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湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
3.2　一次函数
情景导入
某种手机月租费为15元，每通话一次通话费为0.20元，则月支出费用y(元)与通话次数x(次)之间的函数关系式为_______________．
y＝15＋0.2x
(1)一列“复兴号”高铁(如图)自上海站出发，运行40km到达A地后，便以350km/h的速度匀速行驶.如果从离开A地后开始计时，请用表达式表示该列车离开A地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系.
在问题(1)中，时间(h)是自变量，距离y(km)是x的函数，它们之间的数量关系为
距离=速度×时间
y=350x .
①
(1)如图是弹簧秤中立示意图.某弹簧秤能称不超过10kg的物体，弹簧的原长为10cm，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm. 挂上重物后弹簧的长度为y（cm），所挂物体的质量为x（kg）. 请用表达式表示弹簧长度y与所挂物体质量x之间的函数关系.
在问题(2)中，用所挂物体质量x（kg）是自变量，弹簧的长度y（cm）是x的函数， 它们之间的数量关系为：
y=10+0.5x .
弹簧长度=原长+弹簧伸长量
②
函数①②有什么共同的特征
y=350x .
①
y=10+0.5x .
②
共同特征是:它们的右边都是关于自变量x的一次式，由此抽象出下述概念:
形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数称为一次函数.
特别地，当b=0，一次函数y=kx(k为常数，k≠0)也叫作正比例函数.
问题(2)中，每挂上1kg物体，弹簧伸长0.5cm，故弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系如图所示:
自变量
因变量
x
y
＋1
＋1
0
1
2
3
8
10
＋1
＋1
＋1
10
10.5
11
11.5
12
15
＋0.5
＋0.5
＋0.5
＋0.5
＋0.5
知识模块一　一次函数与正比例函数的概念
自学互研
自
探
主
究
下列关于函数的说法中，正确的是 ( )
A．一次函数是正比例函数
B．正比例函数是一次函数
C．正比例函数不是一次函数
D．不是正比例函数的就不是一次函数
B
合
探
作
究
1．下列函数：①y＝x；②y＝；③y＝；④y＝5x＋3.其中一次函数的个数是 ( )
A．1个　　　　　B．2个　　　　　
C．3个　　　　　D．4个
2．对于函数y＝(m－4)x＋(m2－16)，当m＝_____时，它是正比例函数；当m______时，它是一次函数．
C
－4
≠4
3．已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)当x＝4时，求y的值；
(3)当y＝4时，求x的值．
解：(1)设y－3＝kx，把x＝2，y＝7代入，得7－3＝2k，k＝2，
(2)当x＝4时，y＝2×4＋3＝11.
∴y－3＝2x，即y＝2x＋3.
(3)当y＝4时，2x＋3＝4，x＝.
总结归纳
形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数称为一次函数.
特别地，当b=0，一次函数y=kx(k为常数，k≠0)也叫作正比例函数.
知识模块二　根据实际问题建立一次函数模型
自学互研
仿照下图，将问题(1)中的自变量与因变量的变化过程表示出来.
自变量
因变量
x
y
＋1
1
2
3
4
＋1
＋1
350
700
1050
1400
＋350
＋350
＋350
可以看出，一次函数的特征是:因变量随自变量的变化是均匀的，即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或减少)相同的数量.
一次函数y＝kx＋b的自变量的取值范围是全体实数.但在实际问题中，要根据具体情况来确定自变量的取值范围.例如，在问题(1)中，自变量的取值范围是x≥0 (假设不限制匀速运行时间);在问题(2)中，自变量x的取值范围是0≤x≤10.
例 科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1km，气温下降约6°C.某时刻，若甲地地面气温为20°C，设高出地面xkm处的气温为y°C.
(1)求y随x变化而变化的函数表达式.
(2)若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34°C，求飞机离地面的高度.
解 (1)由于高出地面xkm处的气温随离地面高度的变化而变化，因此y是x的函数，它们之间的数量关系为
甲地高出地面xkm处的气温=地面气温一下降的气温，
即 y=20－6x.
(2)当y=－34时，即20 －6x= －34，
解得x=9.
答:此时飞机离地面的高度为9km.
自
探
主
究
一个长为120 m，宽为100 m的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长要增加x m，宽增加y m，则y与x的函数关系式是____________，自变量的取值范围是______，且y是x的______函数．
y＝x＋20
x>0
一次
合
探
作
究
1．写出下列各题y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(1) 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系；
解：(1)y＝60x，是正比例函数，也是一次函数．
1．写出下列各题y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系；
(3)一棵树现在高50 cm，每月长高2 cm，x个月后这棵树的高度为y(cm).
(2)y＝πx2，不是正比例函数，也不是一次函数；
(3)y＝2x＋50，不是正比例函数，但是一次函数．
2．某风景区集体门票收费标准是20人以内(含20人)每人25元；超过20人，超过的部分每人10元．
(1)写出应收门票费y(元)与游览人数x之间的函数关系式；
(2)利用(1)中的函数关系式计算，某班54名学生去该风景区游览时，购买门票共花多少元？
解：(1)y＝
25x（010x＋300（x>20且为整数）
(2)当x＝54时，y＝10×54＋300＝540＋300＝840，所以购买门票共花840元．
课堂小结
一次函数
一次函数的概念
正比例函数的概念
函数关系式的确定
随堂练习
1.下列函数中，哪些是一次函数 哪些是正比例函数
y=7－x，y=x2 ， y=－4x，y=， y=2x－3.
y=7－x ， y=－4x ， y=2x－3是一次函数，其中y=－4x 是正比例函数.
2.某住宅小区的住房物业服务费按住房面积收 缴，每月1.6元/m2;有车位的业主还要交车位物业服务费，每月30元.设某个有车位的业主，其住房面积为xm2，每月应缴住房和车位物业服务费的总和为y元，求y与x之间的函数关系式，并求当y＝254时， x的值.
解:y与x之间的函数关系式为y=1.6x+30.
当y=254时，
1.6x + 30=254
1.6x = 254－30
1.6x = 224
x= 224÷1.6
x=140
答:y与x之间的函数关系式为y=1.6x＋30;
当y=254时，x的值为140.
湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
3.2　一次函数
习题3.2
1.下面给出的几个函数关系中，成正比例函数关系的是( )
(A)正方体的体积与棱长
(B)正方形的周长与边长
(C)菱形的面积一定，它的两条对角线长
(D)圆的面积与它的半径
B
2.下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系.
设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，请用恰当的函数表达式表示w与r之间的关系.
w＝2r
3.假设某种储蓄的月利率是0.16%，存人1000元本金后，用表达式表示本息和y(元)与所存月数x之间的函数关系(利息=本金×月利×月数)，y是关于x的一次函数吗
y=1000＋1.6x，y是关于x的一次函数.
4.已知两条平行线l1，l2之间的距离为5cm，点A在l1上，点B，C在l2上，设BC=x cm，求△ABC的面积S关于x的函数关系式，并判断这个函数是不是一次函数.
解：如图,作AD⊥BC于点D.
∵l1∥l2且l1 、 l2之间的距离为5cm.
∴ AD＝ 5cm
又∵ BC ＝ x .
∴ S ＝ BC·AD .
即： S ＝ x ×5
整理得：S ＝ x .
此函数为一次函数.
l1
l2
A
B
C
D
5.桌子上放着一个透明的空杯子，金黄色的果汁均匀地倒入杯子中，并测得如下数据:
(1)如果用x表示杯中的果汁质量，h表示杯中果汁的高度，随着x的逐渐变大，h的变化趋势是什么
解：随着x的逐渐变大，h逐渐变大.
解：h=7，因为杯中果汁的质量没增加50g，杯中果汁的高度增加1cm，所以h的值为7.
5.桌子上放着一个透明的空杯子，金黄色的果汁均匀地倒入杯子中，并测得如下数据:
(2)估计当x=350时，h的值是多少 你是怎样估计的
(3)用表达式表示两个变量之间的函数关系.
5.桌子上放着一个透明的空杯子，金黄色的果汁均匀地倒入杯子中，并测得如下数据:
h=x
6.△ABC是边长为的等边三角形.
(1)求BC边上的高h与之间的函数表达式，h是关于x的一次函数吗
(2)当h=时，求的值.
(3)求△ABC的面积S与x之间的函数解析式，S是关于x的一次函数吗
解:(1)如图所示，作AD⊥BC于点D,
∵△ABC是等边三角形，
A
B
D
C
∴∠BAD= BAC=30°，
BD= BC= x.
∴在 Rt △ABD 中,
AD=h=== .
A
B
D
C
(2)当h=时,=,解得=2.
(3)由题意，得S=BC·AD
= ·
=，
∴S不是x的一次函数.

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