)在x轴的负半轴上，
F(0, -5)在y轴的负半轴上.
2.建立平面直角坐标系，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限或哪条坐标轴上.
A(1，3)，B(-2，1)，C(3，-4)，
D(-4，-2)，E(-3，0)，F(0，-5).
【选自教材P61 习题2.1 第2题】
3.如图，象棋棋盘上的“帅”位于点（1，-2），“炮”位于点（-2，1)，则“相”位于点（ ）
（A）(2，-2)
（B）(2，-1)
（C）(3，-2)
（D）(3，-1)
【选自教材P61 习题2.1 第3题】
C
相
4.如图是某县的局部平面示意图，每个小方格的边长表示3km.（1）借助量角器，描述各镇相对于城关镇的位置，如果以C镇为参照点呢？
（2）分别以城关镇和C镇
为原点建立平面直角坐标系，
写出各镇的坐标.
【选自教材P61 习题2.1 第4题】
(1)相对城关镇，A镇距离约为21.2公里，东偏北45°;B镇距离为约10.8公里，南偏西约33.4°;C镇距离为30公里，正东方向;D镇距离为约33.5公 里，东偏南约26.5°.
以C镇为参照点时，城关镇距离为30公里，正西方向;A镇距离约为21.2公里，北偏西45°;B镇距离约36.1公里，南偏西约67°;D镇距离为15公里，正南方向.
(2)以城关镇为坐标原点时，A镇的坐标为(5，5)，B镇坐标为(-2,-3)，C镇坐标为(10,0)，D镇坐标为(10,-5)，图略;
以C镇为坐标原点时，城关镇的坐标为(-10，0)，A镇坐标为(-5,5),B镇坐标为(-12,-3)，D镇坐标为(0,-5)，图略
(2)以城关镇为坐标原点时，A镇的坐标为(5，5)，B镇坐标为(-2,-3)，C镇坐标为(10,0)，D镇坐标为(10,-5)，图略;
以C镇为坐标原点时，城关镇的坐标为(-10，0)，A镇坐标为(-5,5),B镇坐标为(-12,-3)，D镇坐标为(0,-5)，图略
5.根据以下条件画一幅示意图，并分别标出校门、李明家、王强家、张英家的位置：
李明出校门向东走200m，再向北走400m就到家了；
王强出校门向西走300m，再向北走450m也到家了；
张英出校门向东走300m，再向南走250m到家.
【选自教材P61 习题2.1 第5题】
解：如右图所示，以校门所在位置为原点，分别以正东，正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定1个单位长度代表100m.
7.平面直角坐标系中，有一点P（-m+1，2m-6），
试求满足下列条件的m的值或取值范围：
（1）点P在х轴上；
（2）点P在第三象限；
（3）点P到y轴的距离是1.
【选自教材P62 习题2.1 第7题】
解：（1）由题意得，2m-6=0. 解得m=3.
（2）由题意得， . 解得 1＜m＜3.
-m+1＜0
2m-6 ＜0
（3）由题意得， -m+1=1. 解得m=0.
解：(0, 0)，(0, 3)，(4, 3)
或(0, 0)，(0, 3)，(-4, 3)
或(0, 0)，(0, 3)，(-4, 0).
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0），点 B（0，3），若有一个直角三角形与Rt△AOB全等，且OB是它们的公共边，试写出这个直角三角形的顶点坐标.
【选自教材P62 习题2.1 第6题】

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